Учебник - Электричество - Калашников С.Г. (1238776), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Пусть пх есть число состояний в единице объема тела, принадлежащих рассматриваемому интервалу. Для малого интервала импульсов его можно считать пропорциональным этому интервалу: 112 оз 11рх дру Йрх. Если, далее, ~ есть вероятность таких состояний, то интересующее нас число электронов равно 1 = АУ. (155.1) В классической статистике вероятность 7' выражается законом Больцмана 7" = Сехр( — И7~'ЛТ), (155.2) где И' — энергия частицы в рассматриваемом согтоянии, Й— постоянная Больцмана, Т вЂ” температура, С вЂ” постоянная.
Если рассматривать электроны как идеальный газ, то в отсутствие внешних сил их потенциальная энергия не зависит от координат н ее можно включить в постоянную С. Тогда И' есть кинетическая энергия (155.3) и из формул (155.1), (155.2) и (155.3) находим (155.4) где А -- новая постоянная. Последняя формула выражает закон Максвелла, дающий распределение импульсов в идеальном газе.
360 ПРИРОДА ТОКА В МЕТАЛЛАХ И ПОЛУПРОВОДНИКАХ ГЛ Х!Н Постоянная А определяется из условия, что полное число электронов с любыми импульсами есть заданная концентрация не, т.е. «и = (155 5) Р Рг Р* = со Выполняя интегрирование и учитывая, что ехр( — ох )«х = у(х(о, (155 6) получаем А= (2япйТ)иэ (155.7) 1 1 (155.9) 1 + ехр )(11г — Р У )сТ) Здесь г' есть некоторая характерная энергия, не зависящая от переменных Иг и р, Она получи- 0,2 ла название электрохимического потенциала или уронил Ферми. Величина г' является параметром распределения и играет ту же роль, что и постоянная С в законе Рис.
268 ФУикци" ФеРми Д" Вольцмана. КонечнО, Р' не универсальная постоянная, а зависит от природы вещества и его состояния. Для данного вещества г, как и С, определяется полной концентрацией электронов и температурой (см. ниже). 0,6 0,5 0,4 В классической статистике величина г(х ничем не ограничивается (любое число электронов может иметь компоненты импульса в данном интервале).
В квантовой статистике компоненты импульса квантуются, и поэтому г(Я имеет определенное конечное значение ,~т 2 «Р* «Рэ «Р. (155.6) аэ Здесь 5 есть универсальная постоянная квантовой механики постоянная Планка. 6=6,62 ° 10 27 эрг с=б,62 10 54 Дж с (ср.
8 117) Множитель 2 учитывает то обстоятельство, что каждой тройке величин (р, ргм р,) могут соответствовать две различные ориентировки электронного спина (ср. 8 117). Второе важное обстоятельство, учитываемое квантовой статистикой, заключается в том, что вероятность квантового состояния с энергией И' для электронов определяется не законом Больцмана, а функцией Ферми- (' Дира ка 1 155 РАспределение импульсА и энергии У электРОИОВ 361 Графики функции Ферми — Дирака показаны на рис. 268.
При Т = 0 она имеет вид разрывной ступенчатой функции. Для всех энергий И' < Р, 1' = 1, а следовательно, все квантовые состояния с такими энергиями заняты электронами. При И' = Р, 1 = = 0,5, а при И' > Р, ~ = О. В классической же статистике (формула (155.2)) мы имели бы, что для всех энергий И~ ф О,. 1 = 0 (частиц с отличной от нуля кинетической энергией пет вовсе). При Т ~ 0 функция з становится непрерывной и тем более размытой, чем выше температура.
При И', большем Р на несколько ЕТ, единицей в знаменателе (155.9) можно пренебречь по сравнению с экспонентой,н тогда à — и' ~ и''1 ехр = Сехр ~ — — ~ . кт ~ ит)' (155.10) Следовательно, при достаточно больших энергиях («хвост» функции распределения) распределение Ферми-Дирака переходит в классическое распределение Больцмана.
Обратимся теперь к энергетическим диаграммам и положим, что при Т = 0 уровень Ферми Г лежит в зоне проводимости (рис. 269 а). Тогда в зоне будут квантовые состояния с энергией Иг < Г, и существенно необходимо пользоваться я е' распределением ФермиДирака. Такой электронный газ называется вмрождс»игмА«. Этот случай с мы имеем в металлах. Р Здесь все квантовые состояния с энергией И' < е« < Г целиком заполнены электронами, а электро- а б нов с энергией И~ > Р нет вовсе. Следовательно, да- Ряс 26э положение уровня Ферми в меже при Т = 0 электроны тяяле (а) я я невмрожденяом полупрояаднаходятся в движении, а их максимальная кинетическая энергия равна И'» мяя, = Р— Е,.
Существование этой энергии при абсолютном нуле есть специфический результат квантовых законов движения электронов. При Т ~ 0 распределение Ферми размывается и появляется небольшое число электронов с энергией И' > Р. Однако размытие функции Ферми охватывает лишь область энергий порядка ЕТ в окрестности уровня Ферми Р.
