билеты по матмоду (1239874), страница 2

Файл №1239874 билеты по матмоду (Билеты по матмоду) 2 страницабилеты по матмоду (1239874) страница 22020-11-052020-11-05СтудИзба

Билеты по матмоду

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Регистрация/авторизация

Текст из файла (страница 2)

Прямой ход:предп., что в СЛАУ а11≠0; m - 1 шагов. k – ый шаг: мастаб коэфф.: m_ik = a_ik⁽^k^-1)/a_kk⁽^k^-1), i = k + 1, … m. a_ij⁽^k⁾ = a_ij⁽^k^-1) - m_ika_kj⁽^k^-1), i = k + 1, … m; j = k, … m. bi(k) = b_i⁽^k^-1) - m_ikb_k⁽^k^-1). Обратный ход: x_m = b_m⁽^m^-1)/a_mm⁽^m^-1). x_k = (1/a_kk)[b_k⁽^k^-1) - S_j₌_k₊₁^ma_kjx_i⁽^k^-1)]. Труд-ть м: 1 шаг: m – 1 дел-е, (m – 1)² умн-е, (m – 1)² выч-е. 2 шаг: m – 2 дел-я, (m – 2)² умн-е, (m – 2)² выч-е. 3. m – 1 шаг: все по 1 разу. Итого S_k₌₁^m^-1k + 2S_k₌₁^m^-1k² » 2m³/3 арифм. действий.

15. LU-разл-е м-цы. Дост-е усл-е разл-ти м-цы.

Это тот же м.Г., но для самой м-цы А, не трогая b. A = LU, L – НТМ, сост. из масштаб. коэфф. постр: L = (1, 0, … , 0;m₂₁, 1, 0, …, 0;… ; m_m₁, m_m₂, … , m_m_,_m_-1, 1). U – ВТМ, то, что ост. от А в проц. преобраз. Постр.: U = (a₁₁, a₁₂, …, a₁_m; 0, a₂₁⁽¹⁾, …, a₂_m⁽¹⁾; 0, 0, …, a_mm⁽^m^-1)). Р-е: Ly = b ® y, Ux = y ® x – ответ. Дост.усл.разл-ти: Если все гл. мин. матр. А ¹ 0, то $ ! LU-разл. м

16. Зад., реш-е на осн. LU: A^-1, det(A).

Примен. для реш. систем с b, т. к. LU – разл. требует (2/3)m³ арифм. действ., а ост-е д-я лишь 2m². detA = (-1)^sa₁₁⁽⁰⁾a₂₂⁽¹⁾…a_mm⁽^m^-1), где s – перест.строк. A A^-1=E, реш. как AX=E

17. МГ(сх. част.выб.): опис-е м., выч.уст-ть.

Усл-е:|m_ik|£ 1(выч.уст-ть). на каж.(k-ом) ш. м. выб. макс. по мод.коэфф. из стб, и мен.стр местами, макс. кофф. а_ij попала на 1место. И.т.д. Это чтобы уменьш. m_ik, погр-ть нар. <

18. МХ(СЛАУ): опис-е м., его пр-ва.

Для симм. пол-но опр-х м-ц. Положит. опр. – значит все собств. числа > 0, в нек-ром. случ. достат. проверять, что |a_ii|£ S_i_¹_j|a_ij|. А = LL^T. Матрица L: L = (l₁₁, 0, …, 0; l₂₁, l₂₂, 0, …, 0; l_m₁, l_m₂, …, l_mm). Эл-ты матр. LL^T =матр. А. Ly = b ® y, L^Tx = y ® x. Преимущ.: труд-ть » m³/3 + 2m² , в 2р.<МГ. Симм-я матр. позв. ком-но хр-ть и зам-ть эл-ты а_ij эл-ми l_ij, м. гар-но уст-в.

19. М.прог-ки с 3-диаг.м-й: оп-е м., усл-я его прим-ти и дост-ва.

