Гудков (1197963)
Текст из файла
Министерство транспорта Российской ФедерацииФедеральное агентство железнодорожного транспортаФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ«ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» (ДВГУПС)Кафедра «Высшая математика»К защите допуститьзав. кафедрой, д. ф.-м. наук, профессорП.В.
Виноградова2017 г.ОБ АБСОЛЮТНОЙ ПОСТОЯННОЙ ВНЕРАВЕНСТВЕ БЕРРИ–ЭССЕЕНА ДЛЯТРЁХТОЧЕЧНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙВыпускная квалификационная работа бакалавраВКР 01.03.02.942Студент 942 гр.М.В. ГудковРуководительпрофессор, д-р. физ.-мат. н.В.И. ЧеботарёвНормоконтрольЕ.П. СуляндзигаХабаровск 2017 г.ABSTRACTThe present work is a research of the accuracy of the normal approximationfor distributions of sums of independent identically distributed random variablesin the particular case when random variables take three values.The results of the calculations carried out in this work are consistent withthe hypothesis of V.M.
Zolotarev, published by him in 1966, that the optimalvalue of the absolute constant in the Berry-Esseen inequality coincides with theasymptotic constant of Esseen.РЕФЕРАТВыпускная квалификационная работа содержит 42 страницы, 8 рисунков,7 таблиц, 16 источников, 1 приложение.НЕРАВЕНСТВО БЕРРИ-ЭССЕЕНА, КОНСТАНТА ЭССЕЕНА, ФУНКЦИЯ ЭССЕЕНА, ТРЁХТОЧЕЧНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, ДВУХТОЧЕЧНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, АБСОЛЮТНАЯ КОНСТАНТА, КВАЗИВЫПУКЛАЯ ФУНКЦИЯ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ СЕТКАОбъектом исследования является исследованием точности нормальногоприближения для распределений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин в частном случае, когда случайные величиныпринимают три значения.Цель работы - с помощью компьютера проверить гипотезу о том, чтодля трехточечного распределения оптимальным значением постоянной внеравенстве Берри – Эссеена является константа Эссеена.
В работе показано,что задача сводится к исследованию аналога функции Эссеена (далее - E )на наибольшее значение.Полученный результат показывает, что разность между константойЭссеена и наибольшим значением сеточной функции E при увеличенииразмеров сетки уменьшается, а сами значения не превышают значениеконстанты Эссеена.СОДЕРЖАНИЕВведение . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61 Функция Эссеена и её аналог для трехточечного распределения . . . . . . 132 Постановка вычислительной задачи . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 О методе решения поставленной задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Результаты решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 234.1 Результат при n = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2 Результат при n = 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 284.3 Результат при n = 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.4 Результат при n = 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Заключение .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Список использованных источников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Приложение . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345ВВЕДЕНИЕИстория задачи.Пусть X1 , X2 , . . . , Xn – независимые одинаково распределенные случайные величины, EX1 = 0, DX1 = σ 2 , E|X1 |3 = β3 .
Обозначимn 1 X√Fn (x) = PXj < x ,σ n j=11Φ(x) = √2πZxt2e− 2 dt−∞Согласно центральной предельной теореме (цпт) последовательностьFn (x) при n → ∞ сходится к Φ(x) равномерно по x ∈ R, т.е.∆n := sup |Fn (x) − Φ(x)| → 0.n→∞x∈RВопросом скорости сходимости в цпт с начала 20-го века занималисьтакие известные учёные как А.М. Ляпунов, Г. Крамер, А.
Берри, К.-Г. Эссеен, В.М. Золотарев и др. В 1941-42 годах Берри [1] и Эссеен [2] независимодруг от друга доказали неравенство∆n ≤C0 β3√ ,σ3 n(1)где C0 – некоторая абсолютная постоянная. Известно, что неравенствоБерри – Эссеена (1) является неулучшаемым по n. Возник вопрос об оптимальной постоянной C0 , другими словами, о наименьшем возможномзначении C0 . Обозначим его символом C0∗ .6До 1956 г. было получено несколько верхних оценок для C0 , все меньшихи меньших.
Поворотным событием в этих исследованиях оказался результатЭссеена, полученный им в 1956 г. в [3]. Из него следует, что√C0 ≥ CE =10 + 3√= 0.409732 . . . .6 2πВскоре появилась гипотеза (см., например, [4]), чтоC0∗ = CE .(2)Исследователи продолжали получать все более точные верхние оценкидля C0 . Так в 1966 г. С. Цаль получил результат, из которого следуетоценка C0 < 1.03 [5] (комментарии можно найти в [13]). В этом же годуВ.М.
Золотарев в [4] показал, что C0 < 1.301. Далее были получены ещенесколько результатов в этом направлении. Наконец, в 2013 г. И.Г. Шевцова[6] доказала оценку C0 ≤ 0.469, которая является наилучшей к настоящемувремени.В недавнем прошлом и сейчас верхними оценками для C0 , а также близкими вопросами, занимались или занимаются математики из несколькихстран, например, из Швеции, Литвы, России, Германии и др. Географияпримерно такова: в Швеции – это Стокгольм (Х. Правитц), в Литве – Вильнюс (В.Ю.
