Учебник - Электричество - Калашников С.Г. (1238776), страница 12
Текст из файла (страница 12)
В этих случаях находят сначала потенциал, что оказывается гораздо проще, а затем вычисляют и напряженность поля по формуле (19.1). При вычислении потенциала следует различать два случая: а) задано распределение зарядов, вызывающих поле, и б) заданы потенциалы заряженных тел, создающих поле.
Рассмотрим сначала первый случай. Если поле создается одним-единственным точечным зарядом, то потенциал этого поля выражается формулой (24.1). Если имеется несколько точечных зарядов, то, согласно принципу наложения электрических полей (9 10), результирующее поле равно сумме нолей, создаваемых отдельными зарядами. Поэтому и потенциал этого поля равен сумме потенциалов, 54 РАзность пОтенциАлОВ гл.
и! 4лс 3 г (25.2) т где интегрирование распространяется на весь объем т заряженного тела. Коли заряды расположены только на поверхности тела., то и= —,' (25.3) и Здесь о — поверхностная п.лотность заряда, Ю вЂ” элемент поверхности тела, т — расстояние рассматриваемой точки поля до с!О, а интегрирование распространяется по всей заряженной поверхности Я.
Электрическое поле диполя. Применим результаты предыдущего параграфа к вычислению электрического поля, создаваемого диполем (рис. 31). Согласно (25.1) потенциал в некоторой точке поля а есть Е, Ч 1 1 Ч вЂ” е ! Будем теперь считать, что длина Рис. 31 к вычислению элек- диполя 1 весьма мала по сравнению трического поля липоля с расстояниями г! и т2 до точки а вызываемых отдельными зарядами, т,е. 4лк (25.1) Здесь бт — потенциал результирующего поля в рассматриваемой точке относительно бесконечности, г, — расстояние этой точки до 4-го заряда, а суммирование производится по всем точечным зарядам. Подобным образом можно рассчитать потенциал поля и протяженных заряженных тел. Б этом случае нужно сначала найти потенциал, создаваемый отдельным бесконечно малым элементом объема тела с1т, который можно рассматривать как точечный заряд. Этот потенциал есть 411! = — —, 1 рлт 4лсо т где р -- объемная плотность заряда, а т — расстояние от рассматриваемой точки поля до с1т.
Полное значение потенциала равно 55 ОБщАя ЗАдАчА электРОСТАтики (элементарный диполь). В этом случае можно положить 7', — г2 = о сОБ а, г1г2 = г 2 и выражение для потенциала принимает вид 1 рсооа (25.4) 4ггоо Г Здесь р есть модуль момента днполя, а а — угол между направлением момента диполя р и направлением радиус-вектора г, проведенного из диполя в рассматриваемую точку поля, Зная У в зависимости от координат, мы можем вычислить напряженность поля Е по формуле (19.1), дифференцируя выражение для с' по координатам.
Будем пользоваться полярными координатами г и а с началом в точке нахождения диполя и направим полярную ось в направлении момента диполя р. Тогда составляющая напряженности в направлении радиуса г есть д7У рсоо а (25.5) дг 2тсого Составляющая, перпендикулярная к г: дсГ р о1п а Еа г да 4псого Полная напряженность поля в точке а(г, а) будет (25.6) о = гго, + я, = — н~З 4- 1. о5.7) 4»согз Вектор напряженности образует с направлением г угол ~3: 18ф = Е /Е, = (1/2) 18 а.
(25.8) Эти формулы вполне определяют напряженность поля по модулю н по направлению в каждой его точке. Рпс. 32, Линии напряженноНа рис, 32 изображены линии поля стп элементарного дппопп дипел я. й 26. Общая задача электростатики Наиболее часто встречаются такие случаи, когда распределение зарядов неизвестно, но заданы потенциалы проводников. Такие задачи могут быть сформулированы следующим общим образом: имеется система проводников А, Б, В и т.д. заданной формы н заданного взаимного расположения и известны потенциалы всех проводников УА, УБ и т.д. (например, относительно гл. ш РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ бесконечности или относительно одного из проводников): требуется определить значение потенциала в любой точке поля между проводниками.
