Добавления к лекциям 2 семестр - Балашов (1187968), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

 áᬮâà¨â¥f : [1; +1) ! R, f (x) = ak , x 2 [ak ; ak+1 ), ¨, ¯®«ì§ãïáì ¨­â¥£à «ì­ë¬kk ak ¤«ï ¢á¥å k. ’®£¤ àï¤knXpnX‡ áç¥â ¢ë¡®à ¬ «®£® " > 0 ¨ ¡®«ì讣® ­ âãà «ì­®£® k ¯®ª § ⥫ì1+" ¬®¥â ¡ëâì ᤥ« ­ ᪮«ì 㣮¤­® ¬ «ë¬.k“¯à ­¥­¨¥ 1. DZãáâì ak > 0 ¨ ak+1ak ¤«ï ¢á¥å k . DZãáâì àï¤1 aXkkak > 0 ¨ ak+1=1=0n ;n =£¤¥nnXk=0ak bnk:(3:9)„ ­­®¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ®¯à ¢¤ ­® ⥬, çâ® ¥á«¨ ¬ë à áᬮâਬ á⥯¥­-1P1Pbk z k , ä®à¬ «ì­® (â.¥. ª ª ¢ëà ¥­¨ï á ª®­¥çkk­ë¬¨ á㬬 ¬¨, ­¥ § ¡®âïáì ® ¢®¯à®á å á室¨¬®áâ¨) ¯¥à¥¬­®¨¬ ¨å ¨­ë¥ àï¤ë=0ak z k ¨=018㯮à冷稬 á« £ ¥¬ë¥ ¯®«ã祭­®£® àï¤ ¯® ¢®§à áâ ­¨î á⥯¥­¥©z,â® ã १ã«ìâ¨àãî饣® àï¤ 1Xn=0ª®íää¨æ¨¥­ân1n z n =Xk=0ak z k1!Xm=0bm z mDZãáâìA1 =!¡ã¤¥â ãáâ஥­ â®ç­® â ª, ª ª ¢ ä®à¬ã«¥ (3.9).11PPbkak ¡á®«îâ­® á室¨âáï, à裸¥®à¥¬ 3.3.

DZãáâì àï¤k=0k=0111PPPbk . ’®£¤ àï¤n , £¤¥ n § ¤ ¥âáïak , B =á室¨âáï ¨ A =n=0k=0k=0ä®à¬ã«®© (3.9), á室¨âáï ª AB .nnPPbk . ’®£¤ ak , B n =„®ª § ⥫ìá⢮. DZãáâì An =k=0k=0nnnXXXk =ak Bn k = An B +ak (Bn k B ):k=0k=0k=0An B ! AB , n ! 1, â® ¤«ï ¤®ª § ⥫ìáâ¢ â¥®à¥¬ë ¤®áâ nPâ®ç­® ¯®ª § âì, çâ®ak (Bn k B ) ! 0 ¯à¨ n ! 1.1jak j, ⮣¤ ¯à¨ 0 k N ¯®«ãç ¥¬, çâ® n k > Mk=0NN1XXXjak j jn k j "jak j "jak j = " A1 :k=0k=0k=0P„«ï ¢â®à®© áã¬¬ë ¯®«ãç ¥¬ ®æ¥­ªãnXk=N +1ˆâ ª, ¯à¨n = Bn B , nDZãáâì C > 0 â ª®¥ ç¨á«®, çâ® jn j C ¤«ï ¢á¥å n.Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì! 0 ¯à¨ n ! 1.‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¢ ­®¢ëå ®¡®§­ 祭¨ïånXk=0‡ 䨪á¨à㥬¢á类£®n>N" > 0.ak (Bn kDZãáâìNB) =nk=N +1Nk=0ak n k :| â ª®¥ ­ âãà «ì­®¥ ç¨á«®, çâ® ¤«ïX(áãé¥á⢮¢ ­¨¥nXjak j < "¢ë⥪ ¥â ¨§ ¡á®«îâ­®© á室¨¬®á⨠àï¤ á ®¡é¨¬ak ¨ ªà¨â¥à¨ï Š®è¨).M | â ª®¥ ­ âãà «ì­®¥ ç¨á«®, çâ® js j < " ¯à¨ ¢á¥å s > M .‚롥६ n > N + M ¯à®¨§¢®«ì­®.

