2. Методы и алгоритмы наведения аэрокосмических ЛА (1245720), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

на (T  t ) . Ввиду того, что в данном случае текущий моментвремени рассматривается формально в качестве момента начала движения, вполиноме (12) следует положить t  0 и, таким образом, программа замкнутогоуправления определяется единственным коэффициентом полинома (12) – коэффициентом c 0 :(14)a трx ( t )  c 0 ( x ( t ), Vx ( t ), q k , T  t ), i  0, k .В номинальных условиях движения при отсутствии возмущений и погрешностей измерений разомкнутые и замкнутые программы тождественны втом смысле, что задают движение объекта по одной и той же фазовой траектории.Различия между разомкнутыми и замкнутыми программами проявляютсяв условиях возмущенного движения.

Разомкнутые программы при действиивозмущений приводят к методической ошибке наведения, величина которойопределяется длительностью процесса управления и уровнем возмущений. Замкнутые программы формируются по принципу обратной связи, что обеспечивает существенное уменьшение методической ошибки наведения.Конкретные варианты программ требуемых ускорений, определяемыхсоответствующими вариантами задания терминальных условий наведения1. Пусть задана конечная скорость Vx k  Vx (T) . Значение координаты xв момент T не фиксируется. В данном случае имеем единственное терминальное условие, и программа требуемых ускорений выбирается в виде константы,(15)a трx (t )  c0 .Для определения коэффициента c 0 проинтегрируем уравнение движенияx  c0 с начальным условием Vx 0 :(16)Vx (t)  Vx 0  c0 t .Vx k  Vx 0  c 0 T,(17)V  Vx 0c0  x k.TПрограмма замкнутого управления:Vx k  Vx ( t )(18)a тр.x (t ) TtПроверка тождественности программ управления (15) и (18):dV(19)(T  t ) x  Vx  Vx k .dtdVx(20) Vx  Vx k .dzОбщее решение уравнения (20):Vx  B0 e  z  Vx k .Постоянная интегрирования при t  0 (e  z  T) :1B0  (Vx 0  Vx k ) .TЧастное решение уравнения (19), полностью совпадающее с (16):Vx k  Vx 0t.TАнализ программы замкнутого управления (18) в окрестности терминальной точки:0при t  T.lim a трx t T02.

Пусть задана координата x k  x(t) , а конечная скорость объекта свободна. Как и в предыдущем случае, программа требуемых ускорений имеет видконстанты:(21)a трx (t )  c0 .1(22)x ( t )  x 0  Vx 0 t  c 0 t 2 ,21x k  x 0  Vx 0 T  c 0 T 2 .22( x k  x 0 ) 2Vx 0.(23)c0 TT22[ x k  x ( t )] 2Vx ( t )a тр.(24)x (t) Tt(T  t ) 2Vx ( t )  Vx 0 d2xdx2(Tt) 2x  2x k .(25)dtdt 22dxd2xdxz dx2z d xe,e e 2z.22dtdzdzdtdz(26)x  B0 e  z  B1e 2z  x k .V2( x k  x 0 )x xB0   Vx 0 , B1   k 2 0  x 0 .TTT3. Зададим два терминальных условия наведения – координату x k  x(T)и скорость Vx k  Vx (T) .

В этом случае программа требуемых ускорений представляет собой линейную функцию времени:(27)a трx (t)  c 0  c1t .Интегрируя дифференциальное уравнение x  c0  c1t с начальнымиусловиями x 0 и Vx 0 , получаем111Vx (t )  Vx 0  c 0 t  c1t 2 , x(t )  x 0  Vx 0 t  c 0 t 2  c1t 3 .226111Vx k  Vx 0  c 0 T  c1T 2 , x k  x 0  Vx 0 T  c 0 T 2  c1T 3 ,2266( x k  x 0 ) 2(Vx k  2Vx 0 )c0 ,TT2.(28)12( x k  x 0 ) 6(Vx k  Vx 0 )c1  .T3T2(T  t ) 26[ x k  x ( t )] 2Vx k  4Vx ( t ).(29)Tt(T  t ) 24. Увеличим количество терминальных условий наведения. В дополнениек параметрам x k и Vx k фиксируем ускорение в конечный момент времени,a x k  a x (T) .

В частном случае a x k  0 , что обеспечит плавное торможениеобъекта управления при приближении к терминальной точке. Запишем программу требуемых ускорений в виде квадратичной функции времени:2(30)a трx ( t )  c 0  c1t  c 2 t .a трx (t) Проинтегрировав дифференциальное уравнение x(t )  c 0  c1t  c 2 t 2 сначальными условиями x 0 , Vx 0 и учтя заданные терминальные условия, получим три уравнения для определения коэффициентов c 0 , c1 и c 2 :a x k  c 0  c1T  c 2 T 2 ,11Vx k  Vx 0  c 0 T  c1T 2  c 2 T 3 ,23111x k  x 0  Vx 0 T  c 0 T 2  c1T 3  c 2 T 4 ,261212( x k  x 0 ) 6(Vx k  Vx 0 )c0  axk ,TT248( x k  x 0 ) 2(15Vx k  9Vx 0 ) 6a x kc1  ,(31)TT3T236( x k  x 0 ) 12(2Vx k  Vx 0 ) 6a x kc2  2 .T4T3T12[ x k  x ( t )] 6Vx k  6Vx ( t )a тр axk .(32)x (t) Tt(T  t ) 25.