построчно: (b₁, c₁, 0, …, 0; a₂, b₂, c₂, 0, …, 0; 0, a₃, b₃, c₃, 0, …, 0; 0, …, 0, a_m, b_m). Пр.ч.: d₁, d₂, …, d_m. Пр. ход – выч-е. прог-х. коэфф.: При i = 1:a₁ = - с₁/b₁;b₁ = d₁/b₁. При i = 2, …, m-1; g_i = (a_ia_i-1 + b_i); a_i= - c_i/g_i; b_i= (d_i - a_ib_i-1)/g_i. Обратный ход – вычисл. х: x_m = b_m = (d_m – a_mb_m-1)/(a_ma_m-1 + b_m); далее: x_i = a_ix_i+1 + b_i, при i = m-1, m-2, …, 1. Труд-ть » 8m арифм. д-й. Усл-я прим-ти: Если b_k|³|a_k|+|c_k|;|b_k|>|a_k|. Тогда, g_k ¹ 0, т. е. пр-ка м.б. довед. до конца и |a_k|£1 – т.е. погр-ть не нак-ся.

20. МЯ (СЛАУ): оп-ие м., ус-е сх-ти, оц.погр.

Ах = b ® x = Bх + c, причем, b_ij = - a_ij/a_ii; c_i = b_i/a_ii. Т. Усл-е сх-ти: Пусть Ax = b ® x = Bx + c (1); x⁽ⁿ⁺¹⁾ = Bx⁽ⁿ⁾ + c (2). Если ||B|| < 1, то итер. процесс сход. к корню ур-я и справедл. след. оценки: ||x⁽ⁿ⁾ - || £ ||B||ⁿ * ||x⁽⁰⁾ - || (3);||x⁽ⁿ⁾ - || £ (||B||/(1 - ||B||))*||x⁽ⁿ⁾ – x⁽ⁿ^-1)|| (4). Д.(3). Имеем системы: x⁽ⁿ⁺¹⁾ = Bx⁽ⁿ⁾ + c и = B + c, вычтем их: x⁽ⁿ⁺¹⁾ - = Bx⁽ⁿ⁾ - B = В(x⁽ⁿ⁾ - ). ||x⁽ⁿ⁺¹⁾ - || = ||В(- )|| £ ||В|||| (x⁽ⁿ⁾ - )|| £ ||В²|||| (x⁽ⁿ^-1) - )|| £||В||ⁿ⁺¹ * ||x⁽ⁿ^-1) - ||. Д.(4). x⁽ⁿ⁺¹⁾ - = В(x⁽ⁿ^-1) - ) = В(x⁽ⁿ^-1) - x⁽ⁿ⁾ + x⁽ⁿ⁾ - ) ® ||x⁽ⁿ⁺¹⁾ - ||=||В(x⁽ⁿ⁾ - )+ В(x⁽ⁿ^-1) - x⁽ⁿ⁾)|| £ ||В||||(x⁽ⁿ⁾ - )|| + ||В||*||(x⁽ⁿ^-1) - x⁽ⁿ⁾)||. (1 - ||В||)||(x⁽ⁿ⁾ - )|| £ ||В||||(x⁽ⁿ^-1) - x⁽ⁿ⁾)|| ч.т.д. ->Крит-й ок-я ит-ий: ||(x⁽ⁿ^-1) - x⁽ⁿ⁾)|| < e(1 - ||В||)/||B||. Апостер.оц.погр-ти:

21. МЗ(СЛАУ): оп-е м., усл-е сх-ти, оц. погр.

