Учебник - Электричество - Калашников С.Г. (1238776), страница 15
Текст из файла (страница 15)
68 ГЛ. Г1 ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ 9 33. Метод зеркальных изображений При расчете электрического поля и вычислении емкости бывает полезен вспомогательный прием, называемый методом зеркальных изображений зарядов. Этот метод основан на следующем очевидном положении: если в электрическом поле заменить какую-либо эквипотенциальную поверхность проводником той же формы и создать на нем потенциал, равный потенциалу рас+ сматриваемой эквипотенциальной поверхности, то электрическое поле не изменится. Применим это положение к электрическому полю двух точечных зарядов +д и -д, расположенных на рась;~ ~г " стоянии 26 друг от друга (рис. 39). Рассматриваемое поле можно разделить плоскостью АА падве равные части.
Эта плоскость будет везде перпенРис. 39. ЭлектРическое ие- дикулярна к линиям напряженности зкР" поля, а следовательно, будет эквнпостью " иРееелеюей иле~к" тенциальной поверхностью. Поэтом ь . му если в АА находится неограниченная проводящая плоскость, то псле между этой плоскостью и зарядом +д не изменится и будет совпадать с полем двух точечных зарядов +9 и — д. Это позволяет просто учесть действие индуцированных зарядов на проводящей плоскости.
Заряд — д расположен за плоскостью на том же расстоянии л, что и заряд +д над плоскостью, и поэтому является его зеркальным изображением в проводящей плоскости. Поэтому найденный результат можно сформулировать так: электрическое поле между точечным зарядом и бесконечной проводящей плоскостью совпадает с полем, создаваемым рассматриваемым зарядом и его зеркальным изображением в проводящей плоскости.
Или, иначе: действие проводящей плоскости с ее индуцированными зарядами можно заменить действием точечного заряда, являющегося зеркальным изображением данного заряда в проводящей плоскости. Применим рассмотренный метод к вычислению емкости цилиндрического провода с радиусом а, подвешенного на высоте л над землей. Такой случай мы имеем в воздушной телеграфной линии.
Линии напряженности этого поля (в плоскости, перпендикулярной к проводу) будут изображаться так же, как на рис. 39. Поле в пространстве между проводом и землей будет совпадать с полем провода и его зеркального изображения, и поэтому задача сводится к случаю двух параллельных прово- энеРГия зАРяженнОГО кОнденсАтОРА 69 дов. Однако напряжение между поверхностью земли и проводом при том же заряде провода будет равно только половине напряжения между двумя проводами, а, значит, емкость будет в два раза больше.
Умножая на 2 соотношение (32.5) и полагая в нем Ы = 26, найдем выражение для емкости единицы длины провода над землей в виде С' = 1н(2А7е) (33.1) 9 34. Энергия заряженного конденсатора Если обкладки заряженного конденсатора замкнуть металлическим проводником, то в нем возникнет электрический ток, а конденсатор разрядится. Электрический ток разряда конденсатора выделяет в проводнике определенное количество теплоты, а это значит, что заряженный конденсатор обладает энергией. Так, если в схеме рис. 40 перевести переключатель К в положение 1, то конденсатор С окажется соединенным с батареей элементов Б и зарядится до напряжения батареи.
При перебрасывании пе- 2 ганг реключателя в положение е конденсатор разряжается через электрическую лампочку, которая дает вспышку. С Вычислим энергию заряженного конденсатора. Для этого представим себе, что конденсатор заряжается, и обозначим через и мгновенное значе- 1'ис. 4а пРи РазРЯдке конние напряжения между его обклвд- ленсагера чеРеэ еле'ТР' е- скую лампу его энергия преками. ПРоцесс заРядки будем считать бесконечно медленным (квэзистатическим), полагая, что напряжение батареи и равное ему напряжение между обкладками бесконечно медленно увеличиваются. В этом случае потенциал каждой из обклэдок в любой момент времени будет иметь везде одно и то же значение. Если заряд обкладок увеличивается на малую величину йу, то совершаемая при этом внешняя работа 6А (в данном случае батареи), согласно 3 17, равна 6А = иду.
Выражая в этой формуле заряд обкладок д через напряжение по формуле (31.1), получим БА = Си Ыи. Если емкость не зависит от напряжения (электрического поля), то работа бА идет на увеличение энергии конденсатора НИ'. Ин- 70 гл ш ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ тегрируя выражение для бА между значениями напряжения 0 (начало зарядки) и У (конец зарядки), получаем и СУ„Д„= ~ СУг г о (34.1) Зависимость энергии конденсатора от емкости и напряжения можно также показать в описанном выше опыте (рис. 40).
Если увеличить напряжение батареи (увеличивая, например, число последовательно соединенных элементов), то лампочка вспыхивает гораздо ярче. Если, оставляя батарею неизменной, изменять емкость конденсатора, то с увеличением емкости накал лампочки увеличивается. Пользуясь соотношением (31.1), можно представить выражение для энергии заряженного конденсатора также в любом из следующих видов: (34.2) Благодаря способности запасать в себе энергию конденсаторы играют большую роль в электро- и радиотехнике. 3 35. Соединение конденсаторов Рис 41 Соединения конденсаторов На рис. 41 а показано параллельное соединение конденсаторов. В этом случае общим для всех конденсаторов является напряжение У, и мы имеем д1 = С1У, дг = СгУ, Если напряжение на конденсаторе сделать слишком большим, то конденсатор «пробивается», те.
