Вывод некоторых соотношений, используемых в гидродинамике (1244981), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Но там она связывает напряжения иотносительные деформации, а не их скорости, и выражается законом Гука для линейныхp xx  E xx и угловых  yx  G yx деформаций, эффектом Пуассона, выражающем51  p yy p zzm  EE , исвязью полных линейных  x   xx   x и объемных деформаций    x   y  z . Дляудобства аналогии соответствующие коэффициенты пропорциональности дляжидкостей и твердых тел обозначены одинаково, за исключением обозначения модулясдвига G, замененного на вязкость  , как это принято для жидкостей.Гипотеза пропорциональности позволяет исключить из уравнений динамикисоставляющие тензора напряжений, заменив их производными скорости (входящими всоставляющие тензора скоростей относительных деформаций  ij ) и давлениемсоотношение между продольными и поперечными деформациями  x  p1p xx  p yy  pzz . Ключевым моментом, позволяющим сделать такую замену,3является зависимость между коэффициентами пропорциональностиE,2(m  1)которая следует из самого факта пропорциональности.Аналогичное соотношение между модулями упругости 1 и 2 рода и коэффициентомПуассона получено и широко используется в сопротивлении материалов.

Обосноватьсуществование такого же соотношения для движения жидкостей и газов можно нетолько путем аналогии, но и непосредственно. Для этого достаточно рассмотретьдеформацию сдвига (для упрощения – при плоском движении, как показано на рисунке) иучесть, что такая деформация сопровождается линейными деформациями растяжения(OD в OD") и сжатия (AB в AB") при нулевой объемной деформации (не забывая оdповороте на угол).

Указанное соотношение получается, если выразить скорости2OD"ODAB" ABотносительных деформацийичерез угол сдвига d и связать ихOD  dtAB  dtмежду собой эффектом Пуассона и условием нулевой объемной деформации, исключаяпри этом составляющие, имеющие более высокий порядок малости.Во всех выкладках используется условие малости, позволяющее исключатьслагаемые с более высокими порядками малости. Для твердых тел малымипредполагаются сами упругие деформации.

Для жидкостей это предположение неоправдано. Но малость все равно присутствует, так как рассматриваютсядифференциальные соотношения в малых окрестностях, в которые при конечныхскоростях можно перейти из рассматриваемой точки за dt  0 .Для исключения проекций напряжений достаточно выразить нормальные напряжениячерез скорости относительных деформаций и воспользоваться указанной связью междуE xx   yy   zz  икоэффициентами пропорциональности.

Из p xx  p yy  p zz 1  2m1mEp xx  m p yy  p zz следует p xx  E xx  xx  xx   yy   zz  , а послеE1  m 1  m 1  2 m E2(m  1)mmp xx  2 xx  2divu . xx   yy   zz  2 xx  21  2m 1  2m 1EТак как p   ( p xx  p yy  p zz )  divu ,331  2m 2mE2mтоdivu  p divu divu 1  2m 31  2m 1  2m подстановки  6 2mE 2m2m  1  p  divu  p  divu  1  2m  31  2m   1  2m  31  2m   3m  m  1  p  2divu  p  2divu / 3 , т.е. 31  2m  p xx  p  2 xx  2divu / 3 .p xx  yx  zx  p   2 xx  2divu / 3  2 yx   2 zx  xyzxyzp  2divu / 3  2 xx  2 yx  2 zx x xxyzПри одинаковой для всей рассматриваемой области вязкости последнее выражениеможно записать в видеp  divu x 3 xu y u z    u x u x    u x u y    u z u x     u        x     xxyzxxxyyxzxzp  divu x 3 x   2u x  2u y  2uz    2u x  2u x    2u x  2u y    2uz  2u x 2    2  y  zx z 2  x 2 xy xz   x 2xxy       2u x  2u x  2u x p     p    divu  u . divu   x 2x 3 xx 3 xy 2z 2 Если вязкость не одинакова, то добавятся слагаемые, содержащие частныепроизводные вязкости по координатам, и выражение приобретет видp  divu  u  2 xx  divu / 3  2 yx 2 zxx 3 xxyzp   u   u y u x    u z u x   divu  u  2 x  divu / 3 x 3 xy  y  xz  z x x  xПроделав аналогичные действия с остальными проекциями напряжений и подставивполучившиеся выражения в уравнения гидродинамики, получим систему уравнений,называемую уравнениями Навье-Стокса.

