Учебник - Механика. Методика решения задач - Русаков (1238761), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Искомый угол ϕ между стержнем и осью Х в системе Sнаходим, решая полученную систему уравнений (5.90) − (5.95):⎛⎞U ′V⎟.ϕ = arctg⎜(5.96)⎜ c 2 1 − (V / c )2 ⎟⎝⎠Подставляя в (5.96) численные значения скоростей движениястержня и системы S', заданные в условии задачи, получаем:ϕ ≅ 27,7° .ϕ,ο906030ϕпред = 36,927,71o2o3000.20.40.6V/cРис. 5.170.81МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ180Проанализируем зависимость угла ϕ (5.96) от скорости движения V системы отсчета S' при различных скоростях движениястержня U'.
На рис. 5.17 изображены графики зависимости ϕ (V / c )при трех значениях параметра U ′ / c . График 1 соответствует значению U ′ / c = 0,999 , график 2 − заданному в условии задачи значению U ′ / c = 0,7 , а график 3 − U ′ / c = 0,3 .Как видим, при заданной скорости движения системы отсчета S' в лабораторной системе отсчета S угол между движущимсястержнем и осью X имеет предельное значение ϕпред , определяемоеграфиком 1 на рис. 5.17.5.4.
Задачи для самостоятельного решенияЗадача 1Найти собственную длину стержня, если в лабораторной системе отсчета его скорость V = c/2, длина l = 1 м и угол между ним инаправлением движения ϑ = 45°.()()Ответ: l0 = l 1 − (V / c ) sin 2 ϑ 1 − (V / c ) = 1,08 м .22Задача 2Два стержня одинаковой собственной длиной l0 движутся навстречу друг другу параллельно общей горизонтальной оси. В системе отсчета, связанной с одним из стержней, промежуток временимежду моментами совпадения левых и правых концов стержнейоказался равным Δt. Какова скорость одного стержня относительнодругого?2l0c 2 Δt.Ответ: V =(cΔt )2 + l02Задача 3Стержень, длина которого в системе отсчета S равна L, расположен в ней так, что составляет с осью X угол ϑ.
Система отсчета S' движется относительно системы S со скоростью V = c/2 в сторону, противоположную оси Y. Определить какой угол ϑ' составляет стержень с осью X' системы отсчета S' и чему равна длина L'стержня в этой системе.Глава 5. Кинематика в теории относительностиОтвет: tg ϑ ′ =18133 + cos 2 ϑtg ϑ , L′ = L.22Задача 4Космонавт спустя время τ 0 (по собственным часам) послестарта получает радиограмму с сообщением о рождении внука.Тотчас же, для того, чтобы внук получил поздравление вовремя, онпосылает ответную радиограмму, в которой поздравляет внука ссовершеннолетием (возраст равен Т).
Какова скорость космического корабля?Ответ: V = Tc4τ 02 + T 2 .Задача 5Система отсчета S' движется относительно лабораторнойсистемы отсчета S со скоростью V = c/2 в сторону, противоположную оси X. В системе отсчета S частица движется со скоростьюU = c/2 под углом ϑ к оси X.
Найти модуль скорости частицы U ′ всистеме отсчета S'. Определить, какой угол ϑ ′ составляет скоростьчастицы с осью X' системы отсчета S'.c3 sin ϑОтвет: U ′ =8 + 8 cos ϑ − sin 2 ϑ , tg ϑ ′ =.4 + cos ϑ2(1 + cos ϑ )Задача 6Два космических корабля летят вдоль одной прямой в одномнаправлении со скоростями V1 > V2 . Со второго корабля вдогонкупервому посылается два электромагнитных импульса с интерваломвремени τ1 относительно лабораторной системы отсчета. С какиминтервалом времени τ2 относительно той же системы отсчета онивернутся назад после отражения от первого корабля?⎛ c + V1 ⎞⎛ c − V2 ⎞⎟⎟⎜⎜⎟⎟ .Ответ: τ 2 = τ 1 ⎜⎜⎝ c − V1 ⎠⎝ c + V2 ⎠Задача 7Два события совершаются на расстоянии l = 6⋅105 км друг отдруга с промежутком времени τ = 1 с относительно некоторой182МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧинерциальной системы отсчета.
С какой скоростью V должен лететь космический корабль, чтобы в системе отсчета, связанной скораблем, эти события стали одновременными?c 2τ= 1,5 ⋅108 м/с .Ответ: V =lЗадача 8В системе отсчета S′, движущейся со скоростью c / 2 вдольоси X лабораторной системы отсчета S, движется тело небольшихразмеров со скоростью c / 2 под углом α′ к оси X'.
Найти угол α,который составляет скорость тела с осью X в системе S.3 sin α ′Ответ: tg α =2 cos α ′ + 2Задача 9Две частицы с одинаковыми скоростями V движутся вдольодной прямой и попадают в мишень с интервалом времени τ всистеме отсчета, связанной с мишенью. Найти расстояние l междулетящими частицами в системе отсчета, связанной с частицами.Vτ.Ответ: l =21 − (V / c )Задача 10Космический корабль удаляется от Земли, двигаясь сначаласо скоростью υ1 , потом со скоростью υ 2 . С точки зрения космонавта, находящегося на космическом корабле, время движения соскоростями υ1 и υ 2 одинаково. Какое расстояние L пролетит корабль, если время движения корабля по Земным часам равно Т?(Пренебречь временем, затраченным на изменение скорости корабля.)υ γ + υ 2γ 2T,Ответ: L = 1 1γ1 + γ 211и γ2 =.где γ 1 =221 − (υ1 / c )1 − (υ 2 / c )Глава 5.