ˆ¬¥¥¬ç«¥­®¬DZãáâìnXk=0ak n kNXk=0jak j jn k j +19nXk=N +1jak j jn k j:jak j jn k j n>N +Mnk=0 áᬮâਬ àï¤nXk=N +1C jak j C":¨¬¥¥¬ ®æ¥­ªãXak n k1 (AX (DZ®áª®«ìªãk=0¨k=0p1)1k1+k+ C ) "::â®â àï¤ á室¨âáï ¯® ¯à¨§­ ªã ‹¥©¡­¨æ . ‘室¨¬®áâì ­¥ ¡á®«îâ­ ï.( 1)k¤«ï ¢á¥å k .  áᬮâਬ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ à冷¢ áDZãáâì a = b =p1+k®¡é¨¬¨ ç«¥­ ¬¨ ak ¨ bk :1nXX( 1)np:n ;£¤¥n =n=0k=0 1 + n + k(n k)nnXX1jn j = p n +1 1 = 2nn++22 > 1:k=0 1 + n + k(n k) k=0 2ï¤ á ®¡é¨¬ ç«¥­®¬ n à á室¨âáï (â ª ª ª n ­¥ áâ६¨âáï ª 0).kk4.  ¢­®¬¥à­ ï á室¨¬®áâì4.1. DZਬ¥àë ¯«®å®£® ¯®¢¥¤¥­¨ï ä㭪樮­ «ì­ë寮᫥¤®¢ ⥫쭮á⥩ ¨ à冷¢DZਢ¥¤¥¬ ¯à¨¬¥àë, ª®â®àë¥ ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ¯¥à¥áâ ¢«ïâì ®¯¥à æ¨î ¯à¥¤¥« á ¤à㣨¬¨ ®¯¥à æ¨ï¬¨ ¢ á«ãç ¥ ä㭪樮­ «ì­®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¨«¨ àï¤ ­¥«ì§ï.20DZਬ¥àfn (x) = xn , x4.4.

DZãáâì22[0; 1℄.’®£¤ f (x) ¤«ï «î¡®£® x[0; 1℄, £¤¥ f (1) = 1, f (x) = 0, xlim lim xn = 0, ­® limlim xn = 1.x!1!1!1 x!10nn2 [0; 1℄. DZਠx 2!10x2.DZਬ¥à 4.5. DZãáâì an (x) =(1+x2 )nx2lim fn (x) =n[0; 1). ˆ¬¥¥¬ áᬮâਬ àï¤1P!1 fn(x)limn0an (x),1XZ16fn (x) dx:dx = lim!1n04.2. ‘¢ï§ì à ¢­®¬¥à­®© ¨ ¯®â®ç¥ç­®© á室¨¬®áâ¨.x22=1+x :(1 + x2 )n•®à®è® ¨§¢¥áâ­®, çâ® ¨§ à ¢­®¬¥à­®© á室¨¬®á⨠ä㭪樮­ «ì­®©x = 0 ¯®«ãç ¥¬ an (0) = 0 ¨ á㬬 àï¤ á®®â¢¥âá⢥­­®â®¥ 0.

