Алемасов В.Е., Дрегалин А.Ф., Тишин А.Л. Теория ракетных двигателей. 1989 г. (1241535), страница 80
Текст из файла (страница 80)
1) дт дх ' ду уравнения сохранения импульса в проекциях на координатные оси д1риу) „диу+рие)у) д1 еу) (32.2) дт + дх ' ду д (риу), д(рииу), д((у -!- рм) у1 (32.3) дт ' дх ' ду уравнение сохранения энергии д(р(е+ — )у~ д~ри(е+ ~ ие — )у~ дт дх + (32.4) ду В приведенной системе четырех уравнений пять неизвестных.' проекции и, о вектора скорости в на координатные оси цилиндрической системы координат (ось х совпадает с осью двигателя, ось у — перпендикулярна оси х), давление р, плотность р и удельная внутренняя энергия е.
Замкнуть систему можно с помощью уравнения, которое связывает внутреннюю энерги)о, плотность и давление. Таким является уравнение состояния вида е = е (р, р). (32.5) Левые части уравнений (32.1) ... (32.4) имеют вид — ' дАе дт дА, дАт + — +— дх ду Такую форму записи уравнений называют дивергентной. Дивергентная форма уравнений часто предпочтительнее других при решении задач внутренней газовой динамики РДТТ. Для определения газодинамических параметров в результате решения системы (32.1) ...
(32.5) в каждом конкретном случае должны быть заданы граничные и начальные условия, отража- Л а 32.!. Схема газового тракта РДТТ ющие особенности контура канала и условия работы РДТТ. Типичная форма канала РДТТ показана на рис. 32.1. Замкнутая область интегрирования системы уравнений (32.1) ... (32.5) ограничивается внутренней поверхностью заряда, непроницаемыми для газа стенками камеры и сопла и некоторым сечением л! — й1, которое может располагаться как до минимального сечения, так и за ним. В частном случае оно может совпадать с выт ходным сечением сопла.
Форма канала обычно известна заранее. Для постановки задачи о расчете нестационарных осесимметричных течений продуктов сгорания необходимо задать три независимых условия на «входной» границе области интегрирования. Применительно к решению задачи для РДТТ это должны быть три условия на горящей (проницаемой для газа) поверхности заряда. Такими условиями являются: а) значение внутренней энергии е„ равное энтальпии топлива т'„. б) распределение плотности потока массы с горящей поверхности в направлении по нормали к ней: рш„= — ~ (р, ш, х, у); в) составляющая вектора скорости гэ„направленная по касательной к горящей поверхности, которую принимают равной нулю цт, = О.
На непроницаемой поверхности (стенка камеры или сопла) задают равной нулю нормальную к стенке составляющую вектора скорости цт„= О. Если в сечении )т' — тт' («выходная» граница области интегрирования) течение дозвуковое, то необходимо задание одного дополнительного соотношения. Например, можно задать распределение угла наклона вектора скорости к оси сопла. Если же сечение тт! — л( расположено таким образом, что скорость везде в сечении сверхзвуковая, то упомянутых трех условий на входе в канал достаточно для определения единственного решения. Кроме того, должно быть задано некоторое начальное (при т = 0) распределение параметров газа и, о, р, р, а = ) (О, х, у). В частном случае течения невязкой и несжимаемой жидкости в цилиндрическом канале при постоянной скорости горения и, (для скорости горения использован индекс «т», чтобы отличить ее от составляющей вектора скорости потока и) справедливо следующее распределение скоростей по радиусу (у) и вдоль оси (х): и = соз (пу'/2) и;, уи = — 3!п (пут!2) и; ио = ттхмт где х = хЯ; у = уЯ; гт — радиус канала; иа = тата — скорость потока на оси.
353 32.2. К расчету течеаий н транте РДТТ (осесимметричный случаи). Линии постоян- ных значений чисел М Для более сложных случаев пространственного течения необходимо численное решение задачи на ЭВМ. В качестве примера иа рис. 32.2 показаны результаты численного решения задачи для РДТТ с каналом, имеющим форму конуса. 32.2.
КВАЗИОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПРОДУКТОВ СГОРАНИЯ В КАМЕРЕ РДТТ В ряде случаев удовлетворительные результаты может дать решение упрощенной по сравнению с (32.1) ... (32.5) системы уравнений, если предположить, что газодинамнческие параметры в поперечном сечении распределены равномерно и соответствуют некоторым средним значениям по сечению. Средние по сечению плотность р и давление р для цилиндрического канала радиусом )с определим равенствами Р.
Е. Соркина л л рР =- 2п ~ ру Ну, рр == 2п ) ру Ну; о а среднее значение любого другого параметра потока введем формулой ф =- 2п ~ рсру Ну/рР, о где )с = п)се — площадь канала. Нетрудно обнаружить, что для Истинного одномерного течения в канале параметры потока р, р и ср и средние значения р, р, ф — совпадают. Используя понятия средних параметров, из уравнений (32.1), (32.2) и (32.4) можно получить систему уравнений для нестационарного квазиодномерного движения газа в канале заряда РДТТ. Поскольку в дивергентной форме уравнения (32.1) ...