Найд-е на n-ом ш. зн-я неиз-х x₁⁽ⁿ⁾, x₂⁽ⁿ⁾ … сразу же вкл. в расчет посл-х неизв-х. x⁽ⁿ⁺¹⁾ = B₁x⁽ⁿ⁺¹⁾ + B₂x⁽ⁿ⁾ + c. В₁ – НТМ, на гл. диаг – 0. В₂ – ВТМ, на гл. диаг – 0. В = В₁+ В₂. Коэфф. по тем же ф-лам, что и в МПИ: b_ij = - a_ij/a_ii; c_i = b_i/a_ii. Расч-я ф-ла: x_i⁽ⁿ⁺¹⁾ = S_i=1^i-1b_ijx_j⁽ⁿ⁺¹⁾ + S_j=i+1^mb_ijx_j⁽ⁿ⁾ + c₁, i = 1, …, m.

22. М.рел-ции: оп-е м., усл-е сх-ти.

Модиф. МПИ. как и в МЗ, наход-е Х исп-ся на этом же шаге,:xn=(1-ω)xn-1+ω(B1xn+B2xn-1+c). ω=0..2–коэфф.рел-ции. После выч-я i-коорд.: (ω-1)(xin-xin-1) т. Дост.ул.сх-ти.: A=Aт>0 при ω[0,2] м.р. сход. Ɐx0.

23. Аппр-я ф-й по МНК. Пост. Зад.. Вывод норм. сист. м. Выбор ст.ап-го мн-а.

В случае, если: 1. f(x) зад.табл. 2. f(x) – вычисл. сложно. Задача: прибл-ть ф-ю f(x) ф-ей F(x), т. е. f(x)  F(x).  - средеквадр. отклон. должно быть миним.  = ((1/(n + 1))_i₌₀ⁿ(y_i – F(x_i))²)  min. Прибл-ем мн-ом Р_n(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_mx^m = 0. = ((1/(n + 1))_i=0ⁿ(a₀ + a₁x_i + a₂x_i² + … + a_mx_i^m - y_i)²)  min. _i=0ⁿ(a₀ + a₁x_i + a₂x_i² + … + a_mx_i^m - y_i)²  min по a₀, a₁, a₂, …, a_m, т. е. g/a₀ = 2_i=0ⁿ(a₀ + a₁x_i + a₂x_i² + … + a_mx_i^m - y_i)*1) = 0; … g/a_m = 2_i=0ⁿ(a₀ + a₁x_i + a₂x_i² + … + a_mx_i^m - y_i)*x_i^m) = 0; Получаем нормальную систему ур-ий МНК: (_i=0ⁿx_i⁰)a₀ + (_i=0ⁿx_i¹)a₁ + … + (_i=0ⁿx_i^m)a_m = _i=0ⁿy_i; … ; (_i=0ⁿx_i^m)a₀ + (_i=0ⁿx_i^m+1)a₁ + … + (_i₌₀ⁿx_i²^m)a_m = _i₌₀ⁿy_ix_i^m. Система симм. и плохообусл. при m > 5 велика погр-ть. Из нее нах. a₀, a₁, a₂, …, a_m. Степень аппр. мн. m выб. такой, когда ф-ия (m) имеет 1й лок. Мин.

24. Пост. зад. интерп-ии. Т. о ⱻ! интерп-го мн-на.Дана n + 1 точка, постр. интерп. мн. ст. n, так, чтобы P_n(x_i) = y_i. Т. интерп. мн-н  и !. Д. 1.ⱻ:. Рассм. м-н Лагранжа: L_n(x) = _i₌₀ⁿy_i((x – x₀)(x-x₁)…(x-x_i_-1)(x-x_i₊₁)…(x-x_n)/(x_i-x₀)(x_i-x₁)…(x_i-x_i_-1)(x_i-x_i₊₁)…(x_i-x_n)). L_n(x) -  мн-ов n-ой степени, сам он тоже n-ой степени. L_n(x_k) = y_k, k = 0, 1, …, n. 2. !. Рассм. P_n¹, P_n² – 2 интерп. мн-на n – ой ст. P_n(x) = P_n¹ - P_n². P_n(x_k) = 0; k = 0, …, n

25. Мн-н Лагранжа. Оц. погр-ти интерп-ии.

