Линеаризация уравнений движения ЛА (1256293)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ЛАКак известно, для систем дифференциальных уравнений видаx&  F( x , u )процедура линеаризации состоит в выборе опорных функций xоп(t) и uоп(t), разложенииисходных уравнений в ряд Тейлора в окрестности этих функций, т.е. при x (t) = xоп(t) + x(t)и u (t) = uоп(t) + u(t), F  F x& оп  x&  F( x оп , u оп )   x   u  O 2 ( x, u ) x  x  x оп , u  u оп u  x  x оп , u  u опи записи получившихся уравнений относительно отклонений x(t) и u(t) от опорныхфункций F  F x&   x   u  F( x оп , u оп )  x& оп  O 2 ( x, u ) . x  x  x оп , u  u оп u  x  x оп , u  u опВ этих выражениях F(x,u), x (t) и u (t) - векторные функции соответствующихразмерностей, O2 ( x , u ) - остаток степенного ряда, содержащий все члены, в которыеотклонения от опорных функций x(t) и u(t) входят в степени выше первой.В результате для отклонений может быть записана система линейных уравнений видаx&  x   u   , F  F где    и  - матрицы соответствующих размерностей, а x  x  x u u  uопоп2  F( x оп , u оп )  x& оп  O (x , u ) - векторная функция, которую можно рассматривать каквозмущения, действующие на изменение отклонений от опорных функций.Очевидно, чем меньше остаток ряда и чем ближе xоп(t) к решению исходнойнелинейной системы при u (t) = uоп(t), тем с большим основанием линейную системуx&  x   uможно считать системой уравнений, описывающих изменения указанных отклонений x(t) иu(t).Таким образом, линеаризация дифференциальных уравнений предполагает, чторешение можно представить в виде суммы двух решений, одно из которых рассматриваетсякак базовое, или опорное, а второе является достаточно малым для того, чтобы в степенномразложении можно было бы с приемлемой точностью ограничится лишь членами рядастепени не выше первой (линейными членами).

Для уравнений движения это означает, чтодвижение представимо в виде опорной траектории и малых отклонений от неё(«возмущенного» движения). Если в качестве опорного выбирается решение исходнойнелинейной системы уравнений, то   O 2 ( x , u ) , а движение, описываемое xоп(t) и uоп(t),называется «невозмущенным». Линейные дифференциальные уравнения, являющиесярезультатом процедуры линеаризации, описывают только возмущенное движение, т.е.движение в отклонениях от опорного. Следует помнить, что результатом линеаризацииявляются и опорная траектория, и линейные уравнения возмущенного движения, а также то,что этот результат означает существование конечного интервала времени, в котором суммаопорного и возмущенного движений будут отличаться от траектории, соответствующейисходным уравнениям, не больше, чем на некоторую конечную величину. Однако, прилинеаризации в общем случае отсутствует ответ на вопросы, какой величины отклоненияможно принимать «малыми» и сколь длителен тот интервал, при котором точностьлинейного приближения можно считать удовлетворительной.

Остается открытым и вопрос овыборе опорных траекторий, от которого во многом зависит результат.Другими словами - хотя формально процедуру линеаризации можно провести почтивсегда, это не означает, что ее результат может быть использован при решении конкретной1задачи. Поэтому практически линеаризацию применяют, как правило, в сочетании с другимиметодами декомпозиции, когда корректность результата может быть проверена другими,«внешними» по отношению к линеаризации способами.В качестве примера можно рассмотреть результат линеаризации уравненийпространственного движения ЛА (для случая, когда изменения высоты и скорости можносчитать достаточно малыми по сравнению с изменением угловых параметров движения)R yag (sin  sin   cos  cos  cos  ),&   z  ( x cos    y sin  ) tg mV cos V cos Rg&   x sin    y cos   za  (cos  sin  cos   sin  cos  sin   cos  cos  sin  sin ) ,mV V&  y sin   z cos  ,sin ( y cos   z sin  ) ,cos & x  ((Jy  Jz) y z + MFx)/ Jx ,& y  ((Jz – Jx) zx + MFy)/ Jy ,&   x & z  ((Jx – Jy) xy + MFz)/ Jz .В этой системе оставлены лишь уравнения, определяющие переменные, входящие вдругие уравнения.

