Учебник - Электричество - Калашников С.Г. (1238776), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Вычислим теперь с„о„„. На основании формулы (136.3) имеем Г дР !волн = / УиС!О+ дс Я Я Но первое спагаемое есть сила тока проводимости !. Во втором слагаемом можно изменить последовательность интегрирования и дифференцирования. Это дает Х ./ д! д1 д " д! ' Гд.-„д ~~.„д, !ЛУА!1 Я где И вЂ” ноток вектора электрического смещения сквозь площадку Я.
Поэтому дФ 1волн 1 + и окончательно получаем следующее соотношение: ~ И1 111 = 1+ —. (137.1) случае внутри нроОно является вторым основным уравнением тон !!Роволиасости, н теории Максвелла и выражает в математитон смещения ческой форме положение Максвелла о магнитном поле тока смещения. Выпишем теперь основные уравнения, определяющие электрическое и магнитное поля. В 3 131 мы установили одно из уравнений Максвелла: Г1 1' 1!л 1 1 1 1 1 1-- 1 1 1 1 ! 1 1 ! (137.3) (137.4) ~В.дЯ=0 ~Я,Ы1 = (137.2) 1 Здесь ф — поток магнитной индукции через площадку Я, ограниченную контуром 1, причем, так же как и в (137.1), мы пользуемся символом частной производной по времени, так как В, а следовательно, и Ф могут еще зависеть от координат (от положения площадки Я).
К этим уравнениям нужно добавить еще два уравнения, выражающие теорему Остроградского-Гаусса для электрического Я 44) и магнитного полей (3 106): ~П„1~=~, 1 138 УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ 313 Наконец, следует напомнить, что различные величины, входящие в эти уравнения, не независимы и между ними существуют следующие связи: В = пдоН, П = сеоЕ, (137.5) где р и е — магнитная и диэлектрическая проницаемости вещества. Сила же тока проводимости 1 в (137.1) определяется плотностью тока 1, которая связана с напряженностью Е законом Ома 1= ЛЕ, (137.6) где А — удельная электрическая проводимость вещества.
Уравнения (137.1) — (137.6) составляют систему уравнений Максвелла. Они являются наиболее общими уравнениями для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. Отметим, что величины е, и н А входят в уравнения Максвелла как материальные постоянные, т.е. как заданные величины, характеризующие свойства среды. 3 138. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме Уравнения Максвелла (137.1) — (137.4) применимы к поверхности любого размера, и поэтому входящие в них величины относятся к разным точкам поля. Так, например, в левой части уравнения (137.1) Н есть напряженность магнитного поля в точках контура, ограничивающего рассматриваемую площадку, в то время как поток М в правой части зависит от значений Р в точках самой площадки.
Можно, однако, преобразовать эти уравнения в Н, Ь~' Н,+ 'Иу такую форму, чтобы все 4у величины относились к од- О У ной и той же точке поля. Для этого уравнения Максвелла нужно применить к о площадкам бесконечно малого размера. Обратимся сначала рнс 2зо Бесконечно малая площю~ка к уравнению Максвелла ~удк и значения составляющих магнитно( 137.1). Введем правовин- го поля на ограничивающем ее контуре товую прямоугольную систему координат ХУЯ и рассмотрим прямоугольную площадку 1-8-,9-.( (рис, 239) со сторонами ду н дк, параллельными осям 1 и к.
Вершину площадки 1 поместим в произвольную точ- 314 ВВАимные ИРеВРАЩениЯ пОлей теОРиЯ мАксВеллА Гл хп! ку поля 1х, у, х) и обозначим составляющие напряженности маг- нитного поля в этой точке через Н , Н„ и Н,. В соответствии с правовинтовым характером координатной системы выберем, далее, положительное направление обхода по контуру 1-х-о — 4 против часовой стрелки и вычислим магнитное напряжение по этому контуру. Оно распадается на четыре слагаемых, соответ- ствующих четырем отрезкам контура. Магнитное напряжение на отрезке 1-х равна Ну с1у.
На отрезке 8-4 составляющая на- пряженности поля вдоль отрезка равна (Н + — сЬ). Направан„ у а, ление обхода здесь противоположно положительному направ- лению Ну 1оси У), и поэтому магнитное напряжение равно— дн„ вЂ” Н + —" с1х Ыу. Аналогично напряжение на отрезке х — д дх ан, есть Н, + — * сну сЬ, а на отрезке 4-1 равно — Н, сЬ. Поэтому ду у Нх ссв = Ну с1У + (Нх + — ссУ) ссх ду дн„'1 / дн, дН„'1 — Н + —" с1х) сну — Н,сЬ = ( — * — — ") с1ус1х. дх ) ( ау о. ) Вычислим теперь слагаемые в правой части уравнения 1137.1).
Для потока Ф существенна лишь нормальная к площад- ке составляющая электрического смещения Рх. Поэтому поток через с1у сЬ равен Р с1ус1х и, следовательно, дн дР— = — * сЬ сЬ. дс дс Точно так же ток проводимости через площадку определяется лишь нормальной составляющей плотности тока у и равен ух Нулях. Подставляя все эти величины в формулу (137.1) и сокращая обе части равенства на с1у с1х, находим дР .
