Деменков Н.П. Вычислительные аспекты решения задач оптимального управления (2007) (1253737), страница 4
Текст из файла (страница 4)
е. системами, которые описываются разностными уравнениями, а также системами, заданными в видеэкспериментально определенных графиков и таблиц численныхданных.Перед институтом, в котором работал Р. Беллман, правительством США была поставлена задача рационального размещениявоенных баз. Обдумывая эту задачу, Р. Беллман и сформулировалосновные идеи динамического программирования.В основе метода динамического программирования лежитсформулированный Р. Беллманом принцип оптимальности. Этотпринцип верен для тех систем, последующее движение которыхполностью определяется их состоянием в текущий момент времени. К таким системам относятся, например, управляемые системы,т.
е. системы, которые описываются системой дифференциальныхуравнений. Состояние такой системы описывается точкой х фазового пространства, а движение – это некоторая траектория x(t) вфазовом пространстве (фазовая траектория). Принцип оптимальности также распространяется на дискретные системы, которыеописываются конечно-разностными уравнениями. В таких системах роль времени играет дискретный параметр.Принцип оптимальности отражает важнейшие особенности задач оптимального управления.
Его суть можно объяснять поразному. Ввиду его важности приведем несколько формулировок.Первая формулировка. Если управление оптимально, то, каковы бы ни были первоначальное состояние системы и управлениесистемой в начальный момент времени, последующее управление21оптимально относительно состояния, которое система примет врезультате начального управления.Указанное свойство – одно из основных для процессов марковского типа, т.
е. процессов, будущее поведение которых полностью определяется состоянием и управлением в настоящее время.Вторая формулировка. Оптимальное управление в любой момент времени не зависит от предыстории системы и определяетсятолько состоянием системы в этот момент и целью управления.Под целью управления в данном случае понимается требование, которому должна удовлетворять система, движение которойопределяется управлением. Это может быть приведение системы взаданное состояние или обеспечение определенных условий движения в течение заданного периода времени.Третья формулировка. Начиная с любого момента времениt' ∈ [t1, t2], участок оптимальной траектории x ∗ (t ), t ∈ [t1, t2] от точки x ∗ (t ′) до точки x ∗ (t2 ) также является оптимальной траекторией (рис.
1.8).Другими словами, каково бы ни было положение точки x ∗ (t ′)на оптимальной фазовой траектории, ее участок от точки x ∗ (t ′)(участок 2 на рис. 1.8) тоже является оптимальной траекторией.Что же касается участка 1 оптимальной траектории до точки∗x (t ′), то можно утверждать, что этот участок есть оптимальнаятраектория, когда точка x ∗ (t ′) = x′ является фиксированнойРис.
1.8. К принципу оптимальности Р. Беллмана(как, например, в многоточечных задачах управления), т. е. когдапо условию задачи допустимая траектория обязательно должна22проходить через точку х'. Если же задана только начальная точкаx ∗ (t1 ) = x′, то участок 1 оптимальной траектории сам по себе может и не быть оптимальной траекторией, т. е. может не доставлятьмаксимум функционалу в задаче со свободным правым концом.Таким образом, важно иметь в виду, что принцип оптимальности относится к последующему за данным состоянием движениюсистемы, но может нарушаться для движения, предшествующегоданному состоянию.Отметим еще одну особенность оптимального управления, вытекающую из принципа оптимальности: выбор оптимальногоуправления определяется лишь состоянием системы в текущиймомент времени.
Если в какой-то период времени управление было неоптимальным, то последствия этого в будущем исправитьуже нельзя.Метод приводит к уравнению в частных производных−⎧⎪⎫⎪∂J ∗∂J ∗f ( x , u , t )⎬.= min ⎨ L ( x , u , t ) +u ⎪∂t∂x⎪⎭⎩(1.10)Основное достоинство метода заключается в том, что он позволяет избежать аналитического решения и дает возможность получить весьма прозрачные хорошо осмысливаемые физически алгоритмы приближенного решения задачи путем расчленения ее наэтапы, а также вычислять на каждом этапе локальных участковоптимальные фазовые траектории без «оглядки» на граничные условия и целенаправленного перебора локальных вариантов дляполучения окончательного решения.Основной недостаток метода заключается в очень высокихтребованиях к объему памяти ЭВМ.
Так, если имеется 4 переменных состояния и каждая переменная представлена 100 значениями,то нужна таблица в 108 данных.Динамическое программирование играет важную роль при решении задач оптимального управления по меньшей мере по двумпричинам. Во-первых, динамическое программирование рассматривает задачи оптимального управления, исследуя зависимостькритерия оптимальности во времени от различных начальных условий. Во-вторых, оно дает, по существу, решение задачи синтезаоптимального управления и позволяет решать задачи, которые неразрешимы с помощью других методов, например задачи стохастического управления.231.5.4. Методы математического программированияЗа последние годы для решения задач оптимального управления все шире применяются методы математического программирования.Методы математического программирования включают редукцию вариационной задачи к конечномерной и ее решение разработанными методами линейного и нелинейного программирования,т.