ˆâ ª, á㬬 àï¤ ­¥¯à¥à뢭ëå (¨ ¡¥áª®­¥ç­® ¤¨ää¥à¥­æ¨-Ž¤­ ª® ¯à¨à㥬ëå) á« £ ¥¬ëå à §à뢭 ¢ ­ã«¥.os nxDZਬ¥à 4.6. DZãáâì fn (x) =,n2 [0; 1℄. ’®£¤ nlim!1 fn(x) =p000f (x) = 0. Ž¤­ ª® fn (x) =n sin nx, ¨ ¯à¨ x =6 0 nlim!1 fn (x) 6= f (x) =000 (¯®ç¥¬ã?). ’ ª¨¬ ®¡à §®¬,lim fn (x)6 nlim=n!1!1 fn (x).DZਬ¥à 4.7. DZãáâì fn (x) = n x(1x )n , x 2 [0; 1℄. ‹¥£ª® ¢¨¤¥âì,çâ® lim fn (x) = 0 ¤«ï ¢á¥å x 2 [0; 1℄. DZ®áª®«ìªãn!1px2Z12x2 )n dx =x(10fn (x) dx =0Ž¤­ ª®n22n + 2limn!10! +1;fn (x)nx(1¢¨â¥«ì­®, ­ ¯à¨¬¥à, ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¨§ ¯à¨¬¥à 4.4 á室¨âáï ¯®â®ç¥ç­®, ­® ­¥ à ¢­®¬¥à­® ­ ®â१ª¥ [0; 1℄ (¯®ç¥¬ã?).Œë ¯à¨¢¥¤¥¬ ­¥áª®«ìª® ¯à¨¬¥à®¢, ª®£¤ ¨§ ¯®â®ç¥ç­®© á室¨¬®áâ¨ä㭪樮­ «ì­®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¢á¥-â ª¨ ¢ë⥪ ¥â ¥¥ à ¢­®¬¥à­ ï á室¨¬®áâì.’¥®à¥¬ 4.4.

DZãáâì ¬­®¥á⢮;nx2 )n dx =0Rª®¬¯ ªâ­®, !12fn (x)n„®ª § ⥫ìá⢮. DZ®«®¨¬gn (x) = fn (x)f (x)2 E . ”㭪樨 gn (x) ­¥¯à¥àë¢­ë ­ E , gn (x) gn­ E.‡ 䨪á¨à㥬¢á类£®xlimndx = 0:! 2;12n + 20!1fn (x)21xE¨ ¤«ï ¢á¥åà ¢­®¬¥à­® ­ ¬­®¥á⢥2E.’®£¤ á室¨âáï ª 0 ¤«ï ¢á¥å n ¨¨ gn (x) ! 0+1 (x)" > 0. ˆ§ ¯®â®ç¥ç­®© á室¨¬®á⨠gn ª ­ã«î ¤«ï2 E ­ ©¤¥âáï ­®¬¥à n(x) â ª®©, çâ® 0 gn x (x) <( )"2. ˆ§02 gn(t) < ";8n > n(x); 8t 2 U (x):DZ®áª®«ìªã ¬­®¥á⢮ E ª®¬¯ ªâ­®, â® ­ ©¤¥âáï ª®­¥ç­®¥ ¯®¤¬­®¥á⢮ ¥£® â®ç¥ª xk Nk=1 ᮠ᢮©á⢮¬n! 1;f gE U (x ) [ U (x ) [ [ U (xN )(¯®ç¥¬ã?).

