Лепин В.Н. Помехозащита РЭСУ летательными аппаратами и оружием (2017) (1186260), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Существует решение уравнения Фредгольма и для других корреляционных функций помех, в частности, для стационарных помех, спектральная плотность которых описывается дробно- рациональным спектром. Рациональныа ядра Помеховое колебание н(т) представляет собой отклик стационарной линейной пассивной цепи с сосредоточенными параметрами (фильтр), возбуждаемой белым гауссовым шумом. В данном случае корреляционная функция зависит только от разности аргументов г = г — г,.
Фурье-преобразование от корреляционной функции К„(г — т,) =К„(т) имеетвид Я„(в) = ~К„(г)ехр( — )вг)т)г и является отношением двух полиномов по переменной от. Чис- литель и знаменатель имеют порядки р и ту соответственно: т'т'(в) М(в) При наличии белого внутреннего шума приемника Лго+ о (,) 2 отношение двух полиномов т1Г(в)/М(в) имеют одинаковый по- рядок р. Для бесконечного интервала наблюдения решение уравнения Фредгольма обеспечивается с помощью Фурье-преобразований импульсной характеристики гт„(в) и сигнала 5,(в): И„(в) = Я,(в)/Я„, (в) или 126 3.
Синтез опгииальных алгоритмов обнаружения радиолокационных сигналов... Ь„(г) = — ~ Н„(в) ехр(~ вг)бв. 1 При конечном интервале наблюдения основной метод решения сводится к отысканию дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, соответствующего интегральному уравнению. Напомним, что дельта-функция есть Фурье-преобразование от гармонического колебания: 1 6(т) = — 1ехр(~вт)бв. 2ж а с( 1 Г.
— сз(т) = — ~ звехр(1вт)с)в дт 2гт или в общем виде; ДГ(р) Б(т) = — ~ Лг(в) ехр(1 вт) с(в, 1 2'т (3.27) где р -+ сИт. Так как К(т) = — ~ У(в) ехр(~вт) с)в = — ~ ехр(3 вг) с)в, 1 г . 1 т )зг(в) 2РГ 2ж М(в) 1 г М(р)К(т)= — ~ М(в)Я(в) ехр(1 вт) дв = 2гт 1 г = — ~ Лг(в) ехр() вт) с)в. 2лт 127 В соответствии со свойствами Фурье-преобразования, когда дифференцирование функции эквивалентно умножению ее спектра на 1в, можно записать: 3. Синтез оптимальных алгоритмов обнаружения радиолокационных сигналов...
С учетом (3.27) получим равенство М(р)К(г) = тУ(р)о(г) . Умножим исходное уравнение Фредгольма на М(р): (3.28) М(р).(г) = ~М(р)К( —,)1)(г,)б,. о Учитывая (3.28), получаем М(р)а(Г) = ~ 11Г(р)тт(Г - Гт)гт(тг )т)Г, = тУ(р)тт(Г). о Таким образом, дифференциальное уравнение, соответствующее исходному интегральному уравнению Фредгольма, имеет вид М(р)а(г) = тт'(р)гт(г). (3.29) (3.30) тУ(р)тт,(г) =О, к =1...2д.
Общее решение дифференциального уравнения (3.30) состоит из суммы частного и однородных решений: гх )т(е) = )т„,(г)+ ~ а,)т,(г) (3.31) где ат выбираются исходя из граничных условий. Пример: Оптимальное обнаружение пачки из ту прямоугольных импульсов (длительность импульса т„, период повторения Т„, длительность пачки Т) на фоне низкочастотной помехи и белого шума. 128 Частное решение этого уравнения есть функция гт„(г), полученная выше. Однородные решения находятся путем решения дифференциального уравнения (3.29) с нулевой левой частью; 3, Синтез оптимальных алгоритиов обнаружения радиолокационных сигналов...
Полезный сигнал а(г) = геслг(г/г„) =1 при лТ„< г < пТ„+г„, л = 0,1,...,М вЂ” 1 в остальных случаях. Корреляционная функция помехи К„(г) = о„ехр(-а Ы), где о„— мощность помехи; а — ширина спектральной плотности помехи. Спектральная плотность такой помехи описывается рациональной функцией 2 2 Юк( ) о +а Спектральная плотность суммарного помехового сигнала Ло 2ао„' Мо оз на +4аа~тглго ~„,.(о)= — '+ г 2 о+а 2 о+а также описывается отношением двух полиномов. В соответствии с изложенной методикой дифференциальное уравнение, соответствующее исходному интегральному уравнению Фредгольма, имеет вид бз )1г ~ б2 ( 2'1 ,(,), а,(,) О /у(г)+ а' е4 — /ф) бгз 2~4, ~ М~ Для бесконечного времени наблюдения частотная характеристика оптимального фильтра описывается вьтраткением 2 2 2 ох+а где 5,(о) — Фурье-преобразование над полезным сигналом; 2 )у = — постоянная величина; тго = о ~(аЖ ) — отношение 2 гт 1+ 4ту„ помеха/внутренний шум.
