МУ Механические колебания Гаврикова, Ворона (1188448), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Действие периодических толчковТеперь рассмотрим гармонический осциллятор под действиемпериодических толчков: например, грузик на пружинке, лежащийна горизонтальном столе (трение отсутствет) под действием внешней периодической силы F (t), график зависимости которой от времени представлен на рис. 16. Продолжительность толчков τ ≪ T0 ,где T0 — период собственных колебаний осциллятора. При этомуравнение, описывающее движение осциллятора, будет иметь видmẍ = −kx + F (t).20ruПредставим это уравнение в видеkF (t)x=,mmpt.ẍ +или.
miẍ + 2δ ẋ + ω0 2 x =F (t).m(26)ẋ/ω0~ (t)FTsicsF (t)A2A3A1 B B2B31OAn+1 xBnτtРис. 17. Гармонический осциллятор под действием периодических толчков. Период воздействия больше собственного периода. ФазоваяплоскостьphyРис. 16. Периодическая сила, состоящая из кратковременных толчковБудем считать, что в начальный момент времени колебательная система находится в равновесии, т.е. x = 0 и v = 0. Проследим за движением изображающей точки на фазовой плоскости (рис. 17).
Первый толчок переводит изображающую точку из начала координат Oв т. A1 , причемt1R+τF (t)dtt1OA1 =.mω021ruxsicsT0. mipt.Дальше вплоть до момента действия второго толчка изображающаяточка будет двигаться так же, как в случае свободно колеблющегосяосциллятора, т.е. по окружности с центром в т. O и радиусом OA1 .Для определенности будем считать, что период следования толчков T немного больше периода собственных колебаний T0 . В этомслучае до воздействия второго толчка изображающая точка пройдет немного более одного круга (до т. B1 ), а под действием второготолчка перескочит в т. A2 (B1 A2 = OA1 ).tTphyРис. 18.
Осциллограмма к рис. 17. Кружочками отмечены моменты толчковПродолжив такое рассмотрение, увидим, что через некотороевремя толчки начнут уменьшать амплитуду колебаний. Это произойдет в тот момент, когда направление импульса, передаваемогов результате толчка грузику, станет противоположно скорости грузика, т.е. в тот момент, когда точка Bn на фазовой плоскости перейдет ниже оси x (будет находиться ниже оси x). После того как амплитуда уменьшится почти до нуля, наступит момент, когда толчкиснова начнут ее увеличивать и т.д.
Зависимость x(t) представленана рис. 18. Этот график состоит из кусков синусоиды одинаковогопериода, но различной амплитуды. На нем видны изломы, соответствующие скачкообразным изменениям скорости. К аналогичнымзаключениям можно прийти и при рассмотрении случая T немного22ru. mipt.меньше T0 (рис. 19).В случае T = T0 будет происходить неограниченное нарастаниеамплитуды колебаний (рис. 20).
Такое нарастание амплитуды колебаний под действием периодического воздействия — одна из черт явления, играющего центральную роль в учении о колебаниях и называемого резонансом. Легко видеть, что резонанс наступит не толькопри T = T0 , но и при T = NT0 , где N — целое число. Более подробнос рассмотрением гармонического осциллятора под действием периодических толчков можно ознакомиться в книге [2].ẋ/ω0A3ẋ/ω0A3A2A1sicsB3 A2B2B1 A1OxOРис. 19. То же, что и рис. 17,xphyРис.
20. Монотонное нарастание амплитуды при T = T0но период воздействия меньшесобственного периода3.3. Действие синусоидальной силыТеперь перейдем к рассмотрению осциллятора под действиемсинусоидальной силы и, прежде всего, выясним, почему так важно разобраться именно с синусоидальным воздействием. Для этогообратим внимание на то, что гармонический осциллятор являетсялинейной системой, и, следовательно, при описании его движенияможно пользоваться принципом суперпозиции.
Поясним это утверждение: пусть на гармонический осциллятор действует некотораяудельная сила f (t) (т.е. аналогично уравнению (26) f (t) = F (t)/m),23ruпри этом осциллятор будет описываться уравнениемẍ + 2δ ẋ + ω0 2 x = f (t),pt.(27)sics. miPи пусть f (t) =fi (t), причем при воздействии на осциллятор удельной силы fi (t) решением соответствующего уравнения ẍ + 2δ ẋ + ω0 2 x = fi (t) является x = xi (t). Тогда, в силулинейности колебательнойсистемы, решением уравнения (27) буPдет x = x(t) = xi (t).Вторым аспектом, на который мы обратим внимание, является теорема Фурье, доказываемая в курсе математического анализа.