DZ®« £ ï M = maxfn(x ); : : : ; n(xN )g, ¯®«ãç ¥¬, çâ®0 gn (t) < ";8n > M; 8t 2 E:121Z =1gn ¨ ¬®­®â®­­®á⨠¢ë⥪ ¥â, çâ® ­ ©¤¥âáï ®âªàë⮥¬­®¥á⢮ U (x), xU (x), â ª®¥, çâ®n1ffn (x)g1nE . DZãáâì f (x) =E ¨ f (x) | ­¥¯à¥à뢭 ï ­ E äã­ªæ¨ï. DZãáâìlim fn (x) ¤«ï ¢á¥å xnfn (x)fn+1 (x) ¤«ï ¢á¥å ­ âãà «ì­ëåf (x).! 1:E| ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ä㭪権, ­¥¯à¥à뢭ëå ­ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâìx2 )n , â®fn (x) ¢§ïâì nx(1Z1â®ç¥ç­ ï á室¨¬®áâì ­ ⮬ ¥ ¬­®¥á⢥. Ž¡à â­®¥ ­¥ ¢¥à­®. „¥©áâ-­¥¯à¥à뢭®áâ¨Z1 …᫨ ¢ ª ç¥á⢥12n + 2¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠(¨«¨ àï¤ ) ­ ­¥ª®â®à®¬ ¬­®¥á⢥ ¢ë⥪ ¥â ¯®-xZ1­®, ª ª ¨ ¢ëè¥,Z1 n=0(0; 1℄ ¨¬¥¥¬ á㬬㠣¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ¯à®£à¥áᨨn=0⮒ ª¨¬ ®¡à §®¬,dx = 0:â® ¨ ®§­ ç ¥â à ¢­®¬¥à­ãî á室¨¬®áâì22fn ª f ­ E .‡ ¬¥â¨¬, çâ® ­¥¯à¥à뢭®áâì f (x) áãé¥á⢥­­ , íâ® ¯®ª §ë¢ ¥â ¯à¨-DZத¨ää¥à¥­æ¨à㥬 (4.10) ¯® z ¨ 㬭®¨¬ ­ z :¬¥à 4.4. Š®¬¯ ªâ­®áâì E â ª¥ áãé¥á⢥­­ .

„¥©á⢨⥫쭮, ¯ãáâìnX!E = (0; 1), fn (x) = xn . ’®£¤ fn (x)0 ¤«ï ¢á¥å x, ¢á¥ ãá«®¢¨ï ⥮६ë 4.4 (ªà®¬¥ ª®¬¯ ªâ­®á⨠E ) ¢ë¯®«­¥­ë. Ž¤­ ª® fn ­¥ á室¨âáïà ¢­®¬¥à­® ª 0 (¯®ç¥¬ã?).“¯à ­¥­¨¥ 2. DZãáâìffng | ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ä㭪権, ¬®-k=0fn à ¢­®¬¥à­® ­ ®â१ª¥ [a; b℄ á室¨âáï ª f .DZਬ¥à 4.8. DZãáâìE = (0; 1).  áᬮâਬ àï¤8>>><an (x) =>>>:ï¤1Pan (x)n=10;2 ;sinx0;1 ;x 2 0; n+1ih1 ;1 ;x 2 n+1n1x 2 n+1 ; 1 :1Pan (x), £¤¥n=1á室¨âáï ¡á®«îâ­® ­ E ª ä㭪樨 sinDZ®«®¨¬ ¢ (4.10), (4.11) ¨ (4.12) z =à ¢¥­á⢠­ (1nXnXk=0xŽ¤­ ª®à ¢­®¬¥à­®© á室¨¬®á⨠­¥â (¯®ç¥¬ã?).“¯à ­¥­¨¥ 3.

DZਢ¥á⨠¯à¨¬¥à ä㭪樮­ «ì­®£® àï¤ , ª®â®-àë© ­ ¬­®¥á⢥ E á室¨âáï à ¢­®¬¥à­®, ­® ­¨ ¢ ª ª®© â®çª¥ ¬­®-“¬­®¨¬k=0â ª ª ª x(1k=0Cnk xk (1(kx)nx)2 Cnk xk (1£®ç«¥­Bn (x) =„«ï ¢á类£® xnXk=0Cnk (k2Rnx)2 xk (1k=0x)n kCnk z k = (1 + z )n :23x)n k = nx;(4:14)x + nx):(4:15)(4.15) | ­ 1 ¨ á«®¨¬x)n k = nx(1 nXkk=0fnx) n4 ;f § ¤ ­ ­ ®â१ª¥ [0; 1℄. Œ­®-Cnk xk (1x)n k­ §ë¢ âáï ¬­®£®ç«¥­®¬ ¥à­è⥩­ ä㭪樨 f .’¥®à¥¬ 4.5.

