Добавления к лекциям 2 семестр - Балашов (1187968), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

2 (0; x) â ª®¥, çâ®ln1+1xx= ln(1 +®âªã¤ ln1+1x)x) =ln(1x> 2x;x1+1n1n+2¨«¨12n+112n+1 ln1+111+n+ 21n1n>2=1en+11<n2n+12 ln2xn e=111+en1+1+1n12n+1n3;1(2n+1)23 1n+ 12n112n(n + 1):n!ennn+ 12=®âªã¤ 11(2nn)!!1)!!n!)2(2n)!2n="n ! 0;a(1 + "n );ann+ 21(1 + "n ):enn! =(22(:(2 7)p=a n(1 + "n )2p:2(1 + "2n )DZਬ¥­ïï ä®à¬ã«ã ‚ ««¨á (2.4), ¯®«ãç ¥¬, çâ®> 1;:< e 12n(n+1) :1‚ ᨫã ä®à¬ã«ë (2.7)n+ 212<1+1112xn =(2 6)n!e:nn+ 121+1xnxn+1n1+1ˆâ ª, ¨¬¥¥¬> 1;ˆ§ ä®à¬ã«ë (2.6) ¢ë⥪ ¥â ­¥à ¢¥­á⢮xnxn+1n+12> e:1< xn+1 e 12n(n+1) 12n = xn+1 e 12(n+1) ;1â® ¥áâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì yn = xn e 12n ­¥®âà¨æ â¥«ì­ ¨ ¬®­®â®­­®1¢®§à áâ ¥â. DZ®áª®«ìªã lim e 12n = 1, â® lim yn = lim xn = a.

®n!1n!1n!1â ª ª ª yn > 0 ¤«ï ¢á¥å n, â® a y1 > 0.! áᬮâਬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâìxn =Žâáî¤ ‡­ ç¨â,= ln12(0 1)1+¨x> 2x;28x 2 ; :‘«¥¤®¢ ⥫쭮,lnlnDZ® ⥮६¥ ‹ £à ­ ® á।­¥¬ ­ ©¤¥âáï ç¨á«®x32x:< 2x +x3 1x21+1, ¯®«ãç ¥¬, çâ®2n+1„«ï í⮣®«¥£ª® ¤®ª § âì (¤®ª -x 2 (0; 1) ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮lnn| ­¥ª®â®à ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì, ¨¬¥îé ï ¡®«ì訩 ¯®à冷ª¬ «®áâ¨, 祬!1 xn = a 0.limna > 0.DZ®ª ¥¬, çâ®â®, ¯®â¥­æ¨àãï, ¯®«ãç ¥¬£¤¥­¥®âà¨æ â¥«ì­ ¨ ¬®­®â®­­® ã¡ë¢ ¥â.‡­ ç¨â, ¯® ⥮६¥ ‚¥©¥àèâà áá áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¥¤¥«2=1!1 2n + 1limna2"n )422 (1 + "2n )n12(1 +=a24;¯®í⮬ã ap= 2, ¨p! = 2nn n ne( )=h2 x(1 + "n):Zx0()h1 t dt;x2 [0; !f (1)℄:0() = h1(x)DZ® ãá«®¢¨î !f (1) 1.

Ž¯à¥¤¥«¨¬ äã­ªæ¨î h3 (x) = h2 (x) ¯à¨x 2 [0; !f (1)℄ ¨h3 (x) = h02 (!f (1))(x !f (1)) + h2 (!f (1)); x 2 [!f (1); z ℄;£¤¥ z !f (1) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ ãá«®¢¨ï h3 (z ) = 1. ‡¤¥áì h02 (!f (1)) |®¤­®áâ®à®­­ïï ¯à®¨§¢®¤­ ï á«¥¢ ä㭪樨 h2 ¢ â®çª¥ !f (1), á¬. [3, á.26℄.DZ® ¯®áâ஥­¨î h3 : [0; z ℄ ! [0; 1℄, ­¥¯à¥à뢭 , áâண® ¢®§à á⠥⠨1¢ë¯ãª« . DZ®í⮬㠮¡à â­ ï äã­ªæ¨ï w = h3 , w : [0; 1℄ ! [0; z ℄ (¡®«¥¥â®£®, ®â¬¥â¨¬, çâ® w ([0; 1℄) = [0; z ℄), ¢®§à áâ ¥â, ­¥¯à¥à뢭 ¨ ï¥âáï”ã­ªæ¨ï h2 ­¥¯à¥à뢭 , áâண® ¢®§à á⠥⠨ ¢ë¯ãª« (h2 x¨ h1 | ¢®§à áâ îé ï äã­ªæ¨ï).2.4. ˆ­â¥£à¨à㥬®áâì á㯥௮§¨æ¨¨ ä㭪権DZãáâì äã­ªæ¨ï f : [0; 1℄ ! [0; 1℄ ­¥¯à¥à뢭 ¨ ­¥ ¯®áâ®ï­­ ï, : [0; 1℄ ! [0; 1℄ ¨­â¥£à¨à㥬 ¯® ¨¬ ­ã. —â® ¬®­® ᪠§ âì ®¡ ¨­â¥£à¨à㥬®á⨠¯® ¨¬ ­ã ä㭪権 f (g (x)) ¨ g (f (x))? ¥á¬®âàï ­ ª § «®áì ¡ë ýᨬ¬¥âà¨ç­ãîþ ¯®áâ ­®¢ªã ¢®¯à®á , äã­ªæ¨ï f (g (x))¨­â¥£à¨à㥬 ¯® ¨¬ ­ã, äã­ªæ¨ï g (f (x)) | ­¥ ®¡ï§ ⥫쭮.