Если Р отстоит от с", на много йТ (что и имеет место в металлах), распределение по энергиям для большинства электронов (с энергией И' < Р) практически не меняется. Поэтому, в частности, средняя энергия электронов зависит от температуры слабо.
Это объясняет, 362 ПРиродА тОкА В мГталлах и ЙОДУпроводниках Гл х!ч 2 У г' — И"1 йн з ехр ( ) ор нрэ нр* 53 2твйТ ) Подставляя это выражение в (155.5) и выпш~няя интегрирование с учетом (155.6), получаем по = Ж, ехр ( ), (155.13) где введено обозначение ~2хт„~йТ) (155.14) Величина 1Ч, получила название эффективной плпглностп состол~ий в зоне проводимости. Отметим, что в этих расчетах мы использовали для Иг выражение (154.2), которое, строго говоря, справедливо лишь в окрестности дна зоны проводилюсти. Кроме того, интегрирование по импульсал» мы проводили не в пределах зоны проводимости, а в бесконечных пределах.
Однако это не вносит заметной ошибки, так как экспоненцивльный множитель в формуле (155.12) быстра затухает при увеличении р„р„, р„, и поэтому значение интеграла (155.5) определяется только состояниями, близкими к дну зоны. Формула (155 13) устанавливает связь между положением уровня Ферми г и полной концентрацией электронов проводимости не в невырожденных полупроводниках. Из этой формулы видно, что чем ближе г' к краю почему электронный Газ в металлах слабо влияет на их тепло- емкость (3 149). Если же уровень Ферми лежит в запрещенной зоне (рис.
269 б), то для всех состояний в зоне проводимости мы имеем Иг > Р и для них справедливо классическое распределение Больцмана (155.10) (нввырождвнный электронный Гзз). При Т = О для всех состояний в зоне проводимости 1 = О и электронов проводимости нет. Этот случай соответствует совершенно чистым полупроводникам, не содержащим примесей или дефектов решетки. Вернемся теперь к закону распределения электронов по импульсам.
Из сказанного выше следует, что вместо закона Максвелла (155.4) для электронов оно выражается формулой 2 йр. йр„йр, Ьз 1 + ехр ((И' — г ) ) *хТ) (155.П) Здесь энергия И' есть определенная функция р„р„и р„зависящая от природы кристалла. Для состояний, энергия которых близка к энергии дна зоны проводимости Е„она выражается формулой (154.2). Параметр же распределения — уровень Ферми Р' — можно определнтгч как раньше, из условия нормировки (155.5). Такой расчет особенно прост лля невырожденных проводников. В этом случае ЗбЗ ЭЛЕКТРОННАЯ ЭМИССИЯ зоны Е„телг больше и концентрация электронов в зоне. Если на з дано, то формула (155.13) определяет положение уровня Ферми относительно края зоны Е,. Если мы теперь выразим ехр ((г — %) 75Т) из формулы (155.13) и подставим это значение в (155.12) для 4н, то постоянная Планка Ь сократится, и мы получим в точности закон распределения 54аксвелла, выражаемый формулами (155.4) и (155.7).
Однако при этом все же вместо массы изолированного электрона т будет входить эффективная масса электрона в кристалле т,о. Она и учитывает квантовые особенности движения электронов. Таким образом, для применимости классической статистики нужно, чтобы электронный газ был невырожденным. А это значит, что концентрация электронов в нем должна быть не очень велика. Именно это мы имели в виду в 3 149, говоря о пределах применимости классической электронной теории Из формулы (155.13) видно, что для отсутствия вырождения концентрепия электронов должна удовлетворять условию оо « А",. Чтобы оценить порядок величины Л„положим т,~, = т и примем температуру У = 300 К Тогда по формуле (155.14) получаем М, = 2,4 10'э см э = 2,4 10м м ГЛАВА ХЪ' ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ТОКИ В ВАКогзгМЕ 3 166.
Электронная эмиссия В гл. Х11г мы видели, что в металлах имеются электроны проводимости, участвующие в тепловом движении. Так как электроны удерживаются внутри металла, то, значит, вблизи поверхности существуют силы, действующие на электроны и направленные внутрь металла. Они возникают вследствие притяжения между электронами и положительными ионами решетки. В результате этого взаимодействия в поверхностном слое металлов появляется электрическое поле, а потенциал при переходе из внешнего пространства внутрь металла увеличивается на некоторую величину р. Соответственно потенциальная энергия электрона уменьшается на с~р.
Распределение потенциальной энергии электрона для ограниченного металла показано на энергетической диаграмме рис. 270. Здесь И'о — уровень энергии покоящегося электрона ВНЕ МЕтаЛЛа, Ес — НаИМЕНЬШаЯ ЭНЕРГИЯ ЗЛЕКтРОНОВ ПРОВОДИ- мости (дно зоны проводимости). Распределение потенциальной энергии имеет вид потенциальной ямы, Ее глубина равна )г = = с~р = И'о — Ес. Эта величина называется электронным сродством и является важной характеристикой вещества.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
