Вывод некоторых соотношений, используемых в гидродинамике (1244981)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ВЫВОД НЕКОТОРЫХ СООТНОШЕНИЙ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В ГИДРОДИНАМИКЕ1. Соотношение, связывающее изменения импульса потока и импульсов входящих внего частицdK ddud  udw    dw при divu  q mdt dt wdtdtw(изменение количества движения потока равно суммарному изменению количествадвижения входящих в этот поток частиц при сохранении сплошности среды).Соотношение является очевидным для системы постоянного состава, которую всегдаможно представить состоящей из частиц постоянной массы. Но в общем случае системыпеременного состава простая замена порядка дифференцирования и интегрированияневозможна.Для доказательства этого соотношения в общем случае (сначала, чтобы незагромождать преобразования - в предположении об отсутствии источников и стоков)нужно записать проекции общего выражения для изменения импульса потокаdK du  udw  dw   u ( u  d s )dt dt wtwSна оси прямоугольной системы координат и к каждой проекции применить теоремуГаусса-Остроградского.

Например, для проекции по оси хdK xu   x dw   u x ( u  d s ) dttwSu x  u dw   div(u x u )dw    x  div(u x u ) dw .ttwwwПосле очевидных преобразований подынтегрального выраженияu x u x  div(u x u )  div(u x u ) tt u x   u x u x  u x u y  u x u z  txyzu u x  uxu x   u y  u x   u z  u x   u x  u x  y  u z  txyzyz  xd u x  u x div( u )dtможно снова перейти к векторной формеdKdu d u  d  (u )divu dw    dw    u  divu u dw dt w  dtdtdtwwdu d   dw     divu udw .dtdtwwВторой интеграл в преобразованном выражении обращается в ноль, так как подинтегралом - левая часть уравнения неразрывностиd divu  q m при q m  0 ,dtпоэтому1dK ddudu d  udw    dw     divu udw    dw .dt dt wdtdtdtwwwПри наличии источников (стоков) в правые части общего выражения для измененияимпульса потока добавится QK ( t )   q K dw   uq m dw , а в уравнениеwwнеразрывности q m  0 .

В результате полученное соотношение не изменится.2. Дифференциальные уравнения движения жидкостей и газов(уравнения Эйлера и Навье-Стокса)Дифференциальные уравнения движения жидкостей и газов можно получить иззакона сохранения импульса сплошной среды, записанного в видеdu  dt dw   f m dw   s ds ,wwSесли соответствующим образом преобразовать второе слагаемое в правой части,выражающее действие поверхностных сил, т.е. представить его в виде интеграла пообъему.Так как для любой площадки d s  nds  s   x cos  sx   y cos  sy   z cos  sz , где x ,  y ,  z - напряжения в трех взаимно перпендикулярных направлениях, а  sx ,  sy ,  sz- углы, определяющие положение нормали площадки n относительно осей x, y, z, то  ds    dssxSx  y ds y   z ds z .SДля каждой проекции этого выражения, воспользовавшись симметричностью  xx  yx  zx матрицы    x  y  z     xy  yy  zy  , которая называется тензором напряжений, xz  yz  zz где ij - проекция на ось j напряжения на площадке, нормальной оси i, для i, j  x , y, z , иприменив теорему Остроградского-Гаусса, можно перейти от поверхностного интеграла кинтегралу по объему sx ds    xx ds x   yxds y  zx dsz    xx dsx  xyds y  xz dsz  SSS    x  d s   divx dw    xx  xy  xz dw.xyz Sww y  z  dw и подставив её вВернувшись к векторной записи  s ds    x xyz Swуравнение закона сохранения импульса,  x  y  z dudwfdwmw dtww  x  y  z dw ,можно получить искомые дифференциальные уравнения гидродинамики y  z  du . f m    x dtxyzЭти уравнения можно получить и по другому, если взять неподвижныйэлементарный контрольный объем в виде прямоугольного параллелепипеда со сторонамиdx, dy, dz и применить к нему закон сохранения импульса2d ( mu )du d dxdydz  dxdydzudtdtdt    dxdydzf m   x dx dydz   y dy dxdz   z dz dxdy. x z yd (dw ) dw  divu , то для сплошной жидкостиdtd d  d (dw )   d(dw )   dw   divu dw  0 (выражение в скобках – уравнениеdt dt  dt   dtнеразрывности, т.е.

– закон сохранения массы). du   dxdydzf m   x dx dydz   y dy dxdz   z dz dxdy , илиВ итоге dxdydzdt x z y y  zdu f m  x .dtxyzТаккакdxdydz  dwиВ проекциях на координатные оси уравнения гидродинамики имеют видdu x  X  xx  yx  zx ;dtxyzdu y  Y  xy  yy  zy ;xydtzdu z  Z  xz  yz  zz ,dtyzxили, воспользовавшись обозначениями для нормальных p ii   ii и касательныхij  ij при i  j напряжений для всех i, j  x , y, z , yx  zxdu xp X  xx ;dtxyzdu y xy p yy  zy Y ;dtxyz yz p zzdu. z  Z  xz dtxyzЗдесь надо обратить внимание на связь между изменением скорости и изменениемдавления. Так как гидродинамическое давление равно среднему от нормальных1напряжений, взятому с обратным знаком p   p xx  p yy  p zz , а из полученных3уравнений видно, что рост нормальных напряжений соответствует увеличениюp xxскорости в соответствующем направлении (например, увеличениесопровождаетсяxdu xростом), то рост давления соответствует уменьшению скорости вdtсоответствующем направлении.

