Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл - Примеры решения задач (1238748), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

По формулам (1) и (2) находимf22(x) dx = (1/2) · 2pMx = 1/2My =x dx = p/2,x3/2 dx = 2x f2(x) dx =/5.Вычислим площадь этой криволинейной трапеции:S=x1/2 dx = 2/3.Теперь по формулам (3) находим координаты центра тяжести:x0 == 3/5, y0 == 3/8.2. Применяя вторую теорему Гульдена (см. ниже упр. 44), найти координаты центратяжести плоской фигуры G, ограниченной одной аркой циклоиды x = a(t − sin t), y = а(1 −cos t), 0 ≤ t ≤ 2π, и осью Ox.Решение.

Объем тела, полученного от вращения фигуры вокруг оси Ox, равенV=πy2 dx = π a3(1 − cos t)3 dt = 5π2 a3.Площадь фигуры G равнаS=y dx =a2(1 − cos t)2 dt = 3π a2.Пусть y0 − ордината центра тяжести. Согласно второй теореме Гульдена S · 2πy0 = V,откуда y0 = 5а/6. Из симметрии фигуры G относительно прямой x = πа следует, чтоабсцисса центра тяжести есть x0 = πр.Несобственные интегралы I и II родаПримеры решения задач1. Вычислите несобственный интеграл, используя определение.1.1..1.2.сказать, что он равен +∞., интеграл расходится, но можно также1.3.интеграл расходится., предел не существует,2. Исследуйте сходимость интеграла, то при x → ∞ получаем:Решение.

Так какПри этом :с помощью признаков сравнения..,так какинтеграл сходится и расходится одновременно с интегралом:Ответ. Сходится при −a + 1 > 1 ⇔ a < 0, расходится при a ≥исходный.Признаки сходимости несобственныхинтеграловПримеры решения задач1. Исследуйте сходимость интеграла.Решение. Во-первых, отметим, что подынтегральная функция неотрицательна. Во-вторых,необходимо исследовать сходимость интеграла в точке x = 0 и на бесконечности, то естьданный интеграл одновременной является несобственным интегралом I и II рода.Пользуясь свойством аддитивности интеграла, разобьем его на сумму двух интегралов.Промежуточное значение 1 выбрано произвольно. Рассмотрим эти интегралы поотдельности.Интегралисследуем на сходимость в точке x = 0.В окрестности этой точки arctg x = x + 0(x), поэтому функцияТогдасходится одновременно сРассмотрим. Функцияодновременно с, то есть при n > 1., то есть при n − 1 < 1 ⇔ n < 2.при x → +∞, поэтомуОбъединяя оба результата, получаем, что2.

Исследуйте сходимость интеграла.сходитсясходится при 1 < n < 2..Решение. Снова необходимо исследовать сходимость интеграла в точке x = 0 и набесконечности, поэтому опять разобьем интеграл на сумму двух интегралов.Подынтегральная функция не является знакоопределенной на всей областиинтегрирования, но можно выбрать достаточно малый промежуток вблизи нуля, чтобыфункция сохраняла знак..Тогда первый интегралпо признаку сравнения сходится одновременно с, то есть при p > −3.Для исследования второго интеграла применим признак Дирихле. Сначала сделаемзамену переменной t = x2.

Тогда. При этом функция f(t) =sin t имеет ограниченную первообразную, так какфункция,амонотонно стремится к нулю при p < 1.Ответ: интеграл сходится при −3 < p < 1.Абсолютно и условно сходящиесянесобственные интегралыПримеры решения задач1.

Исследуйте интегрална абсолютную и условную сходимость.Решение. Исследуем сходимость. Так как, а интегралсходится, то исходный интеграл сходится абсолютно. Данный интеграл являетсясходящимся, но не является условно сходящимся.2. Исследуйте интегрална абсолютную и условную сходимость.Решение. Интегралсходится по признаку Дирихле-Абеля, так как функциямонотонно стремится к нулю при x → ∞, а функция sin x имеет ограниченнуюпервообразную на любом промежутке области интегрирования. Теперь исследуемсходимость.

Докажем, что этот интеграл не является сходящимся.Действительно,. Интеграл от первой функциирасходится по признаку сравнения, а интеграл от второй функциипо признаку Дирихле-Абеля (доказывается аналогично сходимостиинтеграл от разности этих функций расходится. Следовательно, интегралрасходится, а интегралсходится условно.сходится). Поэтому.

Характеристики

Список файлов учебной работы