Воронов Е. М. Методы оптимизации управления ММС на основе стабильно-эффективных игровых решений (2001) (1264203), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Здесь же основное внимание уделяется Парето-оптимизации как частного случая коалиционногоравновесия.С учетом параметризации управляющих сил вида u = u(q, x), u = u(q, t),u = u(q) далее материал излагается на основе терминологии сравнительного анализа и результатов, полученных в обсуждаемых работах.Основная постановка имеет вид(3.7)max {J i (q ) Ki , R i }, i ∈ M K ⊂ PN ,q∈Q ( i )где Q(i) = {q∈Q⊂E | qi∈Q i ⊂Er i ; q ( K ) – фиксированы}; Ji(q) – векторный показатель эффективности i-й коалиции; M K – множество коалицийкоалиционного разбиения P ММС, состоящей из N объектов; Q(i) – множество параметров i-й коалиции; R i – отношение предпочтения на подмножестве Ki .rM /i100Стабильные эффективные решения и компромиссы.
Часть IИз (3.7) следует, что необходимо определить значение векторного показателя Ji(q) на множестве Парето i-й коалиции K i , максимальное в смысле отношения предпочтения R i , варьируя лишь компоненты вектора qi.Остальные компоненты вектора q известны и фиксированы. Если предположить K i = K = N, ММС составляет единую коалицию и задача (3.7) сводится к определению решений q, оптимальных по Парето (qП) относительно векторного показателя J(q).Основой для выбора решений является анализ возможностей согласованного повышения эффективности коалиций в задачах проектирования ифункционирования ММС.Ввиду сложности точного решения задачи (3.7) в связи с проблемойглобальной оптимизации Ji на множестве Q(i) предлагается двухэтапнаяпроцедура, первый этап которой – определение(3.8)J i (Q (i )) K R{Rii,i}– является дискретной аппроксимацией задачи (3.7).Здесь J iRi – дискретная аппроксимация множества Парето-оптимальных в смысле Ω i (3.7) значений J i .При этом множество J iRi формируется на соответствующем дискрет~Jном множестве Q Ri ∈ Qi .iЗадача (3.8) дает возможность сформировать начальные приближениядля задачи (3.7) или для более сложной задачи из серии задач поиска коалиционного равновесия(3.9)max{J (q ) P,{Ri }i∈M K }q∈Qотносительно набора коалиционных разбиений P и системы отношенийпредпочтения R i , i∈M K в каждой коалиционной структуре Р⊂ Р.Если все показатели системы образуют единую коалицию или параметры всех коалиций, кроме одной, фиксированы, то получаем известную задачу Парето-оптимизации.
Многокритериальные задачи математическогопрограммирования вида (3.7) являются частным случаем задачи многокритериального принятия решений [164]. Решение задачи (3.7) основано напостроении компромисса с целью понижения неопределенности выбора намножестве Парето. Наиболее гибкой является диалоговая технология решения оптимизационных задач, особенно многокритериальных [17, 32, 48,97, 105, 142, 220, 230, 263]. Разнообразие возможных способов полученияи формализации информации о предпочтениях функционирующих коалиций или проектировщика в процессе диалога обусловило появление большого количества весьма различных подходов и методов решения многокритериальной задачи (3.7). Содержательные обзоры и библиографии попроблеме многокритериальной оптимизации представлены в работахГлава 3. Стабильные и эффективные оптимальные решения101[28, 32, 39, 44, 47, 54, 84, 85, 105, 142, 161, 164, 204, 206, 207, 220, 226, 238,239, 248, 345].
Опираясь на результаты указанных обзоров и на ряд работ,которые будут упомянуты по ходу изложения, можно сделать вывод, чтомногообразие существующих подходов к решению задачи (3.7) целесообразно разделить на следующие группы (для удобства обозначений далеепредполагаем, что все показатели и параметры образуют единые коалицииинтересов и действия соответственно).1. Процедуры, основанные на построении обобщенного скалярногопоказателя Ф = Ф(J, λ) специального вида [5, 39, 83, 84, 120, 164], где λ –вектор весовых коэффициентов, характеризующий относительную важность компонент векторного показателя J. Обычно на λ накладываетсяусловие нормировки: λ∈Λ, гдеΛ = {λ∈Em|λ i >0 ∀i∈M; ∑ λ i = 1 }.(3.10)i∈MВ итоге исходная многокритериальная задача, например с показателемпотерь J, сводится к обычной задаче нелинейного программирования:определить min Ф( J (q ), λ ) .(3.11)q∈QЛегко показать [32, 83, 206], что если компоненты J i показателя J, атакже множество Q – выпуклые, то между множеством J G (Q) собственноэффективных (оптимальных по Джоффриону) [206] решений задачи (3.7) имножеством Λ вида (3.10) существует взаимнооднозначное соответствие.Таким образом, при заданной структуре функции Ф(J, λ) вектор λ∈Λ полностью определяет решение на множестве Парето.