„®ª -g¥¬ íâ®.‹¥¬¬ 2.1. ”ã­ªæ¨ï( ( ))f g x¨­â¥£à¨à㥬 ¯® ¨¬ ­ã.„®ª § ⥫ìá⢮. “⢥थ­¨¥ áà §ã ¢ë⥪ ¥â ¨§ ªà¨â¥à¨ï ¨­â¥£-à¨à㥬®áâ¨: äã­ªæ¨ï ¨­â¥£à¨à㥬 ­ ®â१ª¥ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ ,¢®£­ã⮩. ‚®£­ãâ®áâì ¢ë⥪ ¥â ¨§ ⮣®, çâ® ­ ¤£à 䨪 ä㭪樨 h3ª®£¤ ®­ ®£à ­¨ç¥­ ¨ ¬­®¥á⢮ ¥¥ â®ç¥ª à §àë¢ ¨¬¥¥â ‹¥¡¥£®¢ã| ¢ë¯ãª«®¥ ¬­®¥á⢮ | ï¥âáï ¯®¤£à 䨪®¬ ä㭪樨 w . Šà®¬¥¬¥àã ­®«ì ­ í⮬ ®â१ª¥ [2, £« ¢ 13,⮣®, w tx2.5, á.193℄. Œë ¤ ¤¨¬ ¤®ª -( ) !f (t) ¨, ¯® ¯®áâ஥­¨î, t!lim+0 w(t) = 0 (¯®ç¥¬ã?).§ ⥫ìá⢮, ­¥ ¨á¯®«ì§ãî饥 íâ®â १ã«ìâ â (ª®â®àë© ­¥ ¤®ª §ë¢ «áï­ «¥ªæ¨ïå).DZãáâì !f | ¬®¤ã«ì ­¥¯à¥à뢭®á⨠ä㭪樨 f , â.¥.( ) = sup (f (x)!f Æjx tj<Æ( ))0f t ; Æ> ;!f’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢¬¥áâ® ¬®¤ã«ï ­¥¯à¥à뢭®á⨠f ¬ë ¬®¥¬ ¢§ïâìäã­ªæ¨î w , ª®â®à ï ­¥¯à¥à뢭 , ¢®§à á⠥⠨ ï¥âáï ¢®£­ã⮩.DZãáâì(0) = 0:‹¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® !f ­¥áâண® ¬®­®â®­­® ¢®§à á⠥⠨ ­¥ ª®­áâ ­â : [0; 1℄ ! [0; !1 f (1)℄.

’®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ®¡à â­ ï äã­ª: [0 (1)℄ ! [0 1℄(0) = 02(01℄2 [ ( 0) ( + 0)℄1 ¯® ¯à ¢¨«ã ! 1 (t) = x0 . …᫨ ­ ¯à®¬¥ã⪥ (¯à®®¯à¥¤¥«¨¬ !ff¨§¢®«ì­®¬: ®âªàë⮬, § ¬ª­ã⮬, ¨ â.¤.) á ª®­æ ¬¨ x1 ; x2 2 (0; 1℄,x1 < x2 , äã­ªæ¨ï !f ¯®áâ®ï­­ ¨ à ¢­ t0 (¨ ¯à¨ x < x1 f (x) < t0 ,1 ¯à¨ x > x2 f (x) > t0 ), â® ®¯à¥¤¥«¨¬ !f (t0 ) = x1 .

