Гудков (1197963), страница 3
Текст из файла (страница 3)
,+ nh,,A(ci , ϕj ) A(ci , ϕj )A(ci , ϕj )B(ci , ϕj )1/B−1/A.n(35)Следующим шагом, при фиксированных значениях c и ϕ,исследуем на максимум функцию E из (31) в каждом узле tn1E (tn ) = √ · 1 + G(tn ) ,3 2π(36)где функция G(t) из (30). Между узлами сетки исследование не проводилось.Программа для вычисления наибольшего значения функции представленав приложении.224 Результаты решенияС помощью компьютера исследуем на наибольшее значение функциюE из (36) для четырёх значений параметра n: n = 10, 50, 100, 500.
Подробное описание результатов даётся только в случае n = 10, а в остальныхслучаях представлены только конечные результаты вычислений.4.1 Результат при n = 10В этом разделе мы исследуем на максимум функцию E в узлах сеткипри n = 10. Зададим сетку из (32)Ωhc ,hϕ = {(ci , ϕj ) : 0 < c < 1, 0 6 ϕ < π/4},где hc = 1/10, hϕ = π/40. Используя компьютер, получим сетку, котораяпредставлена на рисунке 5.Рисунок 5 – Сетка Ωhc ,hϕ при hc = 1/10, hϕ = π/40, n = 1023Сетка размером 10 × 10 состоит из узлов, в которых каждый элементci сопоставлен всем элементам ϕj .
Для каждого узла сетки Ωhc ,hϕ найдём значения функций A(ci , ϕj ) и B(ci , ϕj ) из (33) и (34) соответственно.Их значения представлены в таблицах 1 и 2.Таблица 1 – Значения функции A(ci , ϕj ) при n = 10c0,0910,1820,2730,3640,4550,5450,6360,7270,8180,9090,07710,9225,3923,5172,5541,9541,5321,2090,9410,7010,4570,15310,8265,3453,4862,5321,9371,5191,1980,9330,6940,4530,23010,6655,2663,4352,4941,9081,4961,1800,9190,6840,4460,30610,4445,1563,3632,4421,8681,4651,1560,9000,6700,4370,38310,1605,0163,2722,3761,8181,4251,1240,8750,6520,4250,4609,8174,8473,1612,2961,7561,3771,0860,8460,6300,4110,5369,4164,6493,0322,2021,6841,3211,0420,8110,6040,3940,6138,9604,4242,8852,0951,6031,2570,9910,7720,5750,3750,6908,4514,1722,7221,9761,5121,1850,9350,7280,5420,3540,7667,8933,8972,5421,8461,4121,1070,8730,6800,5060,330ϕТаблица 2 – Значения функции B(ci , ϕj ) при n = 10c0,0910,1820,2730,3640,4550,5450,6360,7270,8180,9090,0770,8390,4140,2700,1960,1500,1180,0930,0720,0540,0350,1531,6720,8260,5380,3910,2990,2350,1850,1440,1070,0700,2302,4961,2320,8040,5840,4460,3500,2760,2150,1600,1040,3063,3051,6321,0640,7730,5910,4640,3660,2850,2120,1380,3834,0952,0221,3190,9580,7330,5740,4530,3530,2630,1710,4604,8612,4001,5651,1370,8700,6820,5380,4190,3120,2030,5365,5982,7641,8031,3091,0010,7850,6190,4820,3590,2340,6136,3023,1122,0301,4741,1270,8840,6970,5430,4040,2640,6906,9703,4412,2441,6301,2470,9780,7710,6000,4470,2920,7667,5963,7502,4461,7761,3591,0660,8410,6540,4870,318ϕ24Затем для каждой пары значений A(ci , ϕj ) и B(ci , ϕj ) вычислим значения сетки tn из (35), представленные в таблице 3.Следующим шагом является вычисление E из (36) по каждому узлуtn при фиксированных значений ci и ϕj и оценим как разность междуполученным результатом и константой Эссеена ρ(CE , E (tn )).