L_n(x) = _i=0ⁿy_i((x – x₀)(x-x₁)…(x-x_i-1)(x-x_i+1)…(x-x_n)/(x_i-x₀)(x_i-x₁)…(x_i-x_i-1)(x_i-x_i+1)…(x_i-x_n)). L_n(x) -  мн-ов n-ой степени, сам он тоже n-ой степени.

Погрешность интерп.: R_n(x)=y(x)–P_n(x). T. y(x)cⁿ⁺¹[x₀,x_n]. R_n(x)(M_n+1/(n+1))!_n₊₁(x), где: M_n₊₁=max_[_x_0,_xn_]y⁽ⁿ^{+ 1)}(x); _n₊₁(x) = (x – x₀)(x - x₁)…(x – x_n). без. док. max_n₊₁(x) невелико внутри [x₀, x_n], а вне быстро растет.

26. Мн-н Ньютона с к.р. Оц. погр-ти интерп.

Прим., когда сетка равном. Сост. диаг. Табл. К.р. строка заголов.: x_i; y_i; y_i; ²y_i;… Возьмем интерп. мн. в след. виде: _n(x) = a₀ + a₁(x – x₀) + a₂(x – x₀)(x – x₁) + … + a_n(x – x₀)(x – x₁)…(x – x_n). Условие: _n(x_i) = y_i. (x_k – x_k_-1) = h. Рассм. _n(x₀) = a₀ = y₀; _n(x₁) = … и выв. ф-лу: a_k = ^ky₀/(k!h_k). Интерп. м-н Н. при интерп. вперед от точки x₀: _n(x) = y₀ + (y₀/1!h)(x – x₀) + … + (ⁿy₀/n!hⁿ)(x – x₀)(x – x₁)…(x – x_n). Интер. МН при инт. назад от точки x_n: _n(x) = y_n + (y_n-1/1!h)(x – x₀) + … + (ⁿy₀/n!hⁿ)(x – x₀)(x – x₁)…(x – x_n). Оц. погр.: как для Лагранжа R_n(x)(M_n₊₁/(n+1)!)hⁿ⁺¹. Преимущ.: при доб. новых узлов надо только доб.новое слаг-е, можно строить от  точки табл.

27. Интерп. с кр. узлами. Мн-н Эрмита.

Изв. в хi не только зн-я f(x_i), но и f '(x_i), … f⁽^k^-1)(x_i). (x_i – узел кр-ти k), Ɐ(i = 0, …, m). k₁ – кр-ть 1-ого узла, …, k_m – кр-ть m-ого узла. n = k₀ + … + k_m. ! Мн-н ст. n, такой, что P_n(x_i) = y_i; P'(x_i) = y'(x), … до (k – 1) для всех i = 0, …, m. 1. Задан 1уз. Кр-ти k. P_n(x) = _i=0^k-1y₀⁽ⁱ⁾(x – x₀)ⁱ/(i!). 2. Зад. неск. точек кр-ти 2, т. е. мы знаем y(x_i) и y'(x_i). По кажд. 2 сос. Т-м в этом случае стр мн-н Эрмита: P₃(x) = y_i_-1((x – x_i)²(2(x – x_i_-1) + h_i)/h_i³) + y_i((x – x_i_-1)²(2(x_i – x) + h_i)/h_i³) + y'_i_-1((x – x_i_-1)(x – x_i)²/h_i²) + y'_i((x – x_i_-1)²(x – x_i)/h_i²). (лок. сплайн). Погр-ть max_[_x_0,_x_1]f(x) – P₃(x)  (M₄/384)h⁴, M₄ = max_[_x_0,_x_1]f⁽⁴⁾(x). h = (x₁ – x₀).

28. Понятие сплайна. Построение линейного сплайна.