Знак минус в выражении для давления следует из того,что положительным давлением считается сжимающее, а рхх направлено по внешнейнормали к площадке.Полученные уравнения являются уравнениями движения (динамики) жидкостей (исплошных сред вообще). Видно, что для получения законов движения необходимо знать3не только внешние силы, но и поля плотностей =(x,y,z,t) и тензора внутреннихнапряжений  ( x, y, z , t ) , которые, в свою очередь, могут оказаться зависимыми отпроисходящего движения.Таким образом, дальнейшее рассмотрение этих уравнений требует знаниядополнительных связей (зависимостей) между входящими в них параметрами, в частности- связей между напряжениями и деформациями.

Характер связей между напряжениями идеформациями определяется физическими свойствами среды, и наоборот, задание тогоили иного характера этих связей определяет среду математически, т.е. – задаетматематическую модель среды. Например, присущее жидкостям и газам свойствотекучести предполагает, что зависимость между тензорами напряжений и скоростейдеформаций имеет конечный («безинерционный») характер, а свойство упругости –зависимость напряжений от величины деформации (закон Гука).Очевидно, простейшим является случай идеальной жидкости. В этом случае из-заотсутствия касательных напряжений нормальные напряжения одинаковы во всехнаправлениях, и уравнения получают видdup; x  X dtxdu yp Y  ;dtydup, z  Z dtzили в векторном видеdu f m  gradp .dtЗдесь p   p xx   p yy   p zz - давление (совпадающее в этом случае со статическим).Эти уравнения называются уравнениями Эйлера (для гидродинамики).Обратить внимание, что эти уравнения можно было бы получить аналогичноуравнениям Эйлера для гидростатики, если к внешним массовым силам добавить«инерционные» du, также имеющие характер массовых.dtДля вязких жидкостей с достаточным основанием можно применить гипотезупропорциональности, т.е.

предположить, что все напряжения пропорциональныскоростям соответствующих относительных деформаций. Согласно закону вязкого тренияНьютона это предположение справедливоyu xдля угловых деформаций. Действительно,dyyB’’DD’’ по этому закону для движения, например, вBнаправленииосих,наплощадке,перпендикулярнойосиу,возникаетuкасательное напряжения  yx   x , а косаяdydyu xпроизводнаяравна скорости измененияyd u xxугла сдвига d (см. рисунок), т.е.dty0dxA(с учетом малости tgd принимаетсяdравным самому углу d ).

Таким образом  yx   . Переходя к введенной ранее матрицеdt41  u u j ; i, j  x, y, z  , и учитывая, чтоскоростей относительных деформаций  ij   i 2  ji 1 dпри показанном на рисунке сдвиге  yx (сдвиг на угол d соответствует угловой2 dtdдеформации на уголс одновременным поворотом на такой же угол оси деформации от2OD к OD"), соотношение можно записать в виде  yx   yx . Последнее равенство можно2обобщить на общий случай  ij   ij ; i  j; i, j  x , y, z .2Для линейных деформаций условие пропорциональности можно записать в видеp ii  E ii ; i  x, y, z , например, p xx  E xx , если движение происходит вдоль одной оси х.Кроме того, предполагается пропорциональность продольных и возникающих из-за нихпоперечных деформаций (аналог эффекта Пуассона для твердых тел), т.е. линейныедеформации в одном направлении сопровождаются деформациями противоположногознака в поперечных направлениях, а величина этих поперечных деформацийпропорциональна продольным.

Например, движение в направлении х со скоростьюотносительной деформации  xx сопровождается движением в направлениях y и z соскоростями относительных деформации  yy   m xx и  zz   m xx . Здесь m  0 –коэффициент пропорциональности (коэффициент Пуассона), а знак минус указывает напротивоположный характер деформации в поперечных направлениях по отношению кпродольному – если в продольном направлении – растяжение, то в поперечных – сжатие,и наоборот. С учетом этого эффекта при наличии продольных (прямых) производныхu yuu,  zz  z и соответствующих напряжений p xx , p yy , p zz во всех xx  x ,  yy xyzнаправлениях, связь между ними имеет вид1p xx  m p yy  p zz ,  yy  1 p yy  mp xx  p zz  ,  zz  1 p zz  m p yy  p xx  . xx EEEПропорциональность напряжений и скоростей относительных объемныхdw1dwдеформацийможно записать в виде p   E w, где W – исходный объем, dw –3WdtWdt1его изменение за dt, p   p xx  p yy  p zz  - давление.

Так как объемные деформации3dwвыражаются через линейные divu   xx   yy   zz , то пропорциональностьWdtскоростейобъемныхдеформацийдавлениюможнозаписатьввидеp xx  p yy  p zz  E w  xx   yy   zz  , а с учетом выражений, описывающих эффект Пуассона,можно исключить коэффициент E w , выразив его через E и m:p xx  p yy  p zzp xx  p yy  p zzEEw E.p xx  mp yy  p zz   p yy  mp xx  p zz   p zz  mp yy  p xx  1  2 m xx   yy   zzНадо заметить, что отсюда следует ограничение на возможную величинукоэффициента Пуассона 0  m  0,5 , причем m  0,5 соответствует несжимаемойжидкости.Для сравнения – в теории сплошной твердой среды аналогичная гипотезаприменяется для упругих деформаций.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций