Учебник - Механика. Методика решения задач - Русаков (1238761), страница 25
Текст из файла (страница 25)
5.11На рис. 5.11 изображены также интервалы времени междусобытиями, заданные в условии задачи, – τ1, τ2 и Δτ. Эти интервалывремени относятся к событиям, происходящим в одной точке пространства, – A и B в системе S (интервал τ1), A1 и B1 в системе S'(интервал τ2), A1 и C1 в системе S' (интервал Δτ). В соответствии соследствием преобразований Лоренца – "замедлением времени" (см.Теоретический материал, формулу (5.6)) – эти интервалы времени,соответствующие тем же парам событий, измеренные по часамдругой системы отсчета, увеличиваются в γ раз (см.
рис. 5.11), где1γ=.21 − (U / c )II. Пусть в момент в момент вспышки света на носу первогозвездолета (событие A) второй звездолет находился на расстоянииLA в системе отсчета S. Тогда интервал времени ΔtA между событиями A и A1 в этой системе отсчета с учетом скорости сближениязвездолетов равен:LΔtA = A .(5.66)c +UВспышка света на корме первого звездолета (событие С),произошедшая одновременно с первой вспышкой на его носу (событие A) будет зарегистрирована на втором звездолете через времяΔtC по часам первого звездолета:МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ172LA + l0.(5.67)c +UИнтервал времени ΔtB между событиями B и B1 в системе отсчета S с учетом уменьшения расстояния между звездолетами завремя τ1 равен:L − Uτ 1ΔtB = A.(5.68)c +UКак видно на рис.
5.11, рассматриваемые интервалы временисвязаны между собой соотношениями:ΔtC = Δt A + γΔτ ,(5.69)ΔtB = ΔtA − τ 1 + γτ 2 .(5.70)III. Решаем полученную систему уравнений (5.66) – (5.70)относительно искомых величин l0 и U:ΔtC =τ1,τ2(5.71)τ 12 − τ 2 2c.τ 2 2 + τ 12(5.72)l0 = cΔτU=Подставив в (5.71) и (5.72) заданные численные значения τ1,τ2 и Δτ, определим собственную длину первого звездолета l0 и скорость относительного движения звездолетов U:3(5.73)l0 = 600 м, U = c .5Задача 5.9(Инвариантность пространственно-временных интервалов)В некоторой системе отсчета происходят два события со следующими пространственно-временными координатами: x1 = 0;t1 = 0 (событие А) и x2 = 5 м; t2 = 10−8 c (событие В). Определить:1) в какой системе отсчета эти события происходят на минимальном расстоянии друг от друга Δx ′ min , найти это расстояние искорость движения системы отсчета V;2) в какой системе отсчета эти события происходят с минимальным временным интервалом Δt ′ min , найти этот интервал искорость системы отсчета V;Глава 5.
Кинематика в теории относительности3) могут ли этиследственной связи.событиянаходиться173впричинно-РешениеI. В условии задачи заданы пространственно-временные координаты событий А и В в системе отсчета S. Определим величинуквадрата пространственно-временного интервала (5.9) между этимисобытиями:2S12 = Δx 2 − c 2 Δt 2 = 16 м 2 > 0 ,(5.74)где Δx = x2 − x1 и Δt = t 2 − t1 .2Так как S12 > 0 , то интервал между рассматриваемыми событиями – пространственно-подобный, и поэтому события А и Вне могут быть связаны причинно-следственной связью (см.п. 5.1.4.
Пространственно-временной интервал)II. Поскольку пространственно-временной интервал инвари′ ), то величина Δx′ будет минимальна в системе S',антен ( S12 = S12когда Δt ′ = 0 :′ = S12 =Δx′ min = S12(x2 − x1 )2 − c 2 (t2 − t1 )2 .(5.75)Очевидно, что Δt ′ min = 0 в той же системе отсчета S'.Для определения скорости системы отсчета S' можно воспользоваться одним из преобразований Лоренца (5.4):Δx ⎞⎛(5.76)Δt ′ = ⎜ Δt − β⎟γ .c ⎠⎝III. Используя (5.76) при Δt ′ = 0 , получим:t −tt −tV cΔtβ= == c 2 1 и V = c2 2 1 .(5.77)x2 − x1x2 − x1c ΔxПодставив численные значения пространственно-временныхкоординат событий в (5.75) и (5.77), получим значения искомыхвеличин:33Δx′ min = 4 м, β = и V = c .55МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ174Задача 5.10(Преобразования скоростей)Два стержня одинаковой собственной длиной l0 движутся впродольном направлении навстречу друг другу параллельно общейоси с одной и той же по величине скоростью V относительно лабораторной системы отсчета S (рис.
5.12). Чему равна длина каждогостержня в системе отсчета, связанной с другим стержнем.SYY' S'υ1υ2X'Рис. 5.12XРешениеI. Свяжем систему отсчета S' с первым стержнем (см.рис. 5.12). Скорость этой системы отсчета относительно лабораторной системы S совпадает со скоростью первого стержня υ1 иравна V.
Скорость второго стержня относительно той же системы Sравна υ 2 = −V .Определим длину второго стержня относительно системы отсчета S', связанной с первым стержнем. Для этого необходимо провести измерение координат концов второго стержня в системе S'одновременно. Пусть события А и В состоят в том в системе S' одновременно фиксируются положения двух концов второго стержня.II. В соответствии со следствием преобразований Лоренца –"сокращением длины" – в системе отсчета S', для которой событияА и В происходят одновременно, наблюдается сокращение пространственного интервала – длины второго стержня:2⎛ υ′ ⎞= l0 1 − ⎜ 2 ⎟ ,(5.78)γ⎝ c ⎠где υ 2′ – скорость второго стержня относительно системы отсчетаS'. Определим эту скорость, используя формулу преобразованияскоростей (5.21):l2′ =l0Глава 5. Кинематика в теории относительностиυ2 − V1752V.(5.79)2VV1 − 2 υ21+ 2ccIII.
Подставив найденную скорость υ 2′ (5.79) в соотношение(5.78), получим:υ 2′ =l2′ = l0 1 −=−4V 2= l0c2 − V 2.c2 + V 2(5.80)2⎛ V2 ⎞ 2⎜1 + 2 ⎟ c⎜c ⎟⎠⎝Связав систему отсчета S' со вторым стержнем, аналогичнымобразом можно получить длину первого стержня в системе отсчета,связанной со вторым стержнем:c2 − V 2l1′ = l0 2.(5.81)c +V 2Задача 5.11(Преобразования скоростей)Два неподвижных прожектора излучают узкие пучки света впротивоположных направлениях относительно оси Y лабораторнойсистемы отсчета (см. рис. 5.13).
С какой скоростью U эти прожекторы должны двигаться в направлении, перпендикулярном оси Y,чтобы пучки света распространялись под углом α = 90° друг к другу?YYXUUXРис. 5.13РешениеI. В соответствии с условием задачи направим ось Y лабораторной системы отсчета S вдоль пучка света, излучаемого одним изпрожекторов (рис. 5.13), а ось X − в направлении их движения.Свяжем систему отсчета S′ с прожекторами, движущимися со ско-МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ176ростью U относительно лабораторной системы S, и направим ееоси X' и Y' вдоль осей X и Yсоответственно.II. Поскольку прожектора покоятся относительно системы S',то проекции скоростей распространения двух пучков света относительно этой системы в соответствии с условием задачи равны:υ1′x = υ 2′ x = 0 , υ1′y = c и υ 2′ y = −c .(5.82)Запишем формулы преобразования (сложения) скоростей(5.22) для определения проекций скоростей распространения пучков света относительно лабораторной системы отсчета S:U + υ1′xU + υ 2′ x,(5.83), υ2 x =υ1x =Uυ ′Uυ ′1 + 21x1 + 22 xcc22⎛U ⎞⎛U ⎞1 − ⎜ ⎟ υ1′y1 − ⎜ ⎟ υ 2′ y⎝c⎠⎝c⎠υ1 y =, υ2 y =.(5.84)Uυ ′Uυ ′1 + 21x1 + 22 xccДля того чтобы пучки света распространялись под угломα = 90° в лабораторной системе отсчета, необходимо выполнениеследующих условий:υ1x = υ1 y и υ 2 x = −υ 2 y .(5.85)III.
