Часть 1. Искусственные нейронные сети в задачах системного анализа (1245270), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Возможно, внекоторых случаях использование линейных моделей может быть вполнеобоснованно. Далее предлагается ряд тестов, на основе которых возможнопринять решение о целесообразности использования линейной (нелинейной) модели.40Проверка принципа суперпозиции. Основными условиями линейности системы является выполнение принципа суперпозиции (2.28) и гомогенности (2.29) системы:гдеϕi –y (t ) = g (ϕ 1 (t ) + ϕ 2 (t )) = g (ϕ 1 (t )) + g (ϕ 2 (t )) ,(2.28)y (t ) = g ( αϕ(t )) = αg (ϕ(t )) ,(2.29)последовательности входных сигналов;зуемое системой;αg (*)– отображение, реали-– некоторая константа. В случае, когда возмущения,действующие на систему, незначительны (отсутствуют), условия (2.28) и(2.29) могут быть проверены следующим образом: на систему подается нулевой входной сигнал, определяется реакция в установившемся режиме(D).
Затем система тестируется двумя сигналамиu1 , u 2 ,сформированными всоответствии со следующим выражением:u 2 (t ) = cu1 (t ), c = const .(2.30)В случае линейности системы коэффициентr (t ) =y 2 (t ) − Dy 1 (t ) − D(2.31)должен быть равен значению константы c . В качестве показателя нелинейности системы может быть использован коэффициент, определяемый в соответствии со следующим выражением:⎧ r (t ) − c ⎫v = max ⎨⎬.t ⎩c⎭(2.32)Для линейных систем показатель (2.32) должен быть равен нулю.Проверка частотного отклика системы. Частотный отклик линейнойсистемы не зависит от амплитуды входного тестирующего сигнала. Следовательно, оценка нелинейности системы может быть проведена путем проверки реакции системы на синусоидальные воздействия.
Как частота, так иамплитуда тестирующего синусоидального сигнала должна изменяться. Вэтом случае линейная система вырабатывает выходные сигналы той жечастоты, что и входная синусоида, с амплитудой, пропорциональной ам-41плитуде входного сигнала. Анализ преобразования Фурье на наличие дополнительных гармоник позволяет сделать предположение о нелинейностисистемы.
При наличии возмущений (измерительных шумов) рекомендуется проводить оценку усредненных по результатам нескольких экспериментов выходных последовательностей.2.3.2.Особенности формирования информативного множестваэкспериментальных данныхВ случае, когда априорные знания о физике объекта или результаты тестирования на нелинейность позволяют сделать заключение о целесообразности применения нелинейных нейросетевых моделей, возникает ряд специфических вопросов, связанных с планированием эксперимента и получением информативного множества данных, пригодных для построенияработоспособных моделей.Выбор частоты дискретизации. В случае, когда частота дискретизациивыбрана неоправданно высокой по сравнению с динамикой рассматриваемой системы, могут возникнуть серьезные проблемы вычислительного характера.
Если процедура идентификации предполагает получение модели сцелью дальнейшего использования в контуре управления, то выбор частоты дискретизации в значительной мере зависит от предполагаемого метода синтеза регулятора и, в частности, от желаемой «скорости» (динамики)замкнутой системы «объект – регулятор».
Высокая частота дискретизациипозволяет получить быстрое отслеживание траектории и более гладкийсигнал управления, но приводит к очевидным проблемам вычислительногохарактера. Таким образом, частота дискретизации должна выбираться вусловиях разумного компромисса между качественным решением задачиидентификации и рациональным синтезом регулятора.Проклятие размерности. Для нелинейных систем несправедливыпринципы суперпозиции и гомогенности. Это является причиной ужесто-42чения требований к проведению эксперимента и, в частности, к тестирующему входному сигналу. Если в случае линейных систем для реализациипроцедуры идентификации достаточно протестировать объект входнымсигналом, содержащим конечное число частот, то для нелинейных системв тестовом сигнале должны быть представлены (в общем случае) все возможные комбинации частот и амплитуд в рабочем диапазоне системы.Следствием этого факта является поистине трагическое увеличение размера экспериментальной выборки с ростом числа входов и выходов системы.Проблема носит название «проклятия размерности» [77] и, к сожалению,не имеет очевидных способов решения.
Этот общий недостаток моделирования нелинейных объектов типа «черный ящик» является существеннымпрепятствием при применении нейросетевых методов идентификации кбольшим системам.Синтез тестирующего (входного) сигнала. Перед тем как осуществить выбор тестирующего сигнала, чрезвычайно важно определить рабочий диапазон системы. Особые меры должны быть предприняты для исключения из модели «нежелательной» динамики (например, механического резонанса или других критических режимов). Традиционно этапроблема решается путем введения ограничений на частотный диапазонтестового сигнала. При идентификации линейных систем эффективно используются входные последовательности, содержащие набор синусоидальных сигналов с различной амплитудой (частотой) и так называемыепсевдослучайные бинарные последовательности [9, 77].
