МУ Механические колебания Гаврикова, Ворона (1188448), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Берем осциллятор с известными параметрами (ω0 ,δ) и, какследствие, известной АЧХ.2. Измеряем амплитуду колебаний B, установившуюся в системепод действием вынуждающей силы.sics3. Вычисляем спектральную составляющую C вынуждающей силы:pC = B (ω0 2 − ω 2 )2 + 4δ 2 ω 2 ,или, учитывая, что Ω = ω0 , C = 2Bδω0 .4. Изменяем собственную частоту осциллятора (например, изменив массу грузика на пружине).phy5. Повторяем пункты 1–4 алгоритма, находя спектральную составляющую вынуждающей силы на следующей частоте и т.д.4. Параметрические колебанияЯвление параметрического резонанса рассмотрим на примере математического маятника, длина которого может изменяться(т.е. на примере качелей).

Пусть математический маятник массы mи длиной l совершает колебания с амплитудой α0 . И пусть в этойколебательной системе отсутствует трение. Воспользовавшись тем,что мы умеем изменять длину маятника, будем выполнять следующие действия: когда маятник проходит положение равновесия и имеет максимальную скорость мгновенно (т.е. за время много меньшеепериода колебаний), уменьшаем его длину на небольшую величину ∆l (∆l ≪ l), затем, когда маятник отклонится на максимальный30rupt.угол, увеличим длину маятника до прежнего значения l, когда маятник опять проходит положение равновесия, вновь уменьшим егодлину на ∆l и т.д.

(рис. 25а). Оказывается, при выполнении такихдействий будет происходить нарастание амплитуды колебаний. Этоявление называется параметрическим резонансом.(в)(б)3. mi(а)α0l24~v 1∆l~v 11~vlE1(г)E2sics(д)α2α2(е)lphy∆lE2∆l0 потенциальнойэнергии~v 2E3E3Рис. 25. Параметрические колебанияТеперь проанализируем это явление несколько подробнее (рис.

25б–е). Убедимся, что при описанной последовательностидействий действительно происходит нарастание амплитуды колебаний. Для этого проследим за изменением скорости маятникав момент прохождения положения равновесия. Запишем энергиюсистемы в момент, когда маятник проходит через положениеравновесия и имеет скорость v1 (потенциальную энергию будем31ruотсчитывать от положения равновесия маятника):mv1 2,2pt.E1 =тогда сразу после уменьшения длины маятника энергия системыбудетE2 = E1 + mg∆l..

miТакая же энергия будет у колебательной системы в тот момент,когда маятник отклонится на максимальный угол α2 :E2 = mg∆l + mg(l − ∆l)(1 − cos α2 ),следовательно,E1 = mg(l − ∆l)(1 − cos α2 ).(36)sicsЗапишем энергию системы в положении максимального отклонениясразу после увеличения длины маятника до прежнего значения l:E3 = E2 − mg∆l cos α2 = E1 + mg∆l(1 − cos α2 ),phyучитывая (36), получаемE3 = E1 +∆lE1,l − ∆lпринимая во внимание, что ∆l ≪ l, находим∆lE3 = E1 1 +.lУчтем, чтоmv2 2,2где v2 — новая скорость маятника при прохождении через положение равновесия.

Таким образом,∆l22v2 = v1 1 +.lE3 =32rupt.Извлекая корень, раскладывая в ряд Тейлора по степеням ∆l/lи пренебрегая членами высоких порядков в силу того, что ∆l ≪ l,окончательно получаем∆lv2 = v1 1 +,2lsics. miчто означает увеличение максимальной скорости маятника или, другими словами, увеличение амплитуды его колебаний. Рассмотрениетакой раскачки за счет изменения параметров колебательной системы (параметрический резонанс) естественно приводит к вопросам:За счет чего возрастает энергия колебательной системы? Какая си”ла совершает работу и увеличивает энергию системы?“ Ответ на этивопросы звучит следующим образом: Увеличение энергии осциля”тора происходит за счет работы силы натяжения нити маятника“.(а)y(б)y′~Tphy~1T~v 1αm~gm~gРис.

26. Параметрические колебанияДействительно, запишем второй закон Ньютона для грузика в момент, когда маятник проходит через положение равновесия. Спроецируем это уравнение на ось y (см. рис. 26а):T1 − mg = may , но ay =v1 2.lСледовательно, для того чтобы уменьшить длину маятника при прохождении через положение равновесия, необходимо тянуть нить ма33ruятника с силойmv1 2,lpt.T2 > T1 = mg +а работа, идущая на увеличение энергии колебательной системы,будетA+ = T2 ∆l..

miЗапишем второй закон Ньютона для грузика в момент максимального отклонения маятника от положения равновесия. Спроецируемэто уравнение на ось y ′ (см. рис. 26б):0 = T − mg cos α.sicsСледовательно, для того чтобы увеличить длину маятника до прежнего значения l, необходимо действовать на нить маятника с силой T3 < T , и работа, идущая на уменьшение энергии системы,будетA− = T3 ∆l.phyПолная работа:A = A+ − A− = (T2 − T3 )∆l > (T1 − T )∆l =mv1 2= mg +− mg cos α ∆l > 0,l(37)т.е.

суммарная работа, совершенная над системой, положительная,и энергия системы действительно возросла. Обратим внимание, чтов случае, когда в колебательной системе есть трение, условием возникновения параметрического резонанса будет превышение записанной в выражении (37) работы A над потерями энергии за счеттрения.Данная работа была частично поддержана Грантом Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских ученых — кандидатов наук МК-2471.2010.8.34ruЛитератураpt.1. Сивухин Д.В.

Общий курс физики: учеб. пособие для вузов.В 5 т. Т. 1 Механика. – 5-е изд., стереот. – М.: ФИЗМАТЛИТ,2006. – 560 c. – ISBN 5-9221-0715-1.physics. mi2. Горелик Г.С. Колебания и волны. Введение в акустику, радиофизику и оптику / под ред. С.М. Рытова. – 3-е изд. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. – 656 c. – ISBN 978-5-9221-0776-1.35ruСодержаниеpt.1. Свободные незатухающие гармонические колебания .

. . . . . . . .1.1. Общий вид уравнения и его решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Фазовые диаграммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3. Векторные диаграммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4. Превращение энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. mi2. Затухающие колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1. Общий вид уравнения и его решение . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2. Логарифмический декремент затухания и добротность . . . . . .3381011131315physics3. Гармонический осциллятор с затуханием под действиемвнешней вынуждающей силы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.

Действие постоянной внешней силы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2. Действие периодических толчков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3. Действие синусоидальной силы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . 234. Параметрические колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3036ru. mipt.Учебное изданиеГавриков Андрей ВладимировичВорона Назар АлександровичsicsМеханические колебанияphyУчебно-методическое пособиеРедактор Л.В. Себова. Корректор В.А. ДружининаПодписано в печать 15.12.2011. Формат 60 × 841 /16 . Бумага офсетная.Печать офсетная. Усл.

печ. л. 2,25. Уч.-изд. л. 2,0. Тираж 500 экз.Заказ № 104.Федеральное государственное бюджетное образовательноеучреждение высшего профессионального образования «Московскийфизико-технический институт (государственный университет)»Отдел оперативной полиграфии «Физтех-полиграф»141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9e-mail: rio@mail.mipt.ru.

Характеристики

Список файлов книги