между его обкладками возникает искра (внутри диэлектрика или по его поверхности) и конденсатор портится вследствие нарушения изоляции. Поэтому каждый конденсатор характеризуется не только своей емкостью, но еще и максимальным рабочим напряжением.
Для того чтобы, располагая определенными конденсаторами, осуществить желаемую емкость при нужном рабочем напряжении, конденсаторы соединяют в батареи. 71 СОЕДИНЕНИЕ КОНДЕНСАТОРОВ Суммарный заряд, находящийся на батарее, равен д= ,'~ д,=У~~ С„ и поэтому емкость батареи с = — =,> с,. (35.1) Емкость батареи конденсаторов, соединенных параллельно, равна сумме емкостей отдельных конденсаторов. Так как в этом случае напряжение на каждом конденсаторе равно напряжению на батарее, то и допустимое рабочее напряжение батареи будет таким же, как и у одного конденсатора На рис. 41б изображено последовательное соединение конденсаторов.
В этом онуче одинаков для всех конденсаторов заряд и, равный полному заряду батареи, и мы можем написать У1 = д/Сы Пз = д/Сз. Напряжение же батареи будет равно сумме напряжений на отдельных конденсаторах, т.е. '=~. '=~~.'.с Поэтому для емкости С всей батареи, находим —,'=Š—,', (35.2) При последовательном соединении конденсаторов суммируются обратные значения емкостей В этом случае напряжение на каждом конденсаторе будет меньше напряжения на батарее, и поэтому допустимое рабочее напряжение будет больше, чем у одного конденсатора.
На рис. 41 в показано смешанное соединение конденсаторов. Емкость такой батареи легко определить, пользуясь формулами (35.1) и (35.2), что предоставляем сделать самим читателям. Используя на практике соединение конденсаторов, следует всегда иметь в внлу, что диэлектрик любого конденсатора не является идеальным изолятором и, хотя бы очень слабо, проводит электричество Поэтому всякий Рис 42 Зквиваленпзые схемы конденсаторов с утечками Реальный конденсатор имеет некоторую утечку зарядов и может быть изображен эквивалентной схемой (рис 42 а) в виде идеального конденсатора ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕОКОГО ПОЛЯ ГЛ 1У С (без утечки) и параллельно присоединенного большого сопротяалеиия т.
В случае параллельного соединения конденсатороа утечки ие играют особой роли и напряжение на каждом ковщеисаторе будет равно по-прежнему полному напряжению батареи. Не то, однако, будет при последовательном соединении. Если конденсатор Сз (рнс. 42 б) без утечки соединен последовательно с конденсатором См обладающим утечкой Гь то с течением времени конденсатор Св будет разряжаться, и а конце концов иа конденсаторе Ст окажется полное напряжение батареи. В реальном случае обоих конденсаторов с утечками (рис. 42 е) устаиовиашиеся напряжения будут зависеть не от емкостей, а от утечек.
На конденсаторе с меньшей утечкой будет большее иапряжеиие, и ои может быть пробит. Долгому последовательное соединение конденсаторов ие применяют при работе с постоянными напряжениями, а используют его а цепях переменного тока, 5 36. Сложные конденсаторы До сих пор мы рассматривали лишь простые конденсаторы, в которых все линии смещения, исходящие из одной обкладки, заканчивались на другой обкладке.
Однако могут быть и более сложные случаи, когда линии -+ смещения распределяются между несколькими проводниками (рис. 43). Такую систему проводников мы будем называть е е -3 ). сложным конденсатором. В этом случае заряд какого- либо из тел будет зависеть от потенциалов всех проводников, участвующих в образовании Рис. 43. Доле сложного кондея- электРического полЯ. Этот заРЯД сатора можно найти следующим образом. Рассмотрим проводник 1 (рис.
43) и выделим на нем часть поверхности аб, которая соединяется линиями смещения только с проводником и. Заряд такого участка равен даб = СвбУ12, где С,б — емкость участка аб относительно тела 8, а У12 — напряжение между телами 1 и и. Аналогично для другого участка поверхности бв имеем: дбв —— СбвУ12 и т.Д. ПоэтомУ полный заРЯД тела 1 6УДет Равен (36.1) Ч1 Свб(112 + СбвО13 + СввУ14. Здесь через 014 обозначено напряжение между проводником 1 и тем телом, на котором заканчиваются линии смещения, идущие с участка ва. Вместо напряжений или разностей потенциалов между каждой парой проводников 012, 012, ... мы можем ввести в (36.1) потенциалы У1, У2, ... каждого из проводников (например, от- сложные кОнденсАтОРИ носительно бесконечности): с112»1 ~2> с'13 = с>1 — >>3> Подставляя эти выражения в (36.1), получим для заряда д1 опять линейную функцию потенциалов всех проводников в виде ч1 = СЫУ1 + С1гУг +...
= ~ С1ьБЫ (36.2) И аналогично для зарядов других проводников имеем ч1 = ~» СзьУь я (36.2а) где 1 — номер проводника. Коэффициенты Ске в этих формулах имеют простой физический смысл. Из (36.2) видно, что Сп равно заряду проводника 1, когда его потенциал равен единице, а потенциалы всех других проводников равны нулю; коэффициент С1г равен заряду на теле 1, когда потенциал тела л равен единице, а потенциалы всех остальных тел (включая и тело 1) равны нулю, и т.д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