Бенткус, К.П. Кирша), в России – Москва (В.М. Золотарев,Г.П. Чистяков, В.Ю. Королев, И.Г. Шевцова, И.С. Тюрин и др.), Новосибирск (С.В. Нагаев), Хабаровск (В.И. Чеботарев), в Германии – г. Любек(Л. Маттнер), г. Карлсруэ (Х. Хипп), г. Трир (Й. Шульц).Заметим, что в работе Эссеена [3] важную роль играет специальноедвухточечное распределение. Это послужило толчком для исследованийзадачи о константе C0 в частном случае двухточечных распределений.В случае, когда неравенство Берри – Эссеена рассматривается не длявсех случайных величин с конечным абсолютным третьим моментом, а7только в классе дискретных случайных величин, принимающих не более k∗значений, мы вместо C0 и C0∗ в (1) будем писать C0k и C0kсоответственно.В 2007 г. в работе Х.
Хиппа и Л. Маттнера [7] было показано, причемчисто аналитически, что для симметрических двухточечных распределенийC02 ≤√1 .2πВ 2016 г. Й. Шульц в своей докторской диссертации [8] (phd)также аналитически доказал, что если условие симметричности нарушается,∗то имеет место равенство C02= CE .Необходимо отметить, что ещё в 2011 г. С.В. Нагаев и В.И. Чеботарев в[9, теорема 1.1] получили в явном виде новую оценку точности нормальногоприближения для биномиального распределения. Этот результат позволяетполучать мажоранту для C02 , сколь угодно близкую к CE , при условии, чтопараметр n принимает достаточно большие значения.
В [9], в частности,было доказано, что C02 ≤ 0.4215 при условии, что n ≥ 200. В дополнение кэтому аналитическому результату были проведены численные расчеты (наперсональном компьютере), в результате которых было выяснено, что при1 ≤ n ≤ 200 справедлива оценка C02 < CE [10]. Это значит, что C02 ≤ 0.4215(при всех n ≥ 1), а разность 0.4215 − CE меньше 0.012, т.е. относительнаяпогрешность, которая возникает при замене гипотетической постоянной CEна 0.4215, меньше, чем 3%.Этот вывод может быть усилен.
Если предполагать, то n ≥ 5 · 105 , то изуказанного теоретического результата в [9] можно вывести оценкуC02 ≤ 0.4099539,правая часть которой уже почти совпадает с CE : разность 0.4099539 − CEменьше 0.00023, что составляет меньше 0.06% от CE .
А.Я. Золотухин,проведя численные расчеты, обнаружил, что C02 < CE при всех n, удовлетворяющих ограничению 1 ≤ n ≤ 5 · 105 . Этот численный результатпотребовал применения гораздо более мощной вычислительной техники, чемв [10]: расчеты проводились на одном из суперкомпьютеров МГУ. Результат8еще не опубликован, но уже аннонсирован в [11] и [12].О переходе к трёхточечным распределениям.∗Представим аргументы в пользу изучения вопроса о C03 и C03. Другимисловами, мы займемся обоснованием рассмотрения задачи об оптимальномзначении абсолютной постоянной в неравенстве Берри – Эссеена в случае,когда класс всех распределений с конечным абсолютным третьим моментомсужен до класса трехточечных распределений.Определение. Функция g : G → R, где G – выпуклое множество, называется квазивыпуклой, если для любых x, y ∈ G и α ∈ (0, 1) выполняетсянеравенствоg(αx + (1 − α)y) ≤ max{g(x), g(y)}.(3)Пример. Очевидно, любая выпуклая функция является квазивыпуклой.В качестве примера квазивыпуклой функции, которая не является выпуклой, можно рассмотреть функцию ln x с областью определения (0, +∞)представленной на рисунке 1.
Другим примером является степенная функция с положительным показателем, меньшим 1, скажем, x1/2 . Заметим, чтоуказанные функции являются вогнутыми, т.е. для любых x, y ∈ (0, +∞) иα ∈ (0, 1) выполнено неравенство g(αx + (1 − α)y) ≥ αg(x) + (1 − α)g(y), гдеg(x) есть ln x или xα , 0 < α < 1. С другой стороны, справедливо неравенство(3).Обозначим D – множество всех ступенчатых функций распределения,имеющих конечное число разрывов. Пусть h1 (x), .
. . , hm (x) – некоторые mвещественнозначных функций на R. Определим подмножество множества DKh1 ,...,hmZn= F ∈D:∞ohi (x) dF (x) = 0, i = 1, . . . , m .−∞Заметим, что здесьR∞−∞ hi (x) dF (x)– интеграл Римана – Стильтьеса. Если95ln(x)4.543.532.521.510.500102030405060708090100xРисунок 1 – График вогнутой функции ln(x), являющейся квазивыпуклойF – ступенчатая функция распределения с точками разрыва x1 , . . .
, xk искачками pj = lim F (x) − lim F (x), j = 1, . . . , k, тоx→xj +0Zx→xj −0∞hi (x) dF (x) =−∞kXhi (xj )pj ,i = 1, . . . , m.j=1Нетрудно убедиться, что множество Kh1 ,...,hm выпукло, т.е. еслиF1 , F2 ∈ Kh1 ,...,hm ,тоαF1 + (1 − α)F2 ∈ Kh1 ,...,hmдля любого α ∈ (0.1). Через Khs1 ,...,hm обозначим множество тех функцийраспределения F ∈ Kh1 ,...,hm , которые имеют не более s точек разрыва.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