Для случая постоянной вязкости они имеютвидdup1 divu    2 u x  x  X ,dtx3 x du yp1 divu , Y     2 u y dty3 y du zp1 divu  Z    2 u z .dtz3 z 73. Изменение циркуляции жидкого контура(Теорема Кельвина о циркуляции)При рассмотрении кинематических соотношений было показано, что циркуляция   u  dr не меняется вдоль вихревых трубок стационарных полей (или для одногомомента времени) и в потенциальной части поля. Несложно убедиться, что циркуляция неменяется для потока идеальной баротропной жидкости в потенциальном поле сил дляконтура, состоящего в любой момент времени из одних и тех же частиц (т.е.перемещающегося вместе с частицами вдоль линий тока - жидкого контура).d ddu  u  dr   dr .Для жидкого контураdt dtdtЧтобы убедится в этом, надо (см., например, /1/ из списка рекомендованнойBdлитературы по курсу) найтиu  dr по дуге контура, сделав замену переменнойdt Ardl , где dl можно трактовать как часть дуги, занимаемую частицей на контуре.lBlll u rddr  r 2r Поэтомуudrudludlu0 t  l  0  t l tl dl dt Adt 0 ldr llBBBB u2  Bu 2B u 2Aru  a  dl   u  dl   a  dr   u  du   a  dr   d    a  dr , учитывая2  A22ll00AAAA при этом, что на жидком контуре для каждой частицы u ru  2 r, a.tt t 2Можно и без замен переменных (по правилу Лейбница):B( t )B( t )B( t )B( t )u rdddB( t )A( t )u  dr u cos( u  dr )dr u r dr  dr  u r ( B( t )) u r ( A( t ))dt A ( t )dt A ( t )dt A ( t )tttA( t )Для замкнутого жидкого контура два последних слагаемых совпадают, так какA( t ) и B( t ) - траектории одной и той же частицы.

Поэтомуudu  dr   r dr   a r dr   a  dr .dt CtCCCB( t )B( t )ddu x dx  u y dy  u z dz   dМожно и так:u  dr dt A ( t )dt A ( t )dtТакddtB( t )какпослесоответствующихB( t )d u x dx  dtA(t)преобразованийвB( t )d u y dy  dtA( t )каждомB( t ) u dz .zA(t)слагаемомu xB( t )A( t )dx  u x ( B( t )) u x ( A( t ))для замкнутого жидкого контураtttA( t )B( t ) u dx  xA(t)duu  dr   dr   a  dr .

(Обратить внимание, чтоdt CtCCсмена порядка дифференцирования и интегрирования – благодаря рассмотрению одних итех же частиц).Так как для идеальной баротропной жидкости в потенциальном поле сил уравненияdu1duдинамики f m  gradpимеютвидa gradU  gradD ,тоdtdtd ddu  u  dr   dr    grad( U  D)dr    d U  D  0 .dt dtdtпоследние члены совпадают, то84. Законы сохранения импульса и механической энергии для направленногодвижения с использованием средних значений параметров потока в сечениях.Изменение импульса при прохождении потока через сечение S, т.е.

«расходимпульса» через сечениеQ Ks   u ( u  d s )   ср  u ( u  d s )   ср  u 2 d s   ср  0 V 2 s   0 V ( ср Vs)   0 VQ ms ,sss221 uds   s u 2ds  uds коэффициент,гдеs s ssучитывающий то, что среднее от квадрата функции не меньше квадрата среднего значенияфункции.

Этот коэффициент называется коррективом количества движения иликоэффициентом Буссинеска. Если известно распределение (эпюра) скоростей в сечении,то его можно вычислить. В общем случае определяется экспериментально.1 0   u 2ds V 2s   u 2dssss2Нужноотметить,достаточночтовыполнитьне 0  1 , так какдляинтегралов,2s  u 2ds    uds  . Доказательствоssа для соответствующих сумм:2nnnn n  n n  u    u i  , так как n  u i2    u i   ( n  1) u i2  2  u i u j   ( u i  u j ) 2  0 . Вi 1i 1i , j1;i  ji , j1;i  ji 1 i 1  i1 последней сумме n(n-1)/2 слагаемых.Закон сохранения импульса (для стационарных потоков с учетом уравнениянеразрывности)( 02 V2   01V1 )Q ms  F .Изменение кинетической энергии при прохождении потока через сечение S, т.е.«расход кинетической энергии» через сечение ñð 2 ñð 3 ñð ñðQ s V 2Q ms V 2u23,QEs    ( u  d s ) u ( u  ds) u ds V s  22 s2 s222sn2i331  uds   s 2  u 3ds   uds гдекоэффициент,ss ssучитывающий то, что среднее от куба функции не равно кубу среднего значения функции.Этот коэффициент называется коррективом кинетической энергии или коэффициентомКориолисса.

Если известно распределение (эпюра) скоростей в сечении, то этоткоэффициент можно вычислить. В общем случае определяется экспериментально.Закон сохранения энергии для стационарных потоков несжимаемых жидкостей вполе сил тяжести определяется интегрированием каждого слагаемого уравнения Бернуллиu 2 p  gh  const по сечениям конечных трубок тока2 ср Qs V 2u 2s 2 ( u  ds )  s p( u  ds )  s gh( u  ds )  2  pсрQs  ср ghQs  const ,1   u ds V s   u 3dssss3откуда  ср V 223 p ср   ср gh  const .9.

Характеристики

Список файлов лекций