е. нахождение экстремума функции многих переменных при ограничениях типа равенств и неравенств. При этом сложные ограничения на переменные состояния и управления учитываются достаточно просто, а объем памяти ЭВМ может быть значительноменьше, чем при динамическом программировании. К середине60-х годов ХХ в. сложилось самостоятельное направление – численные методы оптимизации. Это направление является составнойчастью вычислительной математики.Американский ученый Л.А.
Заде в 1965 г. ввел математическоепонятие «нечеткое множество», обобщающее понятие обычногомножества. Вводя в рассмотрение нечеткие параметры, классическоематематическое программирование можно рассматривать как нормативную методологию эффективного выбора. Использование аппаратанечетких множеств привело к разработке метода нечеткого программирования, которое выделяет естественную множественность целейи значений, неточно определенных подцелей и ограничений.1.6. Разработка эффективных вычислительныхалгоритмов оптимизацииВажным этапом является разработка конструкций вычислительных алгоритмов, доведение расчетов до фактического решения задачи; рассмотрение совокупности приемов, образующих вычислительную технологию.Это очень важная часть практической вычислительной работы,без грамотного оформления которой никакую идею не удастся довести до успешного расчета.Задачу оптимизации необходимо рассматривать не как проблему принципиальной возможности приближенного решения, акак проблему фактической эффективности алгоритма.Вычислительные методы оптимального управления можно подразделить на два больших класса: 1) решение краевой задачи и 2) нахождение управления непосредственно в пространстве управлений.24ГЛАВА 2.
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧНеобходимые условия оптимальности как в классическом вариационном исчислении, так и при использовании принципа максимума позволяют нам сформулировать некоторую краевую задачу. Искомая экстремаль должна содержаться среди решений этойкраевой задачи.Проблема расчета оптимальных программ не была бы сложной, если бы мы умели достаточно хорошо решать краевые задачидля обыкновенных дифференциальных уравнений.По существу же мы умеем численно решать только задачу Коши – определять траекторию по начальным данным.
Но в рассматриваемом случае мы имеем на левом конце всего лишь n условий,хотя система имеет порядок, равный 2n.Возникает проблема, каким образом, используя наше умениерешать задачу Коши, можно построить решение краевой задачи?Существуют три направления в методах решения краевых задач.1. Редукция к задаче отыскания корней трансцендентнойфункции. Наиболее известным методом в этой группе являетсяметод Ньютона.2.
Перенос граничных условий. Здесь следует отметить методА.А. Абрамова, исключающий «быстрорастущие» решения.3. Использование процедуры решения задач со свободным концом. Здесь необходимо выделить группу методов, применяющих сопряженные уравнения, и метод последовательных приближений.2.1. Редукция к задаче отыскания корнейтрансцендентной функцииПусть ставится задача об отыскании управления ū(t), котороепереводит системуx = f ( x , u , t )(2.1)за время tk – t0 из одного фиксированного состояния x0 в другоефиксированное состояние xk при условии, что интеграл25tkJ ( x , u ) = ∫ L( x , u , t )dt(2.2)t0принимает минимальное значение.Эта задача сводится к отысканию функций x1,…,xn, p1,…, pn,удовлетворяющих системе уравнений (П-системе)xi = fi ( x1 ,..., xn ,u1 ,..., um ,t );n∂f jj =1∂xip i = − ∑ p j−(2.3)∂L= ϕ i ( x1 ,..., xn ,u1 ,...,um , p1..., pn ,t ), i =1,2,..., n,∂xiгде u = u ( x , p, t ) в каждый момент определяется из условия максимума функции Гамильтона.Решение системы (2.3) должно удовлетворять 2n условиямxi(t0) = x0i;xi(tk) = хik;i = 1, 2,…, n.(2.4)Для того чтобы построить интегральную кривую системы (2.3),мы должны тем или иным способом задать n чисел pi(t0) = αi.
Построив по значениям x0i и αi траекторию системы (2.3), получимпри t = tk некоторые значения координат xi (tk ). В общем случае,разумеется, они не будут равны xik.Введем величины, которые мы будем называть невязками:X i = xi (tk ) − xik .Очевидно, что невязки будут функциями начальных значенийимпульсов:X i = X i (α1 , α 2 ,..., α n ), i = 1, 2,..., n.(2.5)Для того чтобы решить поставленную задачу отыскания оптимальной программы, найдем числа α1, α2,…, αn, которые обращают функции Xi в нули.Таким образом, мы свели исходную вариационную задачу кзадаче отыскания нулей функций Xi(α1, α2,.., αn).Заметим следующее.261.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