Она утверждает, что периодическая функция f (t) можетбыть представлена во всем интервале (−∞; +∞) в виде суперпозиции бесконечного множества синусоид, имеющих частоты, кратные ω = 2π/T , где T — период функции f (t):f (t) =∞X(An cos(nωt) + Bn sin(nωt)),n=01A0 =Tt+TZphy2An =Tt+TZf (t)dt, B0 = 0,T2f (t) cos(nωt)dt, Bn =TTt+TZf (t) sin(nωt)dt, n = 1, 2, . . .TИли немного другая запись того же самого выражения:f (t) =∞Xn=022(28)Cn cos(nωt − αn )),2Cn = An + Bn , αn = arctgBnAn.Такое представление называется спектральным разложением, а Cnназываются спектральными коэффициентами, или спектром функции f (t).24ruВ случае если f (t) непериодическая, то−∞1A(ω) =2π+∞ZA(ω) cos(ωt)dt +B(ω) sin(ωt)dt,−∞1f (t) cos(ωt)dt, B(ω) =2π.
mi−∞+∞Zpt.f (t) =+∞Z+∞Zf (t) sin(ωt)dt.−∞sicsТаким образом, становится понятно, что силу f (t) в выражении (27)можно представить в виде суммы синусоидальных воздействий.При этом решение уравнения (27) будет представлять собой сумму решений, найденных для каждого из этих синусоидальных воздействий. Поэтому важно разобраться именно с синусоидальнымвоздействием на осциллятор.Итак, рассмотрим колебательную систему, например, аналогичную изображенной на рис.
16, причем F (t) = F0 cos(Ωt). Тогда уравнение движения может быть представлено в видеẍ + 2δ ẋ + ω0 2 x = f0 cos Ωt,(29)phyгде δ = β/(2m), ω0 2 = k/m, f0 = F0 /m (m — масса грузика, k —жесткость пружинки, β — коэффициент сопротивления среды).В курсе дифференциальных уравнений доказывается, что решением уравнения (29) является функцияx(t) = Ae−δt cos(ωt + ϕ) + B cos(Ωt − ψ),(30)pгде ω = (ω0 2 − δ 2 ), величины A и ϕ задаются начальными условиями, а величины B и ψ зависят не только от характеристик осциллятора, но и от вынуждающей силы.
Первое слагаемое в этомвыражении соответствует собственным колебаниям системы и черездостаточно большое время, т.е. через время τ ≫ 1/δ, его вкладомв движение осциллятора можно будет пренебречь, т.к. Ae−δt ≈ 0,и движение системы будет характеризоваться вторым слагаемымв уравнении (30):x(t) = B cos(Ωt − ψ).(31)25rupt.Для того чтобы найти B и Ω, вычислим при помощи (31) ẍ и ẋи подставим в уравнение (29):ẋ(t) = −BΩ sin(Ωt − ψ) = BΩ cos(Ωt − ψ + π/2),ẍ(t) = −BΩ2 cos(Ωt − ψ),B(ω02 − Ω2 ) cos(Ωt − ψ) + 2δBΩ cos(Ωt − ψ + π/2) = f0 cos Ωt. (32).
miПредставим уравнение (32) с помощью векторной диаграммы (рис. 21). Из полученного прямоугольного треугольника по теореме Пифагора находимf0B=p(ω0 2 − Ω2 )2 + 4δ 2 Ω2и(33)2δΩ.(34)ω0 2 − Ω2Выражения (33) и (34) представляют собой амплитудно-частотную (АЧХ) и фаза-частотную (ФЧХ) характеристики осциллятора соответственно. Графики этих зависимостей представленына рис. 22 (где B0 = B(Ω = 0) = f0 /ω0 2 ).Найдем значение Ω∗ , прикотором функция (32) достиf0гает максимума.
