Пчелинцева (1235564), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Задачей данного исследования является компьютерное моделирование распространения выбросов от лесополевого пожара в окрестности г. Хабаровска и р. Амур на основе численного расчета модели переноса примесей в атмосфере, основанной на приведенных выше уравнениях.
1 Общая постановка задачи переноса в атмосфере
1.1 Уравнение переноса примесей
Пусть 
– интенсивность аэрозольной субстанции, мигрирующей вместе с потоком воздуха в атмосфере.
Решение задачи определим в цилиндрической области 
с поверхностью 
, состоящей из боковой поверхности цилиндра 
,
нижнего основания 
(при 
) и верхнего основания 
(при 
).
Если 
(где 
– единичные векторы в направлении осей 
соответственно) – вектор скорости частиц воздуха как функция 
то перенос субстанции вдоль траектории частиц воздуха с сохранением ее интенсивности запишется простейшим образом [5]:
или, в развернутом виде,
. (1.1)
Поскольку для нижней части атмосферы с хорошей точностью выполняется закон сохранения массы, выраженный уравнением неразрывности
(1.2)
то в результате приходим к уравнению
В дальнейшем, будем предполагать, что 
. Тогда с учетом 
. (1.3)
Также считаем, что
при , 
(1.4)
В дальнейшем мы неоднократно будем использовать это важное соотношение.
К уравнению (1.3) добавим начальные данные
при 
(1.5)
и условия на границе области :
на при 
(1.6)
где 
и 
- заданные функции, 
– проекция вектора 
на внешнюю нормаль к поверхности .
Соотношение (1.6) задает решение на той части , где воздушные массы вместе с исследуемой субстанцией «втекают» в область . Точное решение задачи (1.3) возможно в том случае, когда известны значения функции 
и 
в пространстве и во все моменты времени. Если же информации о компонентах вектора скорости недостаточно, то в этом случае удобно пользоваться различными приближениями, о которых речь пойдет далее.
Уравнение (1.3) может быть обобщено. Так, если в процессе распространения часть субстанции входит в реакцию с внешней средой или распадается, то этот процесс можно интерпретировать как поглощение субстанции. В этом случае уравнение (1.3) перейдет в следующее:
(1.7)
где 
– величина, обратно пропорциональная времени.
Смысл этой величины будет особенно прозрачен, если в (1.7) положить 
. Тогда (1.7) переходит в уравнение 
, решением которого будет функция 
.
Отсюда видно, что 
есть обратная величина интервалу времени, за который интенсивность субстанции по сравнению с начальной интенсивностью уменьшиться в 
раз.
Если в области определения решения имеются источники рассматриваемой загрязняющей субстанции 
, описываемые функцией 
, то уравнение примет вид
(1.8)
Тогда в соответствии с нашими моделями нестационарная задача переноса субстанций примет вид
(1.9)
при 
Если 
не зависит от 
, то решение задачи имеет вид
(1.10)
и при 
переходит в решение соответствующей стационарной задачи 
, то есть 
.
1.2 Численный расчет уравнения переноса примесей
Рассмотрим уравнение переноса и диффузии следующего вида:
(1.11)
При оценке воздействий примесей на конкретный физико-географический район практический интерес представляет оценка загрязнения отдельных участков поверхности земли, отличающихся физическими свойствами (водоемы, лес, почва и др.). Одной из величин, которую необходимо определить, является количество примесей, выпадающих из атмосферы на данный участок подстилающей поверхности.
Известно, что распределение примесей, особенно в нижних слоях атмосферы, существенным образом зависит от стратификации, скорости ветра и других характеристик приземного слоя. Поэтому взаимодействие примесей с подстилающей поверхностью, так же как и влияние приземного слоя, будем учитывать в параметризованном виде.
Остальные граничные условия для концентраций пассивных примесей зададим в виде
(1.13)
, 
, 
; (1.14)
, . (1.15)
При отсутствии информации о фоновых значениях на боковых границах примем 
, где 
– внешняя к границе области нормаль.
