Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл - Примеры решения задач (1238748)
Текст из файла
Интегрируемость функции (по Риману) иопределенный интегралПримеры решения задач1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений илюбого выбора точек ξi интегральные суммы имеют одно и то же значениеI(xi, ξi) =ОтсюдаC dx =f(ξi)Δξi = CΔxi = C(b − a).I(xi, ξi) = C(b − a).2. Доказать, что функция ДирихлеD(x) =0,1,если x иррационально,если x рационально,не интегрируема на любом сегменте [a, b].Решение. В самом деле, на любом сколь угодно малом сегменте [xi − 1, xi] найдутся какрациональная, так и иррациональная точка. Если на всех сегментах выбрать рациональныеξi, то I(xi, ξi) = b − a; если же все ξi иррациональны, то I(xi, ξi) = 0. Чередуя такие выборыпри Δ → 0, получаем, что предел I не существует.
Значит, функция Дирихле неинтегрируема.3. Проверить, что для функции f(x) = 1 + x на сегменте [−1, 4] выполнено условие (1)теоремы 2, и вычислить I =(1 + x) dx как предел интегральных сумм.Решение. Согласно теореме 2 для произвольного ε > 0 нужно указать такое разбиениесегмента [−1, 4], при котором S − s < ε.Разобьем сегмент [−1, 4] на n равных частей. На каждом сегменте [xi − 1, xi] =непрерывная функция 1 + x достигает точной нижней гранина левом конце сегмента, а точной верхней − на правом.
ПоэтомуmiΔxi =s==S=MiΔxi =f(i − 1)·=f=(i − 1),·=·i·=i.ОтсюдаS−s=i−(i − 1) =n = 25/n < ε,если n > 25/e, т. е. при таком числе n точек разбиения сегмента [−1, 4] выполненонеравенство (1). Значит, по теореме 2 интеграл I =(1 + x) dx существует.Чтобы вычислить его как предел интегральных сумм, можно рассмотреть любуюпоследовательность интегральных сумм, у которой Δ → 0, поскольку из существованияинтеграла следует, что предел любой последовательности интегральных сумм приизмельчении разбиения существует и равен I.Возьмем, например, последовательность интегральных сумм, соответствующуюразбиениям сегмента [−1, 4] на n равных частей (n = 1, 2, …) и выбору в качестве точек ξiправых концов частичных сегментов.
В этом случае для возрастающей функции f(x) = 1 +x интегральная сумма равна верхней сумме S =I=Итак,(1 + x) dx =(1 + x) dx = 25/2.i откуда получаемi== 25/2.4. Доказать, что функция Римана0, если x иррационально,1/n, если x = m/n,ϕ(x) =где m и n (n ≤ 1) − взаимно простые целые числа, интегрируема на любом сегменте [a, b].Решение. Снова воспользуемся теоремой 2. Зададим произвольное ε > 0. Тогда функцияϕ(x) удовлетворяет неравенствам< ϕ(x) < 1только в некотором конечном числе N точек.Это вытекает из следующих соображений.
Все рациональные точки сегмента [a, b], т. е.точки вида m/n, можно занумеровать в таком порядке: сначала точки вида m/1, затем m/2,затем m/3 и т. д. Соответствующие значения функции ϕ(x) в этих точках равны 1/1, 1/2,1/3, …, т. е. уменьшаются с переходом к каждой следующей группе точек, причем точеккаждого вида имеется конечное число. Таким образом, в число указанных N точек попадуттакие, для которых 1/n >число (пусть оно равно N)., откуда n < 2(b − a)/ε. Ясно, что таких точек конечноеПокроем эти N точек конечной системой попарно непересекающихся сегментов с общейсуммой длин, меньшей ε/2. Длины этих сегментов обозначим Δxi'. Получилось некотороеразбиение [a, b]. На сегментах с длинами Δxi' колебания ωi' функции ϕ(x) не больше 1,поскольку ∀ x ∈ [a, b] 0 ≤ ϕ(x) ≤ 1.