В соответствиис рисунком 6 и полученным результатом при n = 10, представленным втаблице 4, имеем:сеточный максимум для E = 0.4097225.. представлен на рисунке 7 и 8,при параметрахc = 0.7272727..,ϕ = 0.6129936..,t = 1.3734812..,hc = 0.090909..,hϕ = 0.0766242..,ht = 0.3137305..;ρ(CE , E (tn )) = 0.0000097..;Таблица 3 – Узлы сетки tn при n = 10i0h2h3h4h5h6h7h8h9h10h10,090,200,310,420,530,640,750,860,971,081,1920,190,410,630,851,081,301,521,751,972,192,4230,280,630,971,311,651,992,342,683,023,363,7040,390,861,331,802,272,753,223,694,164,635,1050,511,131,742,362,973,594,204,825,446,056,6760,651,442,223,013,794,585,366,156,937,728,50....................................881,3731,4031,4321,4611,4901,5191,5491,5781,6071,6361,665....................................991,971,981,992,002,012,012,022,032,042,042,051003,033,043,053,063,083,093,103,113,123,143,1525Рисунок 6 – Окно вывода программы при n = 10Таблица 4 – Значения E при n = 10itimax Eitimax Eitimax E10,4505780,389582101,0743870,347176191,8287690,29175720,5164660,405591111,1496540,379755201,9269490,33551830,5829810,409631121,2266010,400394212,0291920,37014640,6502130,409279131,3053950,409290222,1359590,39432750,7182560,405299141,3862200,409723232,2477810,40740460,7872110,380693151,4692810,402909242,3652740,40941770,8571840,191748161,5548000,376559252,4891560,39960480,9282880,250246171,6430290,186870260,8468530,37166491,0006460,303312181,7342470,24112327——26E (t)tРисунок 7 – График сеточной функции E (tn ) при n = 10E (t)tРисунок 8 – График, показывающий сеточный максимум функции E (tn ) при n = 10274.2 Результат при n = 50Результат работы программы при n = 50 (см.
таб. 5):сеточный максимум E = 0.40973206.., приc = 0.745098..,ϕ = 0.5939329..,t = 1.3862204..,hc = 0.01960784..,hϕ = 0.0156298..,ht = 0.01960784..;ρ(CE , E (tn )) = 0.00000012..;количество итераций: 514179;время выполнения: 0.0481 с.Таблица 5 – Значения E при n = 50itimax Eitimax Eitimax E10,4505780,304842101,0743870,403192191,8287690,40328620,5164660,323637111,1496540,406231201,9269490,40085330,5829810,340294121,2266010,408247212,0291920,39816240,6502130,354814131,3053950,409374222,1359590,39525050,7182560,367263141,3862200,409732232,2477810,39214960,7872110,377754151,4692810,409427242,3652740,38888670,8571840,386431161,5548000,408554252,4891560,38548180,9282880,393453171,6430290,407193260,8468530,38526691,0006460,398985181,7342470,405417270,8918910,390070284.3 Результат при n = 100Результат работы программы при n = 100 (см.
таб. 6):сеточный максимум E = 0.40973218.., приc = 0.7524752..,ϕ = 0.5954141..,t = 1.3873783..,hc = 0.009901..,hϕ = 0.0078344..,ht = 0.0341705..;ρ(CE , E (tn )) = 1.1 · 10−10 ;количество итераций: 5049739;время выполнения: 0.4183 с.Таблица 6 – Значения E при n = 100itimax Eitimax Eitimax E10,4505780,409714101,0743870,408398191,8287690,40741320,5164660,409584111,1496540,408974201,9269490,40634430,5829810,409329121,2266010,409391212,0291920,40505140,6502130,408951131,3053950,409646222,1359590,40352050,7182560,408450141,3862200,409732232,2477810,40173860,7872110,407829151,4692810,409644242,3652740,39968770,8571840,407087161,5548000,409376252,4891560,39734980,9282880,406789171,6430290,408920260,8468530,39470191,0006460,407668181,7342470,408269270,8918910,391715294.4 Результат при n = 500Результат работы программы при n = 500 (см.