Математически эта задача сводится к следующей. Составляющие напряженности поля Б по координатам можно выразить, согласно (19.1), через потенциал: дУ дУ дУ Ех — ~ Ея— дх' др' дх' Подставляя эти выражения в уравнение Пуассона (14,1), мы получим общее уравнение, которому удовлетворяет потенциал, в виде до(У до(У до(У вЂ” + — + — = — —. (26.1) дх' дд' дх' ео Если между проводниками нет зарядов, то во всех точках р = О, и уравнение (26.1) переходит в более простое: д'У д'У д'У (26.2) называемое уроепеппело Лапласа. Поэтому вычисление потенциала в общем случае сводится к нахождению такой функции координат У(х, у, х), которая во всем пространстве между проводниками удовлетворяет дифференциальному уравнению (26.2), а на самих проводниках принимает заданные постоянные значения УА, Ув и т.д.
Можно показать, что решение такой задачи однозначно. Легко убедиться, что найденные нами в 3 24, 25 выражения для потеициала в простейших полях удовлетворяют уравнению (2б.2) и граничным условиям. Действительно, для однородного поля плоского коццеисатора потеициол выражается формулой (24.3).
Потенциал зависит лишь от одной коордииаты х, и поэтому в уравнении Лапласа (2б.2) имеется всего один член. Вычисляя производные от потенциала по координатам, имеем а о'су а азу У вЂ” — х, — — —, — — О. ео бх ео Ыхо Потенциал, кроме того, удовлетворяет граничным условиям, так как остается постоянным во всех точках одной обкладки (х = О) и другой обкладки (х = Ы). Для радиального поля шарового конденсатора мы нашли формулу о~г>, .
- о*а „+и. д фф... ла по координатам, получаем дЦ д / 1~ 1 х доЦ го — Зхо — оо— — оо дх дх (, г) г' г' дх' г' И аналогично д~У г — Зр~ д'У го — Зхо — сю — юо дво ' д. ПРОВОДНИКИ В ЭЛВКТРИЧВОКОМ ПОЛЕ Поэтому а'и о'ст а'и з '-з(*'+р'+ ') дх' ду' дл' Потенциал, выражаемый формулой (24.2), удовлетворяет н граничным условиям, так как постоянен во всех точках каждой обкладки (при г = а и г= 6). Подобным же образом можно проверить, что формула (24.4), найденная для потенциала в поле цилиндрического конденсатора, также удовлетворяет и уравнению (26.2), и граничным условиям. Решение уравнения (26.2), вообще говоря, сложно и составляет содержание специального раздела математической физики— теории потенциала.
Если форма электродов настолько сложна,что распределение потенциала трудно вычислить, то его всегда можно определить экспериментально. Для эгого может служить электрический зонд Я 23). Еще удобнее применение электролитической ванны, описанной в з 62. й 27. Проводники в электрическом поле Рассмотрим теперь, каким образом распределяются электрические заряды внутри проводников в отсутствие электрического тока. В 2 18 мы видели, что для равновесия зарядов необходимо, чтобы напряженность поля Е, в любой точке внутри проводника была равна нулю. Но тогда из уравнения Пуассона (14.1) следует, что объемная плотность заряда р; внутри проводника также равна нулю.
В отсутствие электрического тока заряды распределяются только на поверхности проводника. Если мы представим себе, что из сплошного проводника удалена внутренняя часть, то получится полый замкнутый проводник. Так как внутренняя часть не имела зарядов, то ее удаление не изменит ни распределение поля, ни распределение зарядов внутри остави!ейся части проводника, Поэтому равновесное распределение зарядов в полом проводнике будет таким же, как и в сплошном проводнике, т,е.
заряды будут только на внешней поверхности. Напряженность же поля будет равна нулю в любой точке внутри стенок и в любой точке внутри полости. Заряды в состоянии равновесия распределяются на поверхности проводника всегда, независимо от того, каким образом они возникли. Если замкнутый полый металлический проводник находится во внешнем электрическом поле (рис. ЗЗа), то на нем появятся индукционные заряды. Эти заряды будут также сосредоточены только на внешней поверхности, а электрическое поле и в толще метвлла, и внутри полости будет равно нулю.
Поэтому гл ш РАЗНОСТЬ ПОТБНЦИАЛОВ полый меиллический проводник экранирует электрическое поле всех внешних зарядов. Этим широко пользуются на практике для устройства электростатической защиты. Для того чтобы оградить чувствительные электрические приборы от возмущающего действия внешних электрических полей, их заключают в замкнутые металлические ящики, которые соединяют с землей. Отметим, что замкнутый полый проводник экранирует только поле внешних зарядов. Если электрические заряды находятся внутри полости, индукционные заряды возникнут не только на внешней поверхности ,К проводника, но и на внутрен+ Е=О ней (рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