На каждой диалоговойитерации проектировщик производит коррекцию вектора λ с тем, чтобы вконечном счете выйти на нужное решение.Отметим, что в (3.11) могут использоваться нормализованные значенияпоказателей J i . В этом случае на λ, как правило, накладываются условия(3.10). Если же значения J i не нормализуются, то вектор λ играет болеесложную роль, и для него условие (3.10) уже не выполняется. Кроме того,компоненты λ i имеют различные размерности, чтобы привести соответствующие J i в свертке Ф(J, λ) к безразмерному виду.Процедуры построения обобщенного показателя имеют ряд недостатков.
Во-первых, сделать обоснованный выбор вектора λ достаточно сложно, особенно при нелинейных показателях J i , что чаще всего и бывает, таккак проектировщику затруднительно формулировать свои предпочтения втерминах весовых коэффициентов. То есть неопределенность из областипоказателей переносится в область весовых коэффициентов (хотя диалоговый подход и уменьшает остроту этого вопроса, так как предоставляетвозможность быстрой и многократной коррекции вектора λ).
Во-вторых, вслучае невыпуклости множества Q или хотя бы одного J i , i∈M, нарушается взаимнооднозначное соответствие между множествами Λ и J G (Q) [206].102Стабильные эффективные решения и компромиссы. Часть IТочнее говоря, перебор всех λ∈Λ гарантирует построение лишь частимножества J G (Q). В то же время на множестве J G (Q) можно выделить такие подмножества [83] , которые не являются решением задачи (3.11) нипри каких λ∈Λ. Перечисленные недостатки существенно снижают ценность указанного подхода.2. Процедуры с применением сообщений проектировщика о желаемых уровнях показателей. В [108, 207] рассматривается метод выделенияглавного показателя (пороговой оптимизации).
В соответствии с этим методом из m показателей один выделяется в качестве главного (например,J i ), на остальные (m – 1) показателей накладываются ограничения. Исходная многокритериальная задача оказывается сведенной к задаче нелинейного программирования:(3.12а)определить min J i (q ) ;q∈Q i ( ε )q ∈Q,(3.12б)Q i ( ε) : rj , j 1, m, j ≠ i q ∈ E | J j (q ) ≤ ε=где ε j – максимально допустимое (пороговое) значение показателя J j ,ε∈Em.Неопределенность в выборе главного показателя в задаче (3.12) преодолевается в [203] , где предлагается строить оптимизационные процедуры на основе принципа сложности [109, 204, 205, 240]. В [25] в качествеглавного показателя рекомендуется использовать функционал сложности,а компоненты векторного показателя рассматривать, как m нелинейныхограничений вида (3.12б), сформированных на основе технических требований к системе.
При этом изменяется смысл понятия оптимальности, иполученное решение не будет, вообще говоря, Парето-оптимальным относительно векторного показателя J. В [203] принцип минимальной сложности используется для систематического выбора задачи скалярной оптимизации (3.12) из всего набора так называемых сопряженных задач вида{}(3.12) при i = 1, m . Каждая из сопряженных задач характеризуется некоторым значением W i , i = 1, m , совокупность которых составляет шкалусложности. При этом величина W i определяет вычислительные затраты нарешение задачи вида (3.12) с главным показателем J i . Выбирая по шкалеминимальную по сложности задачу, получаем наиболее экономичную вычислительную процедуру построения множества Парето.
В [203] отмечается также, что использование принципа сложности не ограничивается только применением метода пороговой оптимизации, но может быть распространено и на другие известные подходы к векторной оптимизации.В [226, 361] в различных вариантах обсуждаются процедуры, основанные на идее целевого программирования, состоящей в нахождении решения, максимально приближенного к множеству одновременно не дости-Глава 3. Стабильные и эффективные оптимальные решения103жимых целей γ в смысле определенной метрики, при ограничении на максимальные уклонения χ i показателей J i от целей γ i для некоторых компонент вектора J.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