Имеется также некоторое конечное число остальныхсегментов (обозначим их длины Δxi',). Колебания ωi'' функции ϕ(x) на этих сегментах непревышают. Поэтому для полученного разбиения справедливы оценкиS − s = ∑ ωiΔxi = ∑ ωi'Δxi' + ∑ ωi''Δxi'' < 1 · ∑ Δxi' ++∑ Δxi'' < 1 · ε/2 +(b − a) = ε.Итак, по заданному ε > 0 нашлось разбиение сегмента [a, b], для которого S − s < ε;следовательно, по теореме 2 функция Римана ϕ(x) интегрируема на любом сегменте [a, b].5. Вычислить.Решение. Этот интеграл принадлежит к типу интегралов, рассмотренных в замечании ктеореме 4, посколькуf(x) ==1 при 0 ≤ x < π/2, π/2 < x ≤ π,не определена при x = π/2.Доопределив эту функцию в точке π/2, например, по непрерывности, т.
е. полагая f(π/2) =1, мы получим f(x) ≡ 1 ∀ x ∈ [0, π], и, следовательно, искомый интеграл равен π.Свойства определенного интегралаПримеры решения задач1. Доказать, что сумма, произведение и частное двух неинтегрируемых функций могутбыть интегрируемы.Решение. Пусть f(x) = 2 + D(x), g(x) = 2 + D(x), гдеD(x) =0,1,если x − иррациональное число,если x − рациональное число(т.
е. D(x) − функция Дирихле).Напомним, что функция D(x) неинтегрируема (см. пример 2 из § 1). Функция f(x) = 2 +D(x) также неинтегрируема. В самом деле, если допустить, что f(x) интегрируема, торазность двух интегрируемых функций f(x) − 2 = D(x) согласно свойству 3° должна бытьинтегрируемой, но это противоречит тому, что D(x) неинтегрируема.
Так как g(x) = f(x), тоg(x) неинтегрируема. Рассмотрим функциюh(x) = 1/g(x) =1/2, если x − иррациональное число,1/3, если x − рациональное число.Эта функция также неинтегрируема. Доказательство аналогично доказательствунеинтегрируемости функции Дирихле.Составим сумму, произведение и частное неинтегрируемых функций:F1(x) = f(x) + (−g(x)) ≡ 0, F2(x) = f(x)h(x) ≡ 1, F3(x) = f(x)/g(x) ≡ 1.Функции F1, F2, F3 как постоянные интегрируемы на любом сегменте [a, b]. Такимобразом, из интегрируемости суммы или произведения не следует интегрируемостьслагаемых или сомножителей.2. Доказать, что произведение интегрируемой функции f(x) на неинтегрируемуюфункцию g(x) может быть: а) интегрируемой функцией; б) неинтегрируемой функцией.Решение. а) Рассмотрим, например, интегрируемую функцию f(x) ≡ 0 и неинтегрируемуюфункцию Дирихле D(x) на [a, b]. Так как f(x)D(x) ≡ 0, то f(x)D(x) − интегрируемая функцияна [a, b].б) Пусть f(x) ≡ 2, g(x) = D(x) на [a, b].
Тогда f(x)g(x) = 2D(x) − неинтегрируемая на [a, b]функция.3. Найти среднее значение функции на заданном сегменте: a) f(x) = cos x на [0, 3π/2]; б)f(x) = sgn x на [−1, 2].Решение. Находим средние значения μ, пользуясь формулой (2):а) μ =cos x dx = − . Отметим, что непрерывная функция cos x принимает насегменте [0, 3π/2] значение μ = −2/(3π), а именно cos ξ = −2/(3π), в точке ξ =arccos(−2/(3π)) ∈ [0, 3π/2].б) μ = 1/3sgn x dx = 1/3.
В данном случае разрывная функция sgn x не принимает насегменте [−1, 3] значение μ = 1/3.Формула Ньютона-ЛейбницаПримеры решения задач1. Найти.Решение. Данный предел представляет собой неопределенность вида 0/0. Интеграл спеременным верхним пределомx2, т. е.cos (t2) dt есть первообразная непрерывной функции cos= cos (x2).