Определим проекции скоростей распространения пучковотносительно системы отсчета S (5.83) и (5.84) с учетом соотношений (5.82):22⎛U ⎞⎛U ⎞υ1x = υ 2 х = U , υ1 y = c 1 − ⎜ ⎟ , υ 2 y = −c 1 − ⎜ ⎟ .(5.86)⎝c⎠⎝c⎠Подставив полученные значения проекций скоростей в(5.85), определим, с какой скоростью U должны двигаться прожекторы в направлении, перпендикулярном лучам, для того, чтобыпучки света распространялись под углом 90° друг к другу:2⎛U ⎞U = c 1− ⎜ ⎟ .⎝c⎠СледовательноcU=.2(5.87)(5.88)Глава 5.
Кинематика в теории относительности177Задача 5.12(Преобразования скоростей)Стержень АВ ориентирован параллельно оси X' в системе отсчета S' и движется в этой системе со скоростью U ′ = 0,7c , направленной противоположно оси Y' (см. рис. 5.14).
Система S' в своюочередь движется со скоростью V = 0,6c относительно лабораторной системы отсчета S в направлении ее оси Х, совпадающей понаправлению с осью X'. Найти угол между стержнем и осью Х всистеме S.YSY'S'VABU'XX'Рис. 5.14РешениеI. Пусть интересующими нас событиями будут события C иD, состоящие в том, что в некоторый момент времени концыстержня совпали с осью X' в системе отсчета S'. Пространственновременные координаты событий C и D в системе отсчета S равны( x1 , y1 , t1 ) и ( x2 , y 2 t2 ), а в системе отсчета S' – ( x1′ , y1′ , t1′ ) и( x2′ , y ′2 , t2′ ) (см. рис.
5.15).YSY'S'Vx1′x 2′U'Рис. 5.15XX'МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ178II. События C и D в системе отсчета S' происходят одновременно, то естьΔt ′ = t2′ − t1′ = 0 .(5.89)В отличие от системы S' в системе S события C и D происходят не одновременно. В соответствии с преобразованиями Лоренцаинтервал времени Δt между событиями C и D в системе S с учетом(5.89) равен:VΔt ′ + 2 Δx′cΔt = t 2 − t1 =.(5.90)21 − (V / c )Поскольку Δx′ = x2′ − x1′ > 0 , то Δt = t2 − t1 > 0 . Это означает,что в системе отсчета S концы стержня A и B пересекут некоторуюпроизвольную прямую y = y0 в разные моменты времени, сначалаА, потом через интервал времени Δt – B (см.
рис. 5.16).Yy0SBAϕUyx1Δyx2XРис. 5.16Таким образом, в системе отсчета S стержень оказываетсянаклоненным к оси Х под углом ϕ. В тот момент времени, когдаконец А достиг прямой y = y0, конец В оказался выше этой прямойна расстоянииΔy = U y Δt ,(5.91)где U y – скорость, с которой стержень движется вдоль оси Y всистеме S. При этом согласно (5.7), в системе отсчета S произойдетсокращение интервала Δx = x2 − x1 :Δx′2Δx == Δx′ 1 − (V / c ) .(5.92)γГлава 5. Кинематика в теории относительности179Угол поворота стержня в системе S определяется следующимобразом:⎛ Δy ⎞(5.93)ϕ = arctg⎜ ⎟ .⎝ Δx ⎠Проекция скорости стержня U y на ось Y лабораторной системы отсчета S в соответствии с одной из формул преобразования(сложения) скоростей (5.22) равна1 − (V / c ) ⋅ U ′yUy =.V1 + 2 U ′xcВ соответствии с условиями задачиU x′ = 0 , U ′y = −U ′ .2(5.94)(5.95)III.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