‡ ¬¥â¨¬, çâ®!f 1 (t) > 0 ¤«ï ¢á¥å t 2 (0; !f (1)℄ ¨ ­¥áâண® ¬®­®â®­­® ¢®§à áâ ¥â([ ℄) = sup (g(x)!g a; b( ))g t[ ℄ [0; 1℄. ‡ ¬¥â¨¬, çâ®!g ([a; b℄) !g ([0; 1℄) 1:1x1 £« ¢ë 7 ℄ ¤«ï2 (0; 1) áãé¥áâ¢ã¥â Æ > 0 â ª®¥, çâ® ¤«ï «î¡®£® à §¡¨¥­¨ï= fxi gIi=0 ®â१ª [0; 1℄ ¬¥«ª®á⨠j j < Æ ¨ ¤«ï xi = xi xi 1‚ ᨫ㠪à¨â¥à¨ï ¨­â¥£à¨à㥬®á⨠[1, ⥮६ 1«î¡®£® "¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮IXi(¯®ç¥¬ã?).Ž¯à¥¤¥«¨¬2[a;b℄| ª®«¥¡ ­¨¥ ä㭪樨 g ­ ®â१ª¥ a; b(¯®ç¥¬ã?) ¨ !fæ¨ï !fª ä㭪樨 !f , !f; !f; .

“â®ç­¨¬, ª ª íâ 1äã­ªæ¨ï ãáâ஥­ . ‚®-¯¥à¢ëå, !f. ‚ á«ãç ¥ ¥á«¨ äã­ªæ¨ï !f¨¬¥¥â à §àë¢ ¢ â®çª¥ x0; , â® ¤«ï ¢á¥å tf x0; f x0x;t=1([!g xi1 ; xi ℄)xi < ":Žâáî¤ ¨ ¢ ᨫ㠢®§à áâ ­¨ï ¨ ¢®£­ãâ®á⨠ä㭪樨 w ¯®«ãç ¥¬, çâ®( )=h1 xZx0!f1 (t) dt;13x2 [0; !f (1)℄;( )ww "IXi=1([!g xi1 ; xi ℄)xi!14IXi=1( ([w !g xi1 ; xi ℄)) xi :(2:8)([℄)( ( ))℄))DZ®áª®«ìªã ª®«¥¡ ­¨¥ !f (g ) xi 1 ; xi ä㭪樨 f g x ­ i-¬ ®â१ª¥xi 1 ; xi ­¥ ¯à¥¢®á室¨â w !g xi 1 ; xi , â® ¤«ï «î¡®£®"; áãé¥áâ¢ã¥â Æ > â ª®¥, çâ® ¤«ï «î¡®£® à §¡¨¥­¨ï xi Ii=0¬¥«ª®á⨠< Æ , á ãç¥â®¬ ä®à¬ã«ë (2.8), ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­áâ¢®à §¡¨¥­¨ï2 (0 1)[℄0jjIX([!f (g) xii=1 â.ª.lim+0 w(")!"1 ; xi= 0, â®, ¢ ᨫã [1,( ([x2.5, á.IXi=1x1 £« ¢ë 7℄, äã­ªæ¨ï193℄) «¥¬¬ã 2.1. DZ®ç¥¬ãgf : [0; 1℄ ! [0; 1℄: [0; 1℄ ! [0; 1℄[0; 1℄â ª¨¥, çâ®( ( ))DZãáâì frk g1| à 樮­ «ì­ë¥ â®çª¨ ®â१ª k[0; 1℄.

DZãáâì " 2 (0; 1). Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¬­®¥á⢠äã­ªæ¨ïg f x­¥ ¨­â¥£à¨à㥬 ¯® ¨¬ ­ã ­ ®â१ª¥„®ª § ⥫ìá⢮.U"=1[k=1[0; 1℄ \.=1rk2"k+1; rk+ 2k"+1;F"[0 1℄á®áâ ¢«ïîé¨å U" , ­¥ ¡®«¥¥ ".()DZãáâì f x | à ááâ®ï­¨¥ ®â â®çª¨ x ¤® (ª®¬¯ ªâ­®£®) ¬­®¥á⢠F" . ‡ ¬¥â¨¬, çâ® f x¯à¨ xF" ¨ f x > ¯à¨ x U" . ”ã­ªæ¨ïf ­¥¯à¥à뢭 (¯®ç¥¬ã?). Ž¯à¥¤¥«¨¬ g¨g x¯à¨ x; .‡ ¬¥â¨¬, çâ® g f x¯à¨ xF" ¨ g f x¯à¨ xU" .DZãáâì xi Ii=0 | ¯à®¨§¢®«ì­®¥ à §¡¨¥­¨¥ ®â१ª ;¬¥«"ª®á⨠¬¥­¥¥ 10 , wg (f ) xi 1 ; xi | ª®«¥¡ ­¨¥ ä㭪樨 g f ­ ®â१ª¥xi 1 ; xi .