Поэтому, применяя правило Лопиталя, получим== 1.Отметим, что первообразная для cos (x2) не является элементарной функцией, т. е. cos(t2) dt не выражается через элементарные функции. Это, однако, не помешало вычислениюискомого предела.2. Найти первообразную кусочно непрерывной функцииf(x) =10при |x| < 1,при |x| ≥ 1;x ∈ R.Решение. Одной из первообразных является интеграл с переменным верхним пределом,причем в качестве нижнего предела интегрирования можно взять любое число, напримерx = −2.
Итак,F(x) =f(t) dt =0при x ≤ −1,x + 1 при −1 ≤ x ≤ 1,2при x ≥ 1(рис. 15).Рис. 153. Вычислить I =Решение. I с п о с о б . Подынтегральная функция f(x) не определена в точке x = π/2.Разобьем сегмент [0, π] на два: [0, π/2] и [π/2, π]. Полагая на первом сегменте f(π/2) = 1,получим интеграл от непрерывной функции f ≡ 1:I1 =1 dx = x= π/2.На втором сегменте положим f(π/2) = −1 и снова получим интеграл от непрерывнойфункции f ≡ −1:I2 =(−1) dx = −x= −π/2.Окончательно имеем I1 + I2 = 0.I I с п о с о б . Воспользуемся расширенным определением первообразной.
Функция F(x),удовлетворяющая этому определению, имеет видF(x) =xπ−xпри 0 ≤ x ≤ π/2,при π/2 ≤ x ≤ π.В самом деле, F(x) непрерывна на [0, π] и F'(x) = f(x) ∀ x ∈ [0, π], x ≠ π/2, т. е. F'(x) = f(x) вточках непрерывности f(x). (Напомним, что x = π/2 − точка разрыва f(x).)Согласно формуле Ньютона-Лейбница, справедливой для кусочно непрерывных функцийи расширенного определения первообразной, получаемI== π − x|x = 0 − x|x = 0 = 0.f(x) dx = F(x)Следующие два примера показывают, что формальное применение формулы НьютонаЛейбница (т. е.
использование этой формулы без учета условий ее применимости) можетпривести к неверному результату.4. Рассмотрим интегралфункции f(x) = 1/(2Лейбница, получим. Взяв в качестве первообразной подынтегральной) функцию F(x) =и формально применив формулу Ньютона-== 1.Однако этот результат неверен, так как функция f(x) = 1/(2следовательно, интеграл) не ограничена на [0, 1], и,не существует.5. Рассмотрим интегралI=dx.На первый взгляд может показаться, что функция arctg (1/x) является первообразнойподынтегральной функцииполучаем, и тогда по формуле Ньютона-Лейбница= π/4 − (−π/4) = π/2.I = arctgОднако этот результат неверен, поскольку функция arctg (1/x) не является первообразнойдляна сегменте [−1, 1].Рис. 16В самом деле, на рис.
16, а изображен график функции arctg (1/x). Наглядно видно, что этафункция имеет в точке x = 0 разрыв I рода, в то время как первообразная по самомуопределению должна быть непрерывной во всех точках.Чтобы вычислить интеграл I, заметим, что−при x ≠ 0,не определена при x = 0.=Доопределяя эту функцию в точке x = 0 по непрерывности, получим непрерывнуюфункцию, x ∈ [−1, 1].f(x) = −Первообразной для f(x) является F(x) = −arctg x, поэтому по формуле Ньютона-Лейбницаимеем= −π/4 + (−π/4) = −π/2.I = −arctg xОтметим, что первообразную для f(x) можно построить также с попомощью функции arctg(1/x), а именно:arctg (1/x)−π/2arctg (1/x) − πФ(x) =при −1 ≤ x < 0,при x = 0,при 0 < x ≤ 1,График Ф(x) изображен на рис. 16, б.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
