Математическое моделирование разрушений в твердых деформируемых телах сеточно-характеристическим методом (1187403), страница 2
Текст из файла (страница 2)
(26)Условия свободного скольжения имеют вид:n+1n+1n+1n+1n+1n+1van= vbn= vnn+1 , σan= −σbn, σaτ= σbτ= 0,(27)где нижние индексы n и τ означают нормальную и тангенциальную составляющие. Далее вычисляется vnn+1 :1ρa ca2 + ρb cb2hin+1(in)n+1(in)n+1(in)n+1(in)ρa ca1 va+ ρb cb1 vb− (σa− σb)n · n,vnn+1 =(28)после чего используются смешанные граничные условия (24).При расчетах ударов считалось, что 2 узла контактируют, если расстояние между ними меньше ≈ 0.5h, где h - размер ячейки, и относительно друг друга они сближаются. Иногда еще добавляют условие того, чтопри контакте напряжение должно быть сжимащим, но экспериментально было проверено, что добавление этого условие не только не улучшаеткартину, но даже добавляет некоторые артефакты и проблемы с моделированием отскока.В проекции узла на отрезок другой сетки вводится мнимый узел исчитается, что контактируют 2 узла по законам, описанным выше.
Рас-13чет делается симметрично относительно контактирующих сеток, сначаларассматриваются узлы 1-ой и отрезки 2-ой, а затем наоборот.Рис. 2: Расчет контакта при ударе. Контактирующие узлы (черный цвет), свободные(серые) и мнимые (белые).6Модели разрушенияВ данной работе используется дискретная модель разрушений. Сле-дует заметить, что использованный численный метод также не сложноадаптировать к континуальным моделям разрушения [9]. Для каждогоузла хранится параметр - разрушен он или нет.
На каждом шаге для всехнеразрушенных узлов проверяется критерий, который зависит только отнапряжений, в результате чего узел может пометиться разрушенным.Далее делается корректировка скоростей и напряжений в зависимостиот разрушений.146.1Модель сдвигового разрушенияВ качестве критерия сдвигового разрушения рассматривается второйинвариант девиатора напряжений:p1 q2 + 2σ 2 + 2σ 2 ,(σxx − p)2 + (σyy − p)2 + (σzz − p)2 + 2σxyys < J 2 = √xzyz2(29)где p =σxx +σyy +σzz3- среднее напряжение, ys - константа.Разрушенный материал представляется раздробленной средой. Такоепредставление обусловливает 2 свойства:1. Отсутствие растягивающих напряжений (Di ≤ 0, где D - диагональный тензор главных напряжений, i = x, y, z).2. В момент разрушения уменьшается модуль сдвига µn+1 = αµn присохранении модуля всестороннего сжатия.
Соответственно, скоростизвука c1 , c2 будут иметь вид:r4cn1 2 − cn2 2 (1 − α),3√n+1c2= αcn2 .cn+1=1(30)В расчетах бралось α = 0.1.Данная модель использовалась в [10].Корректировка на каждом шаге происходит в несколько этапов:1. Переход к базису главных напряжений,Dn = W σnW T ,(31)где W - матрица, составленная из собственных векторов тензоранапряжения.152. Положительные главные напряжения зануляются,Din+1 = min(0, Din ), i = x, y, z.(32)3. Осуществляется обратный переход,σ n+1 = W T D n+1 W .(33)Такая модель может быть использована при изучении разрушенийхрупких материалов, подверженных дроблению, в том числе применимапри моделировании сейсмостойкости сооружений.6.1.1Сейсмостойкость купола АЭСЗемлетрясение описывается как одиночный цуг плоской волны, падающий из недр Земли перпендикулярно земной поверхности.
Длина волны3м, магнитуда 0.5м/с. Параметры грунта c1 = 3000 м/с, c2 = 1500 м/с,ρ = 2500 кг/м3 .Сооружения представляются монолитными бетонными конструкциями с параметрами c1 = 5000 м/с, c2 = 3000 м/с, ρ = 4000 кг/м3 .Купол АЭС имеет сложную структуру для обеспечения безопасностисамого реактора. Он находится в центре и крепится на балках, по которым сейсмические волны практически не доходят. Крыша станции имеетформу купола также для большей сейсмоустойчивости. Высота станции30м, толщина стен 4м.Из расчетов рис. 3 видно, разрушение не доходит до реактора, чтоподтверждает правильность выбранной конструкции.16ys = 2.0 МПаys = 2.5 МПаРис.
3: Сейсмостойкость купольной конструкции при различных модулях сдвига бетона. Черным цветом показаны зоны разрушения.6.1.2Сейсмостойкость двухэтажного жилого домаДалее приведен расчет разрушения двухэтажного жилого дома с ленточным фундаментом (трёхмерный расчет). Толщина стен 40см, магнитуда землетрясения 0.1м/с, в 5 раз меньше, чем на предыдущем расчете.Проведено 2 серии расчетов для различных модулей прочности (1.0МПаи 1.5МПа).На рисунках 4 показано сравнение картины разрушений без учета поправок, вызванных разрушевшимися областями (слева) и с учетом (справа).6.1.3Взрыв круга из центраСледующая задача на рис.