(‘.. ¥à­è⥩­). …᫨ äã­ªæ¨ï f ­¥¯à¥à뢭 ­ ®â१ª¥ [0; 1℄, â® ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¬­®£®ç«¥­®¢ Bn (x) à ¢­®¬¥à­®­ ®â१ª¥ [0; 1℄ á室¨âáï ª f (x).n 4:„®ª § ⥫ìá⢮. Ž¯à¥¤¥«¨¬„®ª § ⥫ìá⢮.  áᬮâਬ ⮤¥á⢮nX(4:13)Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 4.1. DZãáâì äã­ªæ¨ïx)n k = 1:x ¨ 㬭®¨¬ ¯®«ã祭­ë¥x)n k = 1; 14 .„®ª § ⥫ìá⢮. ¨­®¬ ìîâ®­ .‹¥¬¬ 4.4.kCnk xk (1xnXk 2 Cnk xk (1 x)n k = nx(1k=0(4.13) ­ n2 x2 , (4.14) | ­ 2nx,nX4.3. Œ­®£®ç«¥­ë ¥à­è⥩­ nXCnk xk (11(4:12)¨å, ¯®«ã稬¥á⢠E ­¥ á室¨âáï ¡á®«îâ­®.‹¥¬¬ 4.3.x)n :k=02 .(4:11)nXk 2 Cnk z k = nz (1 + nz )(1 + z )n 2 :k=0­®â®­­ëå ­ ®â१ª¥ [a; b℄.

DZãáâì fn ¯®â®ç¥ç­® ­ ®â१ª¥ [a; b℄ áå®-‡ ¬¥â¨¬ â ª¥, çâ® à ¢­®¬¥à­ ï á室¨¬®áâì àï¤ ­¨ª ª ­¥ á¢ï§ ­ 1:DZத¨ää¥à¥­æ¨à㥬 (4.11) ¯® z ¨ 㬭®¨¬ ­ z :¤¨âáï ª ­¥¯à¥à뢭®© ä㭪樨 f . „®ª ¨â¥, çâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâìá ¥£® ¡á®«îâ­®© á室¨¬®áâìî.kCnk z k = nz (1 + z )n(4:10)jjM = max f (x) . DZãáâì § ¤ ­® ç¨á«®x2[0;1℄" > 0. ‚ ᨫã à ¢­®¬¥à­®© ­¥¯à¥à뢭®á⨠f ­ ®â१ª¥ [0; 1℄ (⥮f (t) < " ¤«ï ¢á¥åx; t [0; 1℄ â ª¨å, çâ® x t < Æ .j६ Š ­â®à ) ¯®¤¡¥à¥¬ Æ > 0 â ª, ç⮡ë f (x)2jj24j‡ 䨪á¨à㥬 ¯à®¨§¢®«ì­ë©f (x) =nXx2 [0; 1℄.

DZ®áª®«ìªã ¢ ᨫ㠫¥¬¬ë 4.3Cnk f (x)xk (1x)n k ;jBn (x)jf (x)k=02kCn f (x)j22j k kx (1fn x)n k :DZ®áª®«ìªãjj2k I…᫨k2Jnx)2n2 Æ 2(k, â®22k J n2 Æ 22M n2 Æ22M2k IP2k k kCn x (1f nk Jk=0nx) Cnk xk (12(k(knx) Cnk xk (12ˆâ ª, ­ ©¤¥âáï ­ âãà «ì­®¥M=(2nÆ 2 ) < ",M" + 2nÆ2 < 2" ¤«ï «î¡®£® xx)n kN,x)n kx)n kçâ® ¤«ï «î¡®£®2 [0; 1℄á« £ ¥¬ë¥. DZ® [1, ⥮६ 2­¥¯à¥à뢭 ¯®x.2 [0; 1℄â® àï¤ ¢ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ ä㭪樨x3 £« ¢ë 10℄ á㬬 í⮣® àï¤ |DZ®ª ¥¬, çâ® ¤«ï «î¡®© â®çª¨x>0‡ 䨪á¨à㥬 ¢¥é¥á⢥­­®¥ ç¨á«®k‘ãé¥áâ¢ã¥â ­ âãà «ì­®¥ ç¨á«®4n aM:2nÆ 24n bmm.…᫨4n aj'(4n x):äã­ªæ¨ï¨mn > m,4n am[0; 1℄,â® ¨â® ¨Bn (x)Bn (x) ¢®§à áâ ¥â.f…᫨ ­¥¯à¥à뢭 ï äã­ªæ¨ï| ¢ë¯ãª« ï äã­ªæ¨ï.¢®§à áâ ¥âf4n bm4n a¨ ­ âãà «ì­®¥ ç¨á«®f : [a; b℄!R 4mx k + 1:m = 1.…᫨j'(4n am ) =ˆ§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï[a; b℄á室ïé ïáï ª ä㭪樨f.pn (x),à ¢-4.4.