(32.4) имеют одинаковый вид, вывод уравнений для квазиодномерного движения рассмотрим на примере уравнения сохранения массы. Умножим уравнение (32.1) на Ну и заменим первые два члена получившегося уравнения по формуле дифференцирования произведения двух функций. В результате получим ) (РУНУ) — РУН( д )-+ д (РиУНУ) — РмУН( д„(+Н(роУ) =О д т дух З2.3.
Связь изменении геометрии заряда со скоростью горения Проинтегрируем полученное уравнение по у от 0 до )с, вводя средние параметры по тока. Будем иметь д дм дг (РР) — 2ярЯ дт + д дтс + д (РиГ) — 2яр„и,~ д, + + 2пр„рД = О, (32,6) где р„„и„, о, — параметры потока у поверхности горения (у = — Ю, При движении газа в канале с горением на его стенках характерный линейный размер канала )с есть функция координаты х и времени т, причем (рис. 32.3) < др(дт = П„соз О, др/дх = П 1я О, дй~дх = П!соз О; и„= нт„з1п О, о„=- — гн„соз О, (32.7) где тн„— ' нормальная к поверхности горения составляющая вектора скорости потока; Π— угол наклона образующей канала; ьз — поверхность горения от начального (х = 0) до рассматриваемого сечения; П вЂ” периметр в сечении х.
В частности, для цилиндрического канала имеем дй/дт = и, соз О, д)с!дх = 1я О. Через подвижную поверхность горения в канал поступают продукты сгорания с относительной (по отношению к фронту горения) скоростью гни + и,. Из условия сохранения массы имеет место очевидное равенство Р,и =- Р, (из„+ и,). (32.8) Подставим соотношения (32.7) и (32.8) в уравнение (32.6). После несложных преобразований получим искомое уравнение сохранения массы для квазиодномерного движения (знак осреднения в уравнении — черта сверху — опущен) д, (Рг) + д (Рмг) = Ртит д (32.9) Поступая аналогичным образом со вторыми четвертым урав- нениями из системы (32.1)...(32.5), после простых преобразований будем иметь д тригт+ дх ~р (Ри + Р)) дх (игр и + Рг гнп О) д д а (32.10) ~Р ( + 2 )] + дх [Р ( + р + 2 )~ =Ртитрт д (32.! 1) 32.4.
Некоторые виды РДТТ с одно- а канальным зарядом 1 с Н а ! ! ! -и--(рР+р Р) — р — =О, а' дс (32.13) — „(е+ ~ + — )=О. (32.14) Последнее уравнение означает, что энтальпия адиабатически заторможенного потока остается постоянной при движении газа зб! Замыкает систему по-прежнему уравнение состояния з (32.5). Система уравнений ! (32.9) ... (32.11) и (32.5) обычно используется для изучения волновых процессов в РДТТ, характерных для нестационарных режимов и вызывающих неустойчивое горение топлива. Область интегрирования по х ограничивается сечением х = ! 111 1 = ха,. Граничные условия могут а г 2 юей а быть заданы, например, следующим образом: при х = О и = ша = О, 1а = !',.
Если режим течения в сечении й/ — /т/ сверхзвуковой, то задание указанных граничных условий при соответствующих начальных условиях полностью определяет решение задачи. Если в сечении /т/ — Ж течение газа дозвуковое, то задается дополнительное, условие. Например, может быть задана безразмерная скорость )ьн =- шн/а . В качестве начального условия берется распределение параметров в начальный момент времени. Кроме того, обычно задается форма канала г" (х). Интегрирование системы (32.9) ...
(32.11) обычно производится каким-либо численным методом, например методом характеристик. Наиболее часто при проектировании РДТТ решают задачу определения параметров потока в так называемом квазистацнонарном приближении. При таком подходе к решению задачи производные по времени в уравнениях (32.9) ...(32.11) полагают малыми по сравнению с производными по х и производными д/дт пренебрегают. Примем в уравнениях (32.9) ...(32.11) производные по вреМени равными нулю; кроме того, в уравнении (32.10) можно отбросить правую часть как малую величину, пропорциональную квадрату скорости горения.
Для одномерного движения (ш = и) получим = р,и,П, (32.12) л м' по каналу РДТТ, т. е. е + — + — „--= 1,. Так как форма канала задана, то НР(пх и П известны. Для каналов с постоянной пло-' щадью поперечного сечения дР/дх = О. Замыкается система (32.12) ... (32.!4) уравнением состояния (32.5). В качестве примера постановки граничных условий рассмотрим РДТТ с одноканальным зарядом, возможные конфигурации которых показаны на рис. 32.4, а, б, в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