Расширим состав терминальных условий наведения, включив в их число наряду с параметрами x k , Vx k , и a x k значение производной ускорения втерминальной точке, a x k  a x (T) . В этом случае программа ускорений задаетсяв виде полинома третьей степени:23(33)a трx ( t )  c 0  c1t  c 2 t  c 3 t .20[ x k  x ( t )] 12Vx k  8Vx ( t )Tta тр(t) 3a x k a x k .(34)x2Tt3(T  t )234(35)a трx ( t )  c 0  c1t  c 2 t  c 3 t  c 4 t ,30[ x k  x ( t )] 20Vx k  10Vx ( t )(T  t ) 2трa x k . (36)a x (t)  6a x k  ( T  t ) a x k Tt6(T  t ) 2a трx (t)2(2  3k  k 2 )[ x k  x(t )] (k  k )Vx k  2(k  1)Vx (t ).Tt(T  t ) 2(37)Дополнительное замечание.111Vx k  a x k T  a x k T 2  a x k T 3   a (xkk ) T ( k 1) ,2!3!(k  1)!(38)111x k  Vx k T  a x k T 2  a x k T 3   a (xkk ) T ( k  2) ,2!3!(k  2)!где k – степень полинома, задающего программу разомкнутого управления;a (xkk ) – производная степени k от ускорения на момент T .Анализ приведенных зависимостей показывает следующее:1.

Для уменьшения погрешностей наведения x k и Vx k , вызванных погрешностью времени управления T , следует включить в состав терминальныхусловий наведения значения ускорения a x k и ряда его производных, положивих равными нулю.2. Ввиду того, что при задании программы управления полиномом степени k в состав терминальных условий наведения могут быть включены производные от ускорения только до степени ( k  2) включительно, значения минимально достижимых методических погрешностей наведения отличны от нуля иопределяются зависимостями:11minVxk a (xkk 1) T k a (xkk ) T ( k 1) ,k!(k  1)!11x min Vx k T a (xkk 1) T ( k 1) a (xkk ) T ( k  2) .k(k  1)!(k  2)!6.3.

Анализ оптимальности программ управленияКритерий оптимальности – требование минимальности среднеинтегральной величины требуемого ускорения на интервале управления:T12(39)J   [a трx ( t) ] dt .20Модель объекта управления в виде системы уравнений второго порядка:x  u,(40)x  Vx , VНайдем оптимальное управление u opt (t ) , удовлетворяющее требованиюминимальности интеграла:T1 2(41)J   u ( t)d t20и обеспечивающее перевод объекта управления из заданного начального состояния x 0 , Vx 0 в терминальное состояние x k , Vx k за фиксированное время T .Введем дополнительную фазовую переменную:t1 2(42)x 3   u ( t)d t ,20удовлетворяющую дифференциальному уравнению1x3  u 2 ,2и начальному условиюx 3 (t 0 )  0 .В результате критериальная функция примет вид:J  x 3 (T)  x 3k .Гамильтониан и систему дифференциальных уравнений для сопряженныхпеременных:1H  p1Vx  p 2 u  p 3 u 2 ,2p 1  0, p 2  p1 , p 3  0.Интегрируя эти уравнения, получаем их общее решение:p1  c1, p2  c1t  c2 , p3  c3.Необходимое условие экстремума гамильтониана:H 0.uОптимальное управление:pc t  c2u opt ( t )   2  1.(43)p3c3Дальнейшая конкретизация вида функции (43) зависит от значений констант c1 , c 2 , и c3 , которые определяются по краевым условиям для сопряженных переменных и краевым условиям для фазовых координат.В рассматриваемом случае краевые условия для всех сопряженных переменных в начальный момент времени не определены, так как фазовые координаты x , Vx и x 3 по условиям задачи в этот момент фиксированы.

Фазовая координата x 3 в терминальный момент времени свободна, поэтому для сопряженной переменной p3 может быть записано краевое условие:Jp 3 (T )   1 , c3  1.x 3kСледовательно, c3  1 и выражение (43) принимает вид:u opt (t )  c1t  c 2 .(44)Анализ трёх вариантов задачи управления,различающихся характером задания терминальных условий наведенияВариант 1. Терминальная координата x k свободна, терминальная скорость Vx k фиксирована.Jp1 (T)   0 , c1  0 .x ku opt ( t )  c 2Вариант 2.

Терминальная координата x k фиксирована, терминальнаяскорость Vx k свободна.Jp 2 (T )   0 ,  c1T  c2  0 , c 2  c1T .Vx k(45)u opt (t )  c1 (T  t ).x  c1 (T  t)3( x k  x 0 ) 3Vx 0(46)c1  2 .T3T 3( x k  x 0 ) 3Vx 0 u opt 2  (T  t ) .(47)раз  3TT3[ x k  x ( t )] 3Vx ( t )u opt.(48)зам Tt(T  t ) 2Вариант 3. Фиксированы оба терминальных условия наведения, координата x k и скорость Vx k .6.4. Некоторые вопросы практического примененияметода требуемых ускорений1. Разомкнутым программам управления присуща методическая ошибканаведения, определяемая длительностью интервала управляемого движения иуровнем возмущений.

Для того чтобы уменьшить методическую ошибку доприемлемой величины, программы разомкнутого управления применяютсятолько при условии периодического пересчета их коэффициентов по текущейнавигационной информации с некоторым периодом T . В данном случае обратная связь включается в формирование программ управления, но не непрерывно, как в программах замкнутого управления, а периодически. В зависимости от содержания конкретной задачи управления величина T может изменяться в пределах от десятка секунд до долей секунды.2.

Характеристики

Список файлов лекций