Для этогоψ+найдем экстремум выражения2δBΩ(ω0 2 − Ω2 )2 + 4δ 2 Ω2 :ΩB(ω0 2 − Ω2 )−((ω0 2 − Ω2 )2 + 4δ 2 Ω2 )′ Ω = 0 илиphysicstg ψ =Рис. 21. Векторная диаграмма вынужденных колебаний(2Ω2 − 2ω0 2 + 4δ 2 )2Ω = 0, т.е.2δ 2∗22Ω = ω0 1 − 2 ,ω0или, принимая во внимание, что добротность осциллятора можетбыть представлена выражением Q ≈ ω0 /2δ, получаем1∗22Ω = ω0 1 −.(35)2Q226ru(а)(б)BψπB√max2pt.Bmaxπ2.
mi2∆ΩB00Ω∗ω00ΩΩsicsРис. 22. Амплитудно-частотная характеристика (а) и фаза-частотная характеристика (б) вынужденных колебанийПри Q ≫ 1 — Ω∗ ≈ ω0 , т.е. при совпадении частоты внешнего синусоидального воздействия с собственной частотой колебаний осциллятора, возникает резкое возрастание амплитуды колебаний, т.е. наблюдается резонанс. Подставляя (35) в (33), находимphyBmax = B(Ω = Ω∗ ) =f0ω0 2q1Q2−12Q4≈f0Q = B0 Q.ω0 2При δ ≪ ω0 — ∆Ω ≈ δ и Q ≈ ω0 /2δ ≈ Ω∗ /2∆Ω. АЧХ и ФЧХ осцилляторов, отличающихся друг от друга добротностью, представленына рис. 23.Гармонический осциллятор можно использовать для спектрального анализа внешнего сигнала. Напомним, что спектром функции f (t) называются коэффициенты (набор коэффициентов) Cnв разложении (28).
Для прояснения этого утверждения рассмотримследующий пример.Пусть на гармонический осциллятор, например грузик на пружинке, действует удельная вынуждающая сила f (t) и пусть разложение f (t) в ряд Фурье (или, другими словами, спектральное раз27ruложение) имеет следующий вид:pt.f (t) = C1 cos(ω1 t) + C2 cos(ω2 t) + . . . + C6 cos(ω6 t),(а)B. miпредставленный на рис. 24а.
Пусть собственная частота осциллятора совпадает с частотой ω2 , т.е. ω0 = ω2 . Амплитудно-частотная характеристика B(Ω) осциллятора представлена на рис. 24б.Будем считать, что добротность осциллятора достаточно хорошая,т.е. δ ≪ ω0 .(б)πQ=∞Q = 10π2sicsQ=5Q=20ψQ=2Q=5Q = 100Q≈Ω∗2∆Ω1≈Ω/ω0BmaxB0≈ω02δΩ/ω01phyРис. 23. АЧХ (а) и ФЧХ (б) осцилляторов с различной добротностьюПосмотрим, какие колебания x(t) установятся в этой системе.Как уже обсуждалось ранее, согласно принципу суперпозицииx(t) = B1 cos(ω1 t − ψ1 ) + B2 cos(ω2 t − ψ2 ) + . .
. + B6 cos(ω6 t − ψ6 ),где Bi и ψi вычисляются при помощи (33) и (34), т.е.Bi = pCi(ω0 2 − ωi 2 )2 + 4δ 2 ωi 2.В результате получаем спектр x(t), изображенный на рис. 24в.28ruω1B(Ω)pt.(б) 0ω2ω3. miCω4ω5ω6sics(а)ω2 = ω0(в) 0 BΩΩphyB2B10ω1B3ω2B4ω3ω4B5ω5B6ω6ΩРис. 24. Спектральный анализ сигнала: спектр f (t) (а), АЧХ осциллятора (б) и результирующий спектр x(t) (в)Спектр фактически представляет собой умножение АЧХ осциллятора на спектр вынуждающей силы.
Таким образом, из-за ярко выраженного пика АЧХ получается, что B2 ≫ Bi (i = 1, 3, 4, 5, 6)(см. рис. 24в), т.е.x(t) ≈ B2 cos(ω2 t − ψ2 ).29rupt.Этот факт, в свою очередь, означает, что из всех спектральных компонент вынуждающей силы осциллятор вырезал“ только одну ком”поненту на резонансной частоте осциллятора.Приведенный пример показывает, как при помощи осциллятораможно проводить спектральный анализ внешней силы по следующему алгоритму.. mi1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