 áᬮâਬ á㬬ã[℄( )=02() 02(0) = 1 ( ) = 02 (0 1℄( ( )) = 12( ( )) = 02=f g[0 1℄([℄)()IXi=1([wg(f ) xi1 ; xi℄)xi : ª ¤®¬ ¨§ ®â१ª®¢ à §¡¨¥­¨ï ¥áâì à 樮­ «ì­®¥ ç¨á«®, ¯®í⮬ã[xi1 ; xi℄ \ U" 6= ; ¤«ï ¢á¥å i. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮 á㬬 à­ ï ¤«¨­ ®â१ª®¢à §¡¨¥­¨ï, ¢ ª®â®àë¥ ¯®¯ ¤ îâ â®çª¨ ª ª ¨§ U" , â ª ¨ ¨§ F" , ­¥ ¬¥­¥¥15X0([wg(f ) xi1 ; xi℄)xi 1"13.1. ï¤ë á ¯®«®¨â¥«ì­ë¬¨ ç«¥­ ¬¨. Œ®­®â®­­®áâìï¤ë á ¯®«®¨â¥«ì­ë¬¨ ç«¥­ ¬¨, ª®â®àë¥ ã¤®¢«¥â¢®àïîâ ãá«®-¢¨î ¬®­®â®­­®á⨠ak+1ak ¤«ï ¢á¥å k , ïîâáï ¢ ­ë¬ ®¡ê¥ªâ®¬¨áá«¥¤®¢ ­¨ï.

 ¯à¨¬¥à, ¨¬¥­­® ¤«ï íâ¨å à冷¢ ¢ë¯®«­ï¥âáï ¨­â¥£à «ì­ë© ¯à¨§­ ª á室¨¬®á⨠[1, ⥮६ 4x2 £« ¢ë 9℄.Œë ¯à¨¢¥¤¥¬ ¥é¥ ­¥áª®«ìª® ¯à¨¬¥à®¢, £¤¥ ¬®­®â®­­®áâì §­ ª®¯®áâ®ï­­®£® àï¤ ¯®§¢®«ï¥â ¯®«ãç âì ¢ ­ë¥ १ã«ìâ âë.= [0; 1℄nU":Œ­®¥á⢠U" , F" ­¥ ¨§¬¥à¨¬ë ¯® †®à¤ ­ã (¯®ç¥¬ã?), U" ®âªàëâ® ¢; , F" § ¬ª­ãâ® ¢ ; . Šà®¬¥ ⮣®, á㬬 à­ ï ¤«¨­ ¨­â¥à¢ «®¢,[0 1℄℄)xi 3. —¨á«®¢ë¥ àï¤ë( ( )) ¨­â¥£à¨à㥬 ‹¥¬¬ 2.2.

‘ãé¥áâ¢ãîâ ­¥¯à¥à뢭 ï äã­ªæ¨ï¨ ¨­â¥£à¨à㥬 ï ¯® ¨¬ ­ã äã­ªæ¨ï1 ; xi[xi ; xi ℄ \ U" 6= ; ¨ [xi ; xi ℄ \ F" 6= ;). Žâáî¤ ¢ë⥪ ¥â [1, ⥮६ 1x1 £« ¢ë 7℄, çâ® äã­ªæ¨ï g(f ) ­¥ ¨­â¥£à¨à㥬 ¯® ¨¬ ­ã ­ ®â१ª¥[0; 1℄. ­ «®£¨ç­® ­¥ 㤠¥âáï ¤®ª § âì, çâ® äã­ªæ¨ï g f x¯® ¨¬ ­ã?([wg(f ) xi1“¯à ­¥­¨¥ 3. „®ª ¨â¥ á ¯®¬®éìî 㪠§ ­­®£® ¢ëè¥ ªà¨â¥à¨ï¨­â¥£à¨à㥬®á⨠(á¬. [2, £« ¢ 13,1(èâà¨å ã áã¬¬ë ®§­ ç ¥â, çâ® á㬬¨à®¢ ­¨¥ ¢¥¤¥âáï ¯® â ª¨¬ i, çâ®( ( )) ¨­â¥£à¨à㥬 ¯® ¨¬ ­ã ­ ®â१ª¥ [0; 1℄.f g x()". Š®«¥¡ ­¨¥ ä㭪樨 g f ­ â ª®¬ ®â१ª¥ à ¢­® . DZ®í⮬ã=f g℄)xi w(");⥮६ 11DZਬ¥à 3.1. DZãáâì àï¤nXakk=1á®á⮨⠨§ ¯®«®¨â¥«ì­ëå á« £ ¥¬ëå ¨ ak+1ak ¤«ï ¢á¥å k . ’®£¤ (â.¥.kak).o k1 , kk„®ª § ⥫ìá⢮. DZ® ªà¨â¥à¨î Š®è¨ á室¨¬®á⨠ç¨á«®¢®£® àï¤ ak=lim!1!1¤«ï ¢á类£® " >=00 ­ ©¤¥âáï ­®¬¥à N" â ª®©, çâ® ¯à¨ «î¡ëå m > n N"¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮mXak < ":k=n+1mP()akm n am .k=n+1‚§ï¢ mn, ¯®«ãç ¥¬ na2n < ", â.¥.