таб. 7):сеточный максимум E = 0.40973206.., приc = 0.745098..,ϕ = 0.5939329..,t = 1.3874246..,hc = 0.001996..,hϕ = 0.00157..,ht = 0.0068143..;ρ(CE , E (tn )) = 2.3 · 10−11 ;количество итераций: 907971328;время выполнения: 74.4357 с.Таблица 7 – Значения E при n = 500itimax Eitimax Eitimax E10,4505780,304842101,0743870,403192191,8287690,40328620,5164660,323637111,1496540,406231201,9269490,40085330,5829810,340294121,2266010,408247212,0291920,39816240,6502130,354814131,3053950,409374222,1359590,39525050,7182560,367263141,3862200,409732232,2477810,39214960,7872110,377754151,4692810,409427242,3652740,38888670,8571840,386431161,5548000,408554252,4891560,38548180,9282880,393453171,6430290,407193260,8468530,38526691,0006460,398985181,7342470,405417270,8918910,39007030ЗАКЛЮЧЕНИЕИспользуя компьютер мы можем найти максимальное значение функцииE (tn ) в конечном числе узлов заранее выбранной сетки с шагом hc и hϕ .Принимая во внимание, что результат будет зависеть от сетки, выбранногоразмера шага, а также точности вычислений.Вычисления показывают, что разница между константой CE и сеточныммаксимумом функции E при увеличении n уменьшается и в случае когдаn = 500 составляет ρ = 2.3 · 10−11 , а сами значения max E не превышаютзначение константы CE .
Полученный численный результат согласуется споставленной гипотезой E ≤ CE .31СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ1 Berry A. C. The accuracy of the Gaussian approximation to the sum ofindependent variates. – Trans. Amer. Math. Soc., 1941. V. 49. Р. 122–126.2 Esseen C.-G.
On the Liapounnoff limit error in the theory of probability. –Ark. Mat. Astron. Fys., 1942. V. 28A, Р. 1–19.3 Esseen C.-G. A moment inequality with an application to the central limittheorem. – Scand. Aktuarietidskr. J., 1956. V. 3–4, Р. 160–170.4 Золотарев В.М. Абсолютная оценка остаточного члена в центральнойпредельной теореме. – Теоpия веpоятн. и ее пpимен., 1966. Т.
11. В. 1. С. 108–119.5 Zahl S. Bounds for the central limit theorem error. – SIAM J. appl. Math.,1966. V. 14. No. 6. P. 1225–1245.6 Шевцова И.Г. Оптимизация структуры моментных оценок точностинормальной аппроксимации для распределений сумм независимых случайных величин.
– Диссертация на соискание учёной степени доктора физикоматематических наук. – МГУ, Москва, 2013.7 Hipp C., Mattner L. On the normal approximation to symmetric binomialdistribution. – Теория вероятн. и ее примен., 2007. Т. 52. В. 3. С. 610-617.8 Jona Schulz. The optimal Berry – Esseen constant in the binomial case. –Dissertation.
Universität Trier, 2016.9 Нагаев С.В., Чеботарев В.И. Об оценке близости биномиального распределения к нормальному. – Теория вероятн. и ее примен., 2011. Т. 56. В. 2.С. 248-278.3210 Нагаев С.В., Михайлов К.В., Чеботарев В.И. Об оценке близости биномиального распределения к нормальному для ограниченного числа наблюдений. — Препринт 2010/160 . Хабаровск: Вычислительный центр ДВО РАН,2010.11 Нагаев С.В., Чеботарев В.И., Золотухин А. Я. Решение одной вычислительной задачи, связанной с гауссовым приближением для биномиальногораспределения. Информационные технологии и высокопроизводительныевычисления : Материалы III всероссийской науч.-практ. конференции, Хабаровск, 30 июня -2 июля 2015 г. Хабаровск : Изд-во Тихоокеанского университета, 2015.
С. 114-117.12 S. V. Nagaev, V. I. Chebotarev, A. Ya. Zolotukhin. On a non-uniform boundof the remainder term in Central Limit Theorem for Bernoulli random variables// Journal of Mathematical Sciences, 2016. V. 214. No. 1. P. 83-100.13 Королев В.Ю., Шевцова И.Г. О верхней оценке абсолютной постояннойв неравенстве Берри – Эссеена. – Теоpия веpоятн.
и ее пpимен., 2009. Т. 53. В.4. С. 671-695.14 Shevtsova I. Moment-type estimates with asymptotically optimal structurefor the accuracy of the normal approximation. – Proceedings of the conference ofstochastic models and their applications. Faculty of informatics, University ofDebrecen, August 22–24, 2011. Debrecen, Hungary. – Annales Mathematicae etInformaticae, 2012. P. 241–307.15 Тюрин И.С. О скорости сходимости в теореме Ляпунова. Теория вероятн.и ее примен., 2010.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