DZਬ¥à ­¥¯à¥à뢭®© ­¨£¤¥ ­¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®©ä㭪樨 (¯à¨¬¥à ‚¥©¥àèâà áá )R,’¥®à¥¬ 4.6.‘ãé¥áâ¢ã¥â ­¥¯à¥à뢭 ï äã­ªæ¨ïª®â®à ï ­¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ­¨ ¢ ®¤­®© â®çª¥25f áᬮâਬ ç¨á« 1) !f : (0; +x > 0.4n bm¨n = m, â® ®¡ ç¨á« 4n bm ,n < m, â® ¬¥¤ã ç¨á« ¬¨ 4n bm0;n > m;n m:4n m ;¨ ¨§ ¯à¥¤ë¤ã饩 ä®à¬ã«ë ¯®«ãç ¥¬f (bm )f (am ) =mX n3n('(4 bm )4n=0­¥¯à¥à뢭 ï. „®-ª ¨â¥, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¬­®£®ç«¥­®¢­®¬¥à­® ­ ®â१ª¥m.­¥ «¥¨â ­¨ ®¤­® 楫®¥ ç¨á«®.

Žâáî¤ ¢ë¯ãª« ,‹î¡®§­ ⥫ì­ë¥ áâ㤥­âë ¬®£ãâDZãáâì äã­ªæ¨ï­¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨-â® ®¡ 㪠§ ­­ë¥ ç¨á« | ç¥â­ë¥ æ¥«ë¥ ¨ à §­®áâìj'(4n bm )¯®¯à®¡®¢ âì ¤®ª § âì í⨠᢮©á⢠¢ ª ç¥á⢥ ã¯à ­¥­¨©.“¯à ­¥­¨¥ 4.|¥áâì ç¥â­®¥ 楫®¥ ç¨á«®. …á«¨æ¥«ë¥ ¨4n amx > 0Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¬­®£®ç«¥­ë ¥à­è⥩­ ®¡« ¤ îâ ¬­®£¨¬¨ § ¬¥ç -­ ff (x)â ª®¥, çâ®am = 4 m k , bm = 4 m (k + 1)., çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì.⥫ì­ë¬¨ ᢮©á⢠¬¨. ’ ª, ¥á«¨ ­¥¯à¥à뢭 ï äã­ªæ¨ïfà㥬 .DZ®«®¨¬j34x,¤«ï ¢á¥åkn > N ¢ë¯®«­¥­®Bn (x) f (x) <®âªã¤ ¯®«ãç ¥¬ ®æ¥­ªã2à ¢­®¬¥à­® á室¨âáï ¯® ¯à¨§­ ªã ‚¥©¥àèâà áá ¨ ¨¬¥¥â ­¥¯à¥à뢭ë¥1nP­¥à ¢¥­á⢮j'(x) nn=0, ®âªã¤ ¢ ᨫ㠫¥¬¬ë 4.4P f (x)1Xf (x) =k0; n ­ ¬­®¥á⢠I ¨ J â ª, çâ® kI , ¥á«¨kx < Æ , k J ¢ ¯à®â¨¢­®¬ á«ãç ¥, â.¥.

Характеристики

Список файлов лекций