дн, дн„ +:сх = дс ду дх ' Приведенные рассуждения можно применить к двум другим площадкам с1хс1х и с1х ф, перпендикулярным соответственно к осям У и х. Поэтому вместо уравнения 1137.1) мы получим три уравнения, образующие первую группу уравнений Максвелла: аР.. он, он, аР„ан. ан, — +ух = — — —, — "+у = — * — — *, уд, . дН„дН, 4 + ' у дс дх ду ' 1 138 РРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ 315 Подобным образом мы можем применить к указанным трем площадкам второе уравнение Максвелла (137.2). Это приведет нас ко второй группе уравнений Максвелла: дВ дЕ дЕ» дВ„дЕ, дЕ. дВ, дЕ„дЕ д1 ду д» ' д1 д» дх ' д1 дх ду ' (138.2) Выражение потока вектора через замкнутую поверхность мы уже преобразовали в дифференциальную форму в 3 14.
Пользуясь полученным там результатом, можно записать уравнения (137.3) и (137.4) в виде дВ, до„дВ. + — "+ — * = р, (138.3) дх ду д» (138.4) Уравнения (138.1) — (138.4) совместно с уравнениями (137.5), (137.6) и представляют собой полную систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме, в которых все входящие величины относятся к одной и той же точке поля. Уравнения Максвелла можно записать в компактной векторной форме, не зависящей от выбора системы координат, если воспользоваться понятием вихря вектора.
Рассмотрим в поле какого-либо вектора А малую площадку ЬЯ, ограниченную контуром 1, и составим отношение циркуляции вектора А вдоль контура 1 к ЬЯ. Из векторного анализа известно, что предел этого отношения при ЬЯ вЂ” + 0 (если этот предел существует) есть проекция нового вектора на направление нормали п к площадке.
Этот вектор называется вихрем вектора А и обозначается символом го1 А (сокращение от французского го1а11оп — вращение) или сиг1 А (от английского спг1, что соответствует русскому Хвнхрь»). Таким образом,по определению го$„А = 1шз — Ф А1Й. 1 г АВ-+О Б У Но эти величины (для трех направлений и, параллельных осям Х, 1», х) мы как рвз и вычисляли выше (для А = Н и А = = Е); они равны правым частям уравнений (138.1) и (138.2). Отсюда видно, что составляющие го1Н в прямоугольных осях координат равны го1 Н = — ' — — ", го1„Н = — *- — ', го1,Н = — "- — *.
дН, дН„дН, дН, дН„дН ду д» ' " д» дх ' ' дх ду ' Такие же формулы справедливы и для го1 Е. 316 ВЕАимные ИРеВРАщения пОлей теОРиЯ мАксВеллА гл хп! Из сказанного следует, что уравнения Максвелла (138.1) и (138.2) в векторной форме имеют вид — +! = РАН, д1з д! д — — = го~ Е. д! (138.1а) (138.2а) Если среда является диэлектриком, то в первой группе уравнений Максвелла нужно положить !, = ув — — !, = О. й 13Я. Значение теории Максвелла Теория Максвелла сыграла выдающуюся роль в развитии наших знаний об электричестве.
Для того чтобы лучше понять значение этой теории, необходимо вспомнить историческую последовательность основных открытий в области электричества до работ Максвелла. Как уже упоминалось, количественное изучение электрических явлений началось с работ Кулона (1785 г.), установившего сначала закон взаимодействия электрических зарядов и распространившего его позднее на взаимодействие «магнитных зарядов». Однако вплоть до 1820 г.
электрические и магнитные явления рассматривали как различные явления, не связанные между собой. Открытие Эрстедом в 1820 г. магнитного действия тока показало, что между магнитными и электрическими явлениями существует связь и что магнитные действия можно получить при помощи электрических токов.
Магнитное действие токов было детвлы!о изучено Ампером, который пришел к заключению, что все магнитные явления в природе, в том числе и связанные с постоянными магнитами, вызваны электрическими токами (теория молекулярных токов Ампера). Дальнейшими важными результатами того периода мы обязаны Фарадею. Из них особое значение имело открытие электромагнитной индукции. Фарадей исходил из основной идеи о взаимной связи явлений природы.
Он считал, что если ток способен вызывать магнитные явления, то и, обратно, при помощи магнитов или других токов можно получить электрические токи. В результате настойчивых и многочисленных попыток Фарадей действительно открыл в 1831 г. это явление, которое еще более укрепило представление о связи между электричеством и магнетизмом. Второй важнейшей идеей в работах Фарадея было признание основной, определяющей роли промежуточной среды в электрических явлениях. Фарадей не допускал действия на расстоянии, которое, как мы сейчас хорошо знаем, физически бессодержа- 1 140 злектРОМАгиитное пОле В ДВижУЩихсЯ телАх 317 тельно, и считал, что электрические и магнитные взаимодействия передаются промежуточной средой и что именно в этой среде разыгрываются основные электрические и магнитные процессы. В работах Максвелла идеи Фарадея подверглись дальнейшему углублению и развитию и были превращены в строгую математическую теорию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