5 состоит в расчете внутреннего взрыва вдвумерном случае. На внутренней стороне кольца, составленного из 4-хсеток, задаётся сила, направленная от центра. Наибольшим интересом иособенностью данной задачи является то, что, несмотря на использова-17ys = 1.0 МПаys = 1.5 МПаРис. 4: Сейсмостойкость двухэтажного жилого дома.ние сдвиговой модели, явно выделяются трещины.Расположение трещин связано с границами сеток, но не их кривизна.Можно считать, что неоднородность рядом с контактными границамиесть случайная неоднородность материала кольца.
В абсолютно однородном кольце таких трещин, понятное дело, не возникнет.Рис. 5: Рост трещин в пластине.6.2Модель однобереговых трещинТрещины моделируются следующим образом. Выбираются все узлы,расстояние от которых до трещины меньше 0.5h, где h - размер ячеек.18В них записывается направление трещины, как показано на рисунке 6.Рис. 6: Моделирование трещины на прямоугольной сетке.Напряжения в узлах с трещинами должны удовлетворять свойствуσ × d = 0,(34)σ0 < max(Di ),(35)где d - нормаль к трешище.Критерий разрушения:где σ0 - максимальное напряжение (предел прочности на разрыв).
Привыполнении критерия образуется трещина, нормаль которой совпадаетс максимальным растягивающим напряжением.В одном узле может быть максимум n−1 взаимно перпендикулярныхтрещины, где n - размерность пространства. Если же образуется n-аятрещина, то материал полностью разрушается (крошится) и дальнейшаякорректировка идет согласно сдвиговой модели.Введем понятие «базис трещин» - ортонормированный базис, в который входят нормали всех трещин, а выбор других векторов для дальнейшего алгоритма не принципиален. Матрица перехода к этому базису19Q строится таким образом, чтобы первые s её столбцов соответвовалитрещинам, где s - количество трещин.Алгоритм корректировки в однобереговой модели:1.
Переходим в базис трещин, в нем тензор напряжений уже не будетдиагональнымS n = Qσ n QT ,2. Зануляем первые s столбцов и строк0, если i ≤ s или j ≤ sn+1Sij =S n , иначеij(36)(37)3. Возвращаемся в исходный базисσ n+1 = QT S n+1 Q.(38)Сжимающие напряжения в рассматриваемой модели не допускаются,релаксация трещин не рассматривается.Далее приведены результаты расчетов с обезразмеренными параметрами (7800 кг/м3 = 1, 5700 м/с = 1, 5 мм = 1).
Параметры стекла:ρ = 0.3, c1 = 1, c2 = 0.5, прочность на разрыв 3 · 10−4 . Параметры стали:ρ = 1, c1 = 1, c2 = 0.5.Размер расчетных ячеек 0.01. Шаг интегрирования по времени 0.005.6.2.1Соударение стальной и стеклянных пластинТолщина ударника 0.1, толщина пластины 1, скорость ударника 0.003,нижняя граница стекла - свободная. Из экспериментов известен эффекттыльного откола: при ударе по плите с одной стороны, происходит откол20материала с обратной. С физической точки зрения, откол происходит, когда фронт отраженной от задней границы волны встречается с заднимфронтом падающей волны. Таким образом, толщина откольной чашечкиравняется половине длины волны. При такой конфигурации удара длинаволны составляет удвоеную ширину ударника.
Следовательно, толщинаоткола должна в точности совпадать с шириной ударника. Этот эффектиспользуется для тестирования алгоритма разрушений. Как видно изрис. 7, результаты численного моделирования хорошо соотносятся с экспериментальными данными.t=0.25t=1.10t=1.75t=3.00Рис. 7: Нормальный удар пластины о стекло в разные моменты времени. Чернымилиниями отмечены образовавшиеся трещины, белыми - изолинии скоростей.Насыщенность цвета соответствует также модулям скоростей.6.2.2Соударение стального шарика и стеклянной пластиныДиаметр ударника 0.5, скорость 0.006, толщина пластины 1.
Граничные условия аналогичны предыдущему расчету. Из рис. 9 и рис. 10 можно заметить, что стекло расскалывается примерно пополам, что хорошо соотносится с экспериментом. Известно, что при ударе по стеклу, в21vx = 0.003, vy = 0.001vx = 0.003, vy = 0.002vx = 0.003, vy = 0.003vx = 0.006, vy = 0.001Рис. 8: Удар с различными скоростями и под различными углами. Компоненты скоростей ударника подписаны к каждому рисунку. Динамический контакт условие слипания.нем образуются кольцевые трещины вокруг места удара.
В приведенномдвумерном численном эксперименте тоже есть трещины, очень схожие сданным эффектом.0.251.11.62.6Рис. 9: Нормальный удар шарика о стекло (представлены картины разрушения в разные моменты времени). Черными линиями отмечены образовавшиеся трещины, белыми - изолинии скоростей. Насыщенность цвета соответствует такжемодулям скоростей.22vx = 0, vy = 0.004vx = 0.02, vy = 0.004Рис. 10: Сравнение прямого и скользящего без трения ударов.6.2.3Соударение двух шариков о стеклянную пластинуДиаметр каждого ударника 0.5, скорость 0.004, толщина пластины 1.Второй ударник падает спустя 0.0012 после первого. Граничные условияаналогичны предыдущему расчету. Результаты отображены на рис. 11.Интересно отметить, что первые трещины появляются сразу же послепадения второго ударника, трещин больше справа.1.22.03.010Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