Однако при работе с нелинейными объектами чрезвычайно важно, чтобы во множествеэкспериментальных данных были представлены все возможные комбинации амплитуд и частот из рабочего диапазона системы. Рассмотрим некоторые варианты тестовых сигналов [77], удовлетворяющие указаннымтребованиям.Пустьe( t )– белый шум с дисперсиейσ 2e .Сигнал, определяемый как43⎛ ⎡ t − 1⎤ ⎞u(t ) = e ⎜ int ⎢⎥ + 1⎟ , t = 1, 2,...
,⎝ ⎣ N ⎦ ⎠(2.33)совершает переход на новый уровень в каждыйN- ый момент квантования(рис. 2.4). Функция ковариации сигнала определяется какR u ( τ) =N −τ 2σe .N(2.34)Спектральная плотность сигналаφ( ω)определяется в соответствии соследующим выражением:φ( ω) =σ 2e 1 − cos N ω.2πN 1 − cos ω(2.35)Большинство промышленных регуляторов способны вырабатывать сигналы управления, лишь незначительно изменяющиеся от итерации к итерации.
В данной ситуации может быть применена следующая модификация сигнала (2.31) при условии, чтоe( t )имеет гауссово распределение:⎛ ⎡ t − 1⎤ ⎞u(t ) = u(t − N ) + e ⎜ int ⎢⎥ + 1 ⎟ , t = 1, 2,... .⎝ ⎣ N ⎦ ⎠(2.36)u (t )1,510,50–0,5t–1050100150200250300350400450500Рис. 2.4. Тестовая последовательность (входной сигнал).Уровень сигнала изменяется через каждые N=10 дискретДругой вариант тестового сигнала может быть получен путем введениядобавочной переменной, определяющей момент изменения уровня входного сигнала:⎧u(t − 1) c вероятностью α,u (t ) = ⎨⎩e(t ) c вероятностью 1 − α.(2.37)44Ковариационная функция сигнала определяется в соответствии с выражениемR u ( τ) = α τ σ e2 .(2.38)Спектральная плотность сигнала определяется следующим выражением:φ( ω) =σ 2e1− α.22π 1 + β − 2α cos ω(2.39)Сигнал представлен на рис.
2.5. Для данного сигнала также может бытьрассмотрена модификация типа (2.36).Следующий тестовый сигнал представляет собой синусоиду с постояннонарастающей частотой. При использовании такого типа сигналов появляется возможность исследовать систему во всем рабочем диапазоне частот.Сигнал данного типа может быть реализован в соответствии со следующими выражениями:ωt = ωн +t( ω к − ω н ),N(2.40)u(t ) = u 0 + A sin( ω t tT ), t = 1, Nгдеωн , ωк,(2.41)– соответственно начальное и конечное значение частоты сину-соидального сигнала;A– амплитуда сигнала;T– период дискретизации.u(t10.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6050100150200250300350400450500tРис.
2.5. Тестовая последовательность (входной сигнал).Уровень сигнала изменяется в случайные моменты времени45Сигнал для частот, изменяющихся в диапазоне отω н = 0,01/ Tдоω к = 0, 2 / T,представлен на рис. 2.6. При использовании данного типа сигнала дляидентификации нелинейных систем тестирование должно быть проведенопри различных начальных значениях сигналаu0и амплитуды A .Независимо от выбранного типа тестового сигнала необходимо принимать во внимание особенности рассматриваемой системы.
Например, вбольшинстве случаев существует ряд ограничений, обусловленных физическими или техническими особенностями объекта. Так, для цифроаналоговых преобразователей и исполнительных механизмов существуетнекоторая точка насыщения.Проведение эксперимента в системе с обратной связью. В случае, когда система является неустойчивой или обладает высокой колебательностью, рекомендуется использовать стабилизирующую обратную связь сцелью удержания системы в рабочем диапазоне.
В качестве регулятораможет быть выбран простейший вариант ПИД-стратегии или даже проведена стабилизация системы вручную (в случае медленной динамики объекта). Вопросы идентификации замкнутых систем рассматриваются в рядеработ, например в [77]. Основной проблемой при идентификации систем собратной связью является возможная потеря идентифицируемости. Преодолеть эту проблему можно путем введения дополнительного сигналауправленияuТв замкнутый контур (рис. 2.7).
Введение дополнительногосигнала может оказаться эффективным даже в случае теоретической идентифицируемости системы. Это объясняется тем, что настраиваемый вручную регулятор или человек-оператор являются достаточно «консервативными» в смысле скорости формирования (изменения) воздействия, т.е.
тестовый сигнал в этом случае охватывает только область низких частот. Таким образом, может возникнуть ситуация, когда данные о поведении системы в высокочастотной области рабочего диапазона не войдут в обучаю-46щее множество. Добавление высокочастотной составляющей в соответствии со схемой (рис. 2.7) может решить данную проблему.u(t)10 .80 .60 .40 .20-0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
