Явление Гиббса (1238767)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ЯВЛЕНИЕ ГИББСАБулыгин В.С.23 октября 2012 г.1. В конце 1898 — начале 1899 годов великий американский физик Джозайа Уиллард Гиббс(1839–1903), один из основоположников статистической механики, профессор математическойфизики на факультете философии и изящных искусств Йельского университета (США), являющийся тонким знатоком и ценителем математики1 опубликовал в английском общенаучномжурнале «Природа» (издаётся с 1869 г.) две небольших заметки [1] и [2], в которых показал,что ряд Фурье не всегда представляет разлагаемую функцию с должной точностью.

Редакцияанглийского журнала, как и сам Гиббс, не знали, что этот результат — ряд Фурье разрывнойфункции не сходится к разлагаемой функции в окрестности разрыва — уже был опубликован в Англии английским учёным Г. Уилбрагамом за 50 лет до этого [3], и за этим явлениемустановилось название: «Явление Гиббса».Рассмотрим явление Гиббса на частном случае разрывной функции [4, с. 91–93]−1 при −π < t < 0 ,(1)f (t) = sign(t) = 0при t = 0 ,+1 при 0 < t < π ,продолженной с периодом 2π на всю ось t (см. рис. 1)f (t)1−ππt-1Рис. 1. Периодическая функция (1), разлагаемая в ряд Фурье (2).Функция (1) является нечётной, поэтому её разложение в ряд Фурье будет содержатьтолько синусы:∞Xf (t) =bm sin mt ,(2)m=1где коэффициенты разложения bm определяются, с учётом (1), выражениями [5, с.

418, формула (12)]ZπZπ22 1 − cos πm21f (t) sin mt dt =sin mt dt ==[1 − (−1)m ] ,bm =πππmπm−π0«Математика — это язык» — сказал Гиббс на Учёном совете при обсуждении предложения об увеличенииучебных часов, предназначенных для изучения иностранных языков, за счёт уменьшения учебных часов, отведённых преподаванию математики (в 1871/72 учебном году у Гиббса занимались только 2 студента, правда,ставшие впоследствии профессорами Йельского университета и членами Национальной академии наук).11т. е. в разложении (2) отличны от нуля только члены с нечётными номерами m = 2n − 1 и,следовательно, разложение в ряд Фурье приводится к видуf (t) = lim SN (t) ,N →∞где SN (t) — сумма первых N ненулевых членов ряда Фурье:NSN (t) =4 X sin(2n − 1)t.π n=1 2n − 1(3)Характер приближения функции (1) частичными суммами (3) её ряда Фурье изображённа рис.

2.f (t), SN (t)1−ππt-1Рис. 2. Разлагаемая функция (1) и частичные суммы S6 и S15 её ряда Фурье (3).Как видно из рис. 2 частичные суммы SN осциллируют вблизи значений ±1 разлагаемойфункции. Исследуем, как ведут себя экстремумы SN (t) (в которых SN наиболее отклоняетсяот разлагаемой функции) при N → ∞.Производная частичной суммы SN (t), с учётом формулы Эйлера eiα = cos α + i sin α (i —мнимая единица) и формулы для суммы геометрической прогрессии (с начальным членом eitи знаменателем ei2t ) преобразуется к виду!NNi2N tX444X−1dSNit ei(2n−1)tcos(2n − 1)t = Re== Re e=edtπ n=1ππei2t − 1n=1iN t44 cos Nt sin Nt− e−iN t4iN t eiN t sin Nt= Re e== Re e=ititπe −eπsin tπsin t2 sin 2Nt,(4)=π sin tследовательно, точки экстремумов SN удовлетворяют уравнению sin 2Nt = 0 (кроме t = 0) ипри 0 6 t 6 π2 (картины при π2 6 t 6 π, как и при −π 6 t 6 0, полностью симметричны имогут отдельно не рассматриваться) равны:tn =πn,2Nn = 1, .