Для определенности примем, что вектор тяги находится в плоскостисимметрии, линия действия тяги проходит через центр масс ЛА и составляет с продольнойосью ЛА угол , аэродинамические силы заданы коэффициентами в скоростной системекоординат (СК) cxa, cya, cza, а моменты - коэффициентами в связанной СК mx, my, mz, т.е.R ya  qSc ya  P sin(  ) , R za  qSc za  P cos(  ) sin  ,M Fx  qSlm x , M Fy  qSlm y  Lдв z , M Fz  qSba m z  Lдв y ,где LДВ - момент количества движения двигателя.Изменения сил при отклонениях управляющих органов принимаются пренебрежимоc yacмалыми, т.е. cyai  0 , czai  za  0 , где i  в , н , э . i iПри малых отклонениях для коэффициентов сил и моментов справедливыпредставления в линейной формеcxa = cxa0 + cxa, cya = cya0 + cya, cza = cza + cza,mx = mx + mx + mxxx + mxyy + mxээ+ mxнн,my = my + my + myxx + myyy + mzнн,mz = mz0 + mz + mzzz + mzвв,P = P0 + P.Систему уравнений, полученную в результате линеаризации, можно записать в виде &   a  &   a   & x  a mx  & y   a my & z  a mz &      0 &   0a a a xa xa ya y10a a a mxa mya mxxa myxa mxya myya mxza myz00a mz00a mzx01a mzya ya ya mzza za z00a a       0a       0 э0  x  a mx  э0   y   a my0   z   0 a       0a       000нa mxнa my000   э   н a mzв    в 0 0 00002Коэффициенты этих уравнений называются динамическими коэффициентами иопределяются выражениями:a   хоп sin  оп tg оп   уоп cos  оп tg оп g cos  оп sin  оп  sin  оп cos  оп cos  оп  cos  оп VPsin( оп  ) cos  оп mVqS c ya cos  оп ,mV1a    хоп cos  опcos 2  опPопcos( оп  ) cos  оп mV  уоп sin  оп1cos 2  опgsin  оп sin оп  cos  оп cos  оп cos оп sin  оп VPqS оп sin(  оп  ) sin  оп c ya sin  оп ,mVmVa  x   cos  оп tg оп ,a  y  sin  оп tg оп ,ga   sin  оп cos оп  cos  оп cos  оп sin оп  cos  оп ,Vga   cos  оп sin  оп cos оп cos  оп ,Va    хоп cos  оп   уоп sin  оп gsin  оп sin  оп sin оп  cos  оп sin  оп cos  оп cos оп  VPPqS c za ,cos( оп  ) sin  оп  оп sin( оп  ) sin  оп mVmVmVga   (cos  оп cos  оп sin оп  sin  оп cos  оп cos  оп cos оп VPqS  sin  оп sin  оп cos оп )  оп cos( оп  ) cos  оп c za ,mVmVa  x  sin  оп , a  y  cos  оп ,g(cos  оп sin  оп cos  оп  sin  оп sin  оп cos  оп sin  оп V cos  оп sin  оп sin оп ),ga   (sin  оп sin  оп sin  оп cos оп  cos  оп cos  оп cos оп ),VqSl qSl qSl  xam x , a mx mx ,a mxx mx ,mx JxJxJxJy  JzJ y  JzqSl  ya mxy mx ,a mxz  zoп  уоп ,JxJxJxJ  JxqSl qSl qSl  xamy ,a my my ,a myx  zmy , zoп my JyJyJyJya  3L ДВJ  Jxa myz  z, хоп JyJyJx  JyqSb a a mzx mz ,a mz  0 , уоп ,JzJzJx  JyL ДВqSb a  za mzz mz , хоп JzJzJza myy amza mzyqSl  ymy ,Jya  z  cos  оп ,a  y  sin  оп ,za  tgопsun оп ,a  y   tgоп cos  оп ,a 12(уоп cos  оп  zoп sin  оп ) ,cos опqSl  ээa mxmx ,Jxэ 0,a myнa mxнa mya  уоп cos  оп   zoп sin  оп ,a   tg оп ( zoп cos  оп   yoп sin  оп ) ,qSl  нmx ,JxqSl  нmy ,JyqSb a  Bmz .JzСравнение результатов численного интегрирования исходной нелинейной системы илинеаризованной (в качестве опорного движения выбирались решения исходной нелинейнойсистемы, а «возмущениями» являлись отклонения рулей или элеронов от их «опорных»значений на 10) показывает, что приемлемая близость решений сохраняется в пределаходной секунды, а затем расхождения приобретают не только количественный, но икачественный характер.

Другими словами, или указанные возмущения нельзя считать«малыми», или можно считать, что линеаризованная модель работоспособна лишь в теченииодной секунды. Причем последнее справедливо лишь для тех возмущений, для которыхпроводился эксперимент – для других период работоспособности линеаризованной моделиможет оказаться другим.вa mz4.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций