УТС Л 1-7 (1262328), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Такая неоднозначная зависимость может бытьвызвана действием сил сухого трения, действием магнитного гистерезиса, наличием зазоров (люфтов) в механическом устройстве.Из-за указанных особенностей статических характеристик уравнения динамики системполучаются нелинейными, причем существенно нелинейными, то есть такими, которыене могут быть линеаризованы методом малых отклонений переменных от своих установившихся значений.Но даже в идеальной системе без сухого трения можно получить нелинейную функцию.Хотя в окрестностях малых отклонений можно считать характеристику линейной.Лекция №62.2. Линеаризация уравнений динамики систем методом малых отклоненийпеременныхИсходные нелинейные уравнения динамики м.

б. заменены приближеннымилинейными уравнениями. Одним из методов линеаризации уравнений являетсяметод, основанный на описании элементов и систем в малых отклонениях переменных от значений, которыми определяются невозмущенные (равновесные) состояния элементов и систем. Метод состоит в следующем.Уравнение в форме вход-выходПредположим, что «вход-выход» системы связаны нелин. уравнениемdy F(u, y,t) (*)dtF(u,y,t) – нелинейная функция.Малые отклонения переменных представим соотношениями:где y 0 – выбранные равновесные значения величины «у»,y  y0  y' ,y' – малые отклонения значений «у» от « y 0 ».u  u0  u' ,где u 0 равновесные значения “u”, соответствующие “ y 0 “,u’ – малые отклонения «u» от u 0Продифференцируем уравнение (*)dy 0 dy ' F(u 0  u ' , y 0  y ' , t)Наличие переменной t указывает на то, что коdtdtэффициенты входящие в уравнение могут зависеть от t по какому-то закону.Для линеаризации разложим правую часть в ряд Тейлора в окрестности значений u 0 , y 0 :F(u, y,t)  F(u0 , y0 ,t) Fuu u0 u' Fyy  y0 y '  R(u ' , y ' , t ) ,R(u’,y’,t) – функция, содержащая отклонения u’, y’ в степенях выше первой, которойможно пренебречь при малых отклонениях.

Тогдаdy0dy 'F F(u0 , y0 ,t) udtdtFyy  y0 y' ,ноdy0 F(u0 , y0 , t) -невозмущенное состояние,dtdy ' b  u'  a  y' ,dtтогдагде b u u0 u' Fu,a  u u 0Fyy  y0,(**)в общем случае а=а(t), b=b(t)Уравнение (**) является линеаризованным уравнением динамики, т.к. его правая частьявляется линейной функцией. Ур-е при a=const, b=const приводят к стандартному виду:dy 'T y'  K  u' ,dt(***)1/a = T – постоянная времени, [c]b/a=K – коэффициент усиления (передачи, преобразования)Переходим к плоскому изображению при u и y фиксированномЭтот метод применим в тех случаях, когда нелинейная функция непрерывна,если это условие не выполняется, то применяют другие методы1) Спрямление разрывов%Р332) Более точный результат можно получить используя метод гармонической линеаризации (см.

метод линеаризации существенно нелинейных систем)Величины u’, y’ могут быть разной размерности, вводя базовые величины (масштабы) y*, u* получим соотношенияu '  u ' u* ,y '  y ' y* ,Уравнение (***) приводится к безразмерной (нормированной) форме, где K 0  K u * y*''''dyT y  K 0  u . Если ввести относительное времяdt''dy y  K0  ut  t T , тоdtПримерЛекция №72.3.Применение операторов при математическом описании систем.

Передаточные функцииУравнения динамики устанавливают связь между функциями, описывающими изменение состояния системы и функциями, описывающими внешние воздействия.(an  pn  an1  pn1  ...  a1  p  a 0 )y  (bm  pm  bm1  pm1  ...  b1  p  b 0 )up = d/dt - оператор дифференцированияD(p),M(p) -соответствующие линейные дифференциальные операторыD(p)  an  p n  a n1  p n1  ...  a1  p  a 0 ; a i ; - собственн. операторM(p)  b m  p m  b m1  p m1  ...  b1  p  b 0 ; b j .

- оператор воздействия(входа).D(p)y(t)  M(p)U(t)M(p)M(p)y (t ) U (t ) , W(p) - передаточная функция (1-ое опред-е)D(p)D(p)y  W ( p)  U .При равновесии системы y  (b 0 a 0 )  U , или y=kU, где k – коэфф-т усиления (передачи).При решении линейных диф.уравнений удобно применять преобразованные поЛапласу операторы, рассматривая вместо функции действительного переменного (времени) t функции комплексного переменного s. Этот метод основан на использованииинтеграла Лапласа.Односторонний, одномерный интеграл Лапласа:F(s)   e st f (t )dt , гдеs    j – комплексная переменная в преобразовании Лапласа.0Это преобразование переводит функцию-оригинал f(t) в функцию изображение F(s).

Совокупность всех f(t) - пространство оригиналов, а совокупность всех F(s) – пространствоизображений.Для краткости преобразование м.б. записано в виде F(s)=L{f(t)}. Принятое обозначениеИнтеграл Римана-Меллина (интеграл обращения) (переход от изображения к оригиналу):C j1f (t ) F(s)est ds , t  0 .2j CjИмеются подробные таблицы соответствий между оригиналами и изображениями.Теорема дифференцирования.d n f (n ) f (t )dt nТеорема интегрирования.(an  pn  an1  pn1  ...

 a1  p  a 0 )y  (bm  pm  bm1  pm1  ...  b1  p  b 0 )uПреобразуем по Лапласу это дифференциальное уравнение при нулевых НУ:,где s – комплексная переменная в преобразовании Лапласа.(an  s n  an1  s n1  ...  a1  s  a 0 )y(s)  (bm  s m  bm1  s m1  ...  b1  s  b 0 )u(s)изображение  по  Л .вых.  вел  ны)изображение  по  Л .вх.  вел  ныW(s) y (s)U(s)W(s) (b m  s m  b m1  s m1  ...  b1  s  b 0 )- 2-е определение передат. функции(a n  s n  a n1  s n1  ...  a1  s  a 0 )-передаточная функция (Последовательность 2-го определения передаточной функции1) Следует перейти к диф.уравнениям системы от оригиналов к изображениям.2) Взять отношение полиномов: из правой части уравнения к полиному из левой.Эти операции выполняются при предположении нулевых начальных условий.3) Передаточная функция может быть получена по линейному диф.уравнению.Пример.Jd M дв  M нdt%Ф14%Р40%Ф14.

Характеристики

Список файлов лекций