. . N.(5)Интегрируя (4), получим выражение для SN (t) (3) в интегральной форме, что для еёэкстремумов, с учётом (5), даёт:2SN (tn ) =π=tZn0πnZ 0sin 2Nt1dt = [τ = 2Nt] =sin tπNπnZ0sin ττ dτ =sin 2N n τ sin τ2(−1)n n2 sin τ−4,++O(N)dτ=Si(πn)−+Oπ τ12πN 2π12 N 2N42(6)где Si(x) — интегральный синус [4, с. 356–357], рис. 3:Si(x) ≡Zxπ cos xsin tdt = −+ O(x−2 )t2xпри x → ∞ .0Si(x)π2bbπbbb2π3π4πxРис. 3.

Нечётная функция — интегральный синус Si(x) при x > 0.Рассмотрим, как ведут себя экстремумы (6) при N → ∞. Если номер экстремума — целоечисло n = αN (0 < α 6 1), то, согласно (5), этот экстремум находится внутри рассматриваемого нами интервала в точке tn = 12 πα, и величина этого экстремума, согласно (6) равная2Si(παN) + O(N −1 ) ,πимеет при N → ∞ предел22lim Si(παN) =lim Si(x) = 1 ,π N →∞π x→∞т. е. вне разрыва нашей функции её ряд Фурье сходится к ней.Если же номер экстремума n не зависит от N, то, согласно (5), положение всех таких экстремумов при N → ∞ сливается с точкой разрыва (t = 0), а наибольший из этих экстремумов,согласно (6) и рис. 3, достигается при n = 1 и равенno 2(7)max lim SN (t) = Si(π) = 1,17898 . .

.N →∞πТаким образом, сумма бесконечного ряда Фурье функции (1) рис. 1, проходя через точкиразрыва, делает скачки, примерно на 17,9% большие, чем скачки разлагаемой функции играфик этой суммы имеет вид, изображённый на рис. 4:S∞ (t)1b−ππbt-1Рис. 4. Сумма ряда Фурье функции (1), рис.

1.Явление Гиббса, установленное им в [1] и [2] на частном примере тригонометрическогоразложения, имеет место и в общем случае. Как подробно показывается в [5, с. 495–497] этот жерезультат (7) оказывается справедливым и при разложении в ряд Фурье разрывной функцииобщего вида:3В точках разрыва функции, разложенной в ряд Фурье, скачки значений суммы ряда Фурье превышают величину скачков значений самойфункции на одинаковые доли, равные 17,9%.2. Если заменить разрывную функцию (1) непрерывной кусочно-монотонной функцией,быстро меняющейся в окрестности разрывов функции (1), то по признаку Дирихле [5, с. 438]ряд Фурье такой функции будет в каждой точке сходиться к этой функции и, следовательно,явление Гиббса в этом случае исчезает несмотря на то, что такая функция может отличатьсяот исходной разрывной только на сколь угодно малых промежутках.Рассмотрим, как ведёт себя разложение Фурье непрерывного аналога разрывной функции (1):−ϕ t+πпри −π 6 t 6 −π + ε ,εпри −π + ε 6 t 6 ε ,−1 t(8)f (t) = ϕ εпри −ε 6 t 6 ε ,+1при ε 6 t 6 π − ε ,ϕ π−t при π − ε 6 t 6 π ,εгде ϕ(x) — монотонно растущая нечётная функция, ϕ(−x) = −ϕ(x), ϕ(1) = 1.