Сплайн – ф-я, удовл.след.усл.: 1S(x)предст.на отр. [a,b]нек-рый мн-н ст.n; 2) S(xi)=yi, i=0…n; 3)S`(x)непр. до р-го пор-вкл. m-p – дефект с. Лин. сплайн: y_i+((y_i₊₁–y_i)/(x_i+1–x_i))(x–x_i), x  [x_i, x_i₊₁]. Дефект =1.

29 Постр-е куб. сплайна. Разл-е виды гр-х усл-й. Оц. погр-ти прибл-я ф-ции куб.с.

Куб. сплайн.: S₃(x)=P_3,i(x)=y_i-1((x–x_i)²(2(x–x_i-1)+h_i)/h_i³)+y_i((x–x_i-1)²(2(x_i–x)+ h_i)/h_i³) + s_i-1((x – x_i-1)(x - x_i)²/h_i²) + s'_i((x – x_i-1)²(x – x_i)/h_i²). Необходимо, чтобы P''_3,i(x_i) = P''_3,i+1(x_i), i = 1, 2, …, n – 1. P''_3,i(x_i) = 2s_i-1/h_i + 4s_i/h_i – 6(y_i – y_i-1)/h_i²; P''_3,i+1(x_i) = - 4s_i/h_i+1 – 2s_i+1/h_i+1 + 6(y_i+1 – y_i)/h_i+1². Эти рав-ва приводят к системе ур-ий отн. s_i: h_i^-1s_i-1+2(h_i^-1+h_i+1^-1)s_i+h_i+1^-1s_i+1 = 3[h_i^-2(y_i – y_i-1) + h_i+1^-2(y_i+1 – y_i)]. Доп-яя усл-ми s₀ = y'(x₀); s_n = y'(x_n) получ. Фунд-ый куб. с. Погр-ть куб. с.: y(x) – S₃(x)  cM₄h_max⁴, M₄ = max_{[x0, xn]}y⁽⁴⁾(x). Гр-е усл-я: 1. Изв. y'(x₀), y'(x_n), то пол-т, что s₀ = y'(x₀); s_n=y'(x_n), где s_i – наклон с., s_i = S'_m(x_i). 2. Изв. y''(x₀), y''(x_n)  - 4s₀/h₁ – 2s₁/h₁ + 6(y₁ – y₀)/h₁² = y''(x₀); 2s_n-1/hⁿ + 4s_n/hⁿ – 6(y_n – y_n-1)/h_n² = y''(x_n). 3. Естеств. С.: y'(x₀) = y'(x_n) = 0. 4. Отс-е узла. выбор наклонов s_i произв-т так, чтобы P_3,1(x)=P_3,2(x); P_3,_n_-1(x)=P_3,_n(x). для этого потреб. совпад. соотв. 3-их произв.: P'''_3,1(x₁) = P'''_3,2(x₁); P'''_3,_n_-1(x_n_-1) = P'''_3,_n(x_n_-1). 2h₁^-3(y₀ – y₁) + h₁^-2(s₀ – s₁) = 2h₂^-3(y₁ – y₂) + h₂^-2(s₁ + s₂), 2h_n-1^-3(y_n-2 – y_n-1) + h_n-1^-2(s_n-2 + s_n-1) = 2h_n^-3(y_n-1 – y_n) + h_n^-2(s_n-1 + s_n).

30. Реш-е сист. нел-х ур-й м. Ньютона.

Характеристики

Тип файла

Документ

Размер

71,79 Kb

Материал

Билеты по матмоду

Тип материала

Вопросы/задания к экзамену

Предмет

Математическое моделирование

Высшее учебное заведение

НИУ «МЭИ»

Список файлов вопросов/заданий

bilety-po-matmodu.rar

билеты по матмоду.docx

Поделитесь ссылкой:

Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.

Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.

Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.

Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.

Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.

Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.

Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.

Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.

Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.

Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.

Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.

Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.