При численном моделировании распространения примесей предъявляются дополнительные требования к конечно-разностным аппроксимациям и методам решения уравнения (1.11).
Поскольку концентрация по физическому смыслу является неотрицательной величиной, целесообразно использовать так называемые «монотонные» схемы, позволяющие получать неотрицательные решения.
Для построения вычислительного алгоритма решения уравнения (1.11) воспользуемся изложенным выше методом расщепления по физическим процессам и на каждом малом интервале времени 
рассмотрим схему, состоящую из трех этапов. При этом нас интересует распределение осредненных по ячейкам сеточной области значений концентрации примеси. Для моделирования процессов более мелких масштабов применяется специальная методика. Итак, рассмотрим схему расщепления:
перенос примесей по траекториям:
(1.16)
турбулентную диффузию примесей:
(1.17)
локальные преобразования примесей и явление источников:
(1.18)
Отметим, что этап (1.18) приобретает особое значение в случае нескольких взаимодействующих примесей.
Такое представление модели переноса примесей упрощает ее реализацию на ЭВМ. На первых двух этапах уравнения решаются для каждой субстанции независимо от других, а на третьем осуществляется взаимная адаптация и взаимодействие всех субстанций. Поэтому (1.18) можно рассматривать в каждой точке области интегрирования как систему обыкновенных дифференциальных уравнений, коэффициенты которых зависят от пространственных координат.
Рассмотрение на отдельном этапе всех процессов взаимодействия и трансформации примесей позволяет проводить эксперименты с различными вариантами оператора, описывающего взаимодействие примесей и функций без изменения структуры модели в целом.
Решение каждого предыдущего этапа в момент времени 
служит начальным условием для последующего этапа в момент времени 
.
Для решения уравнения (1.17) рассмотрим следующую схему:
(1.19)
– неотрицательные коэффициенты, принимающие значение 0 или 1;
– параметр, вводится таким образом, чтобы схема была монотонной.
Схема (1.20) устойчива, если выполняется условие монотонности при 
, определяются неравенством
(1.20)
и выбором функции в виде
(1.21)
для любой величины 
, заданной в узлах сеточной области выражением 
.
Отметим, что если сетка по пространственным переменным неравномерна, то схема (1.19) имеет первый порядок аппроксимации. Уравнение турбулентного обмена (1.17) на втором этапе решается методом расщепления по пространственным переменным с использованием неявных аппроксимаций. Система (1.18) на третьем этапе аппроксимируется по времени в каждой точке сеточной области с порядком точности не ниже второго.
Структура аппроксимации определяется способом задания оператора, описывающего взаимодействие и трансформацию субстанций. Поскольку число субстанций при решении практических задач невелико, реализация третьего этапа осуществляется с помощью модификаций стандартных алгоритмов для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Суть модификаций состоит в том, чтобы учесть различия в характерных временных масштабах взаимодействия различных субстанций.
2 Численная модель прогноза погоды Weather Research and Forecasting (WRF)
В разработке модели WRF принимает участие несколько учреждений: Национальный центр исследования атмосферы (NCAR) и Национальные центры прогнозов окружающей среды (NCEP).
2.1 Исходные уравнения модели
Модель WRF базируется на негидростатических уравнениях для сжимаемой жидкости [6, 7], записанных в декартовых координатах по горизонтали и с использованием орографической координаты
(2.1)
,
Здесь:
– гидростатическая составляющая давления;
– гидростатическое давление на нижней границе;
- гидростатическое давление на верхней границе.
При записи уравнений в потоковой форме вводятся следующие обозначения
(2.2)
где
– компоненты скорости;
- вертикальная скорость в орографических координатах,
- потенциальная температура.
Кроме этого далее используются обозначения:
- геопотенциал, 
– давление и 
- удельный объем.
В указанных выше обозначениях исходная система уравнений в полных термодинамических переменных имеет следующий вид
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
(2.7)
(2.8)
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