Функция (8)изображена на рис. 5.f (t)1−π−π + ε−επεπ−ε-1tРис. 5. Непрерывная аппроксимация разрывной функции (1), рис. 1.Коэффициенты разложения Фурье (см. (2)) функции (8) определяются выражениями:επ−εZπZ ZZπ 22tπ−tbm =f (t) sin mt dt =  ϕsin mt dt +sin mt dt +ϕsin mt dt . (9)ππεε0Поскольку0π−εZεа такжеZε0επ−επ−εcos mεcos mt =[1 − (−1)m ]sin mt dt = −m εm Z1tϕsin mt dt = [t = εx] = ε ϕ(x) sin(mεx) dxε04иZππ−επ−tϕεZ0sin mt dt = [t = π − εx] = −ε ϕ(x) sin(πm − mεx) dx =1Z1Z100= −ε ϕ(x) sin(mεx − πm) dx = −(−1)m ε ϕ(x) sin(mεx) dxто коэффициенты разложения (9)bm =Z12cos mε[1 − (−1)m ] + ε ϕ(x) sin(mεx) dxπm0снова отличны от нуля при m = 2n−1 и частичная сумма N первых членов фурье-разложенияфункции (8) равнаNsin(2n − 1)t4XΦ(mε),(10)SN (t) =π n=12n − 1гдеZ1Φ(mε) = cos mε + mε ϕ(x) sin(mεx) dx(m = 2n − 1)(11)0Если mε мало, то cos mε = 1 − 12 (mε)2 + O (m4 ε4 ), sin(mεx) = mεx + O (m3 ε3 ) иΦ(mε) = 1 − γ(mε)2 + O m4 ε4(m = 2n − 1)где обозначеноZ11γ = − ϕ(x) x dx ,20<γ<(12)1,20поскольку для монотонно растущей от 0 до 1 функции ϕ(x)Z10Z1Z100ϕ(x)x dx < max{ϕ(x)} x dx = x dx =1.2Таким образом, с ростом N, до тех пор, пока величина γ(mε)2 = γ [(2N − 1)ε)]2 будетоставаться малой, можно считать Φ(mε) ≃ 1, частичные суммы SN (t) ряда Фурье (10) будутсовпадать с частичными суммами (3) ряда Фурье разрывной функции (1) и, следовательно, идля непрерывной функции (8) в этом случае будет наблюдаться явление, аналогичное явлениюГиббса:вблизи границы зоны быстрого изменения непрерывной функции значения частичных сумм её ряда Фурье SN (t) с ростом N будут сначала иметьвыбросы (превышающие величину изменения значений самой функции примернона 18%), которые с дальнейшим увеличением N будут стремиться к нулю и ряд Фурье в силу признака Дирихле станет сходиться к разлагаемойнепрерывной функции.5Оценим номер гармоники Nг = 2N − 1, являющийся условной границей наблюдения эффекта Гиббса.

Из выражения (12) следует оценка: γ(Nг ε)2 ∼ 1, или√1Nг ε ∼ √ ∼ 2 .γ(13)Вводя обозначение для относительного размера области резкого изменения функцииδτ =τ,Tгде τ — длительность перехода и T — период функции имеем для рассматриваемой функ2εции (8): δτ = 2π, откудаε = π · δτи оценка (13) принимает вид:√21= 0,45 ∼ .π2Эту оценку можно также получить из следующих соображений: чтобы начать описыватьпереход шириной τ нужна гармоническая составляющая ряда Фурье с периодом Tг ≡ NTг = 2τ(см.

рис. 6), откуда получаем:τ1τ= Nг = Nг · δτ = .TгT2Nг · δτ ∼− τ2b− T2bτ Tг2 2− T2гT2tРис. 6. Соотношение между областью τ резкого изменения функции и необходимым периодом гармоники Tг .Список литературы[1] J. Willard Gibbs. Fourier’s Seriés. // Nature. — 1898. — Vol. 59, Num. 1522.

— P. 200.[2] J. Willard Gibbs. Fourier’s Seriés. // Nature. — 1899. — Vol. 59, Num. 1539. — P. 606.[3] Willbraham H. // Cambrige and Dublin Math. Journ. — 1848. — Vol. 3. — P. 198—201.[4] Андре Анго. Математика для электро- и радиоинженеров (с предисловием Луи де Бройля). — М.: Наука, 1964.[5] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. III.

— М.:Наука, 1966.6.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов учебной работы