na2n < " ¤«ï ¢á¥å n< " ¤«ï ¢á¥å n‚§ï¢ mn, ¯®«ãç ¥¬na2n+1 2nn+1+12n+1¨«¨na2n+1 < n+1 " < ". ˆâ ª, kak.Šà®¬¥ ⮣®,=2= 2 +1(2 + 1)2(2 + 1)22!0 N" . N" ,‹¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ¡¥§ ãá«®¢¨ï ¬®­®â®­­®á⨠¯®à冷ª ã¡ë¢ ­¨ï ak¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¯à¨¬¥à¥ ¬®¥â ¡ëâì «î¡ë¬.16DZãáâì" > 0, k2 N.«î¡®£® ­ âãà «ì­®£®m , amk =1X=1an = áᬮâਬ àï¤ áan =ˆ¬¥¥¬11XX6=n mknâ.¥. àï¤ á ®¡é¨¬ ç«¥­®¬m11+" .n2+m1n2 , ¯à¨6n = mk ¤«ïDZਬ¥à 3.3.

DZãáâì àï¤nXak1=1m1+" ;ká室¨âáï,an á室¨âáï. Ž¤­ ª®amk =1" 1+kmkk:=1pakk„®ª § ⥫ìá⢮. ˆ§ ãá«®¢¨ï ¯à¨¬¥à ¢ë⥪ ¥â, çâ® ç«¥­ë àï¤ ®¡à §ãîâ ¬®­®â®­­® ã¡ë¢ îéãî ª ­ã«î ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¯®-«®¨â¥«ì­ëå ç¨á¥«. ‚ ᨫ㠯ਬ¥à 3.1pak¯à¨§­ ª®¬, ᢥ¤¨â¥ § ¤ çã ª ­ 室¥­¨î ᨬ¯â®â¨ª¨f (x), x=ka2k =! +1 ."2kk "kk = pak¯à¨ ¤®áâ â®ç­® ¡®«ìè¨å ­®¬¥à å¯à¨¬¥à, ­¥à ¢¥­á⢠® á।­¨å.¯® ¯à¨§­ ªã áà ¢­¥­¨ï.DZਬ¥à 3.2. DZãáâì àï¤á室¨âáï. ’®£¤ àï¤a2k1X=1ká室¨âáï.„®ª § ⥫ìá⢮.

ˆá¯®«ì§ãï ­¥à ¢¥­á⢮jak j 1 a2 +k21DZਬ¥à 3.1 ¯®§¢®«ï¥â à¥è¨âì ¢ ­¥ª®â®à®¬ á¬ëá«¥ ®¡à â­ãî § -171Xk2¯à¨§­ ªã áà ¢­¥­¨ï.=0ak ;1X¨k=0bk :DZந§¢¥¤¥­¨¥¬ íâ¨å à冷¢ ­ §ë¢ ¥âáï à廊 ãá«®¢¨¥ ¯à¨¬¥à , ¯®«ãç ¥¬ á室¨¬®áâì à áᬠâਢ ¥¬®£® àï¤ ¯®¤ çã.k . ï¤ á ®¡é¨¬ ç«¥­®¬ a2k á室¨âáïDZãáâì ¥áâì ¤¢ ç¨á«®¢ëå àï¤ j jkk3.2. DZந§¢¥¤¥­¨¥ ç¨á«®¢ëå à冷¢nXakkk"k;k"k ¡¥áª®­¥ç­® ¬ « ï. Žâáî¤ £¤¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâìDZਠ¨áá«¥¤®¢ ­¨¨ à冷¢ ç áâ® ¨á¯®«ì§ãîâáï ¯à®áâë¥ ®æ¥­ª¨, ­ -=1a2kâ ª¥ á室¨âáï.=11 á室¨âáï. „®ª ¨â¥, çâ® ak = o ln k , k ! 1. “ª § ­¨¥.

Характеристики

Список файлов лекций