Кинематика в теории относительности183Задача 11На легкую неподвижную частицу налетает тяжелая плита.Определить скорость V, приобретенную частицей после упругогостолкновения с плитой, движущейся в направлении, перпендикулярном своей плоскости со скоростью υ = c 3 .2υ= 0,6c .Ответ: V =21 + (υ / c )184МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧГЛАВА 6КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА АБСОЛЮТНОТВЕРДОГО ТЕЛА6.1. Теоретический материал6.1.1. Кинематика абсолютно твердого телаАбсолютно твердое тело – тело (система материальных точек), расстояния между двумя любыми материальными точкамикоторого можно считать постоянными в условиях данной задачи.Рассмотрим движение абсолютно твердого тела относительно лабораторной системы отсчета S.
Для этого жестко свяжем систему отсчета S' с этим телом. Таким образом, интересующее насабсолютно твердое тело выступает в качестве тела отсчета системыS'.Запишем формулы, связывающие кинематические характеристики некоторой материальной точки относительно двух произвольно движущихся относительно друг друга систем отсчета S и S'(см. Главу 4):r = R + r' ,(6.1)υ = V + [ωr' ] + υ' ,(6.2)&a = A + [ωr' ] + [ω[ωr' ]] + 2[ωυ' ] + a ' .(6.3)Здесь r (t ) , r ' (t ) − радиус-векторы, υ(t ) , υ′(t ) − скорости и a(t ) ,a′(t ) − ускорения некоторой материальной точки относительносистем отсчета S и S' соответственно; R(t ) , V (t ) и A(t ) – радиусвектор, скорость и ускорение начала системы отсчета S', котороеможет и не совпадать с материальной точкой рассматриваемогоабсолютно твердого тела; ω(t ) и ω& (t ) – угловая скорость и угловоеускорение системы S' (абсолютно твердого тела) вокруг оси вращения, проходящей через начало системы отсчета S' (рис. 6.1).Если некоторая материальная точка M (см.
рис. 6.1) принадлежит абсолютно твердому телу (телу отсчета системы S'), то, поскольку υ′(t ) и a′(t ) , для этой точки:r = R + r' ,(6.4)υ = V + [ωr' ] ,(6.5)a = A + [ω& r' ] + [ω[ωr' ]] .(6.6)Глава 6. Кинематика и динамика абсолютно твердого тела185ωSS'rRMr'O'OРис. 6.1. Радиус-векторы произвольной материальной точки Mабсолютно твердого тела в лабораторной системе отсчета S и системе отсчета S', связанной с теломИз уравнения для скорости произвольной материальной точки абсолютно твердого тела (6.5) следует принцип суперпозициидвижений (материальных точек) абсолютно твердого тела.Принцип суперпозиции движений абсолютно твердоготела – любое перемещение абсолютно твердого тела (материальных точек этого тела) в пространстве можно представить как суперпозицию последовательно осуществляемых поступательногодвижения этого тела (параллельного переноса со скоростью V ) иповорота вокруг оси вращения (вращательного движения с угловойскоростью ω ).Поступательное движение абсолютно твердого тела – движение, при котором прямая, соединяющая любые две материальные точки тела, перемещается параллельно самой себе.
Для описания поступательного движения абсолютно твердого тела достаточно описать движение любой материальной точки этого тела.Произвольное движение абсолютно твердого тела (и жесткосвязанной с ней системы отсчета S') однозначно задается закономдвижения любой материальной точки тела (начало системы отсчетаS' совпадает с этой точкой тела) R(t ) и законом изменения угловойскорости вращения тела (системы отсчета S') относительно этойточки ω(t ) .Число степеней свободы механической системы – число независимых физических величин, так называемых обобщенных координат, однозначно определяющих положение тел системы впространстве.МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ186У абсолютно твердого тела шесть степеней свободы.
Например, три координаты произвольной материальной точки тела, дваугла, задающих направление прямой, соединяющей две точки иугол поворота тела вокруг этой прямой.Плоское движение абсолютно твердого телаПлоское движение – движение тела, при котором траектории всех материальных точек тела лежат в параллельных плоскостях.
В случае плоского движения абсолютно твердое тело имееттри степени свободы.Вращательное движение абсолютно твердого тела вокругнеподвижной оси – плоское движение, при котором материальныеточки тела двигаются по окружностям с центрами, лежащими наэтой оси, называемой осью вращения. В этом случае абсолютнотвердое тело обладает одной степенью свободы.При плоском движении скорость υ(t ) и ускорение a (t ) материальной точки абсолютно твердого тела лежат все время в плоскости движения P этой точки (см. рис.
6.2).ωnSS'rMr'aυPO'OРис. 6.2. Кинематические характеристики материальной точки Мабсолютно твердого тела при его плоском движенииДействительно, пусть n − const – единичный вектор нормалик плоскости движения, тогда(nυ) = ⎛⎜ n dr ⎞⎟ = 0 , ∂(nυ) = (n& υ) + (nυ& ) = (na ) = 0 .(6.7)∂t⎝ dt ⎠Глава 6. Кинематика и динамика абсолютно твердого тела187Угловая скорость ω и угловое ускорение ω& абсолютнотвердого тела в случае плоского движения всегда перпендикулярныплоскости движения.Действительно, умножим обе части уравнения взаимосвязискоростей (6.5) скалярно на нормаль к плоскости движения. Так какрезультат будет справедлив при любых V (t ) и r ' (t ) , то:(nυ) = ({nV ) + (n[ωr ']) = 0 ,123=0=0n ⊥ V , n || ω и ω ⊥ V .(6.8)Умножим обе части уравнения взаимосвязи ускорений (6.6)скалярно на нормаль к плоскости движения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