3. Синтез оптимальных алгоритмов обнаружении радиолокационных сигналов... 2 фз а,(г) = 6(г)+ ехр( — фарг~), 2,0 тогда )т„(г) = ~з(г)т,(г - г)с) г = о „2 у2 з(г)+ ~ехр(-Яе — т~)з(г)с1т . 2,9 =4 Сложность интегрирования последнего выражения заключается в раскрытии модуля показателя экспоненты. Для его раскрытия рассмотрим несколько временных интервалов. 1. При г<0, когда г-г также меньше нуля, пределы интегрирования положительные 0< г Т, а з(г) при с<0 равен нулю. При этом независимо от г интегрируется правая ветвь экспоненты: з тк тмтаГ~~и Ь„(г)= — ~~к~ ~ ехр(гр(т — т))дг= ~то 2Ф,=о пгБ 2 2 к — 1 "ги+ти — ехр(,зг)~ ~ ехр(-сгт)с(г.
-аГО 2Ф "~и 2 2 2 В частности, при Лг = 1 тт„(г) = — ед' (1 — е Л" 1 . М~ 2(1 2. При г > Т, когда г — г всегда положительная, а а(г) также равен нулю, интегрируем левую ветвь экспоненты: Для нахождения импульсной характеристики Ь„(г) произведем свертку временных функций, соответствующих полезному сигналу з(г) и выражению в квадратных скобках; 3, Синтез оптимальных алгоритмов обнаружения радиолокационных сигналов... 2 2 ЛГ-! "зи+ии 2 а — р Ь„(г) = — ~ь ~ ехр( — б(г — т)) йт = ~Чо 2Ф 2 Г)2 ЛГ 1ити+тн — ехр( —,й)~~у ~ ехр(1гут)йт.
Ьго 2Ф В частности, при Ф = 1 Ь„(г) = — е 1з 1е 1з " -11 . 2 а'-,12 гг Уо 2Ф 3. При 0<г<Т интеграл распадается на два слагаемых, в первом из которых, когда г — т <0(г > г), экспонента берется со знаком плюс, а во втором, когда г- т > 0 (т < г), экспонента берет- ся со знаком минус: Ь (г)=— 2 ~ ЬГо ~ г ~2 '„ з(г)+ ~ехр(-211(г — т))а(т)йт+ 2)2 2 2 Т 1~РУг' Ф Ф ~. 21У В частности, при Ф = 1 2 Ф (3.32) с в 2Ь(г)+~а +4 — ~Ь(г) =О, 11Го решение которого имеет вид Ьо(г) = ащ ехр(-,й)+ аоз ехр(,й) . (3.33) 131 Для конечного интервала наблюдения решение в виде (3.32) необходимо дополнить решением однородного дифференциального уравнения: 3.
Синтез оптимальных алгоритиов обнаружения радиолокационных сигналов... В результате получим гт(г) = !т„(г)+тто(г). Складывая выражения (3. 32) и (3.33), легко убедиться, что при !тт = 1 Ь(г) = С+ аг охра г) и аз ехр(Я), 2 а где С = — и неизвестны коэффициенты а, и а,. Для нахож- Л'о Ф' дения неизвестных коэффициентов а, и аз подставим )т(г) = С+ а, ехр( —,суг)+ а, ехр(,тг) в исходное уравнение Фредгольма: ! = — о(С+ а, ехР(-Я+ аз ехРОУГ))+ т + ~о;, ехр(-а(г — гг1)(С+а,ехр( — Я)-нав ехр(йт))с)гг о Интегрируя последнее выражение и перегруппировывая члены, получим сумму двух экспоненциальных слагаемых с неизвестными коэффициентами, которая равна нулю. Поэтому, приравнивая зти коэффициенты к нулю, получим систему двух уравнений, решение которой позволяет определить неизвестные коэффициенты: 2 а'-,Ф (а-,9)-етгг(а+,И) )Чо тбт е гт (а+ уэ) — (а — гт) 2 а' — уз' (а+,бт) — е ггг(а —,0 2 дг ~2 е ттг(а-ф) -(а+тг!) Эффективность алгоритмов обнаружения определяется от- т ношением сигналтпомеха: гу = ~з(г)тт(г)с)г, которое при больших о 2ТГ а) значениях,вТ определяется отношением а и ф: д = — ~ — ~ и при !!го Ф 132 3.
Синтез оптимальных алгоритнов обнаружения радиолокационных сигналов... отсутствии коррелированной помехи (сг.= О, а =,б3 определяется отношением энергии сигнала к спектральной плотности шума 2Т ту = — (амплитуда сигнала равна единице). т1Го 3.3. Оптимальные алгоритиы обнаружения когерентных сигналов При радиолокационном наблюдении воздушного пространства или земной (морской) поверхности считается, что наблюдаемый объект находится в дальней зоне и принимаемое электромагнитное поле является плоской монохроматической волной со случайными амплитудой (А„) и начальной фазой (р„): Н.Л= А,и,Г~-.,) *РРГ, и ° ~ — *в„° 1~„) Р34~ . 2тг и отличается от зондирующего сигнала У,тг)ехр()отог) задержкой (г,) и доплеровским смещением частоты (лт ) . Направление прихода волны характеризуется углом О„.
Такой высокочастотный сигнал является когерентным, поскольку случайными являются его параметры только в начальной точке, то есть амплитуда и начальная фаза, а законы изменения огибающей и всех остальных параметров во времени известны. Функционал правдоподобия при наличии сигнала со случайными параметрами находится усреднением функционала правдоподобия для полностью известного сигнала (3.1) по формуле (3.35) где Рр,(х„) — априорная плотность распределения вектора случайных неинформационных параметров (для когерентного сигнала такими параметрами являются амплитуда и начальная фаза). 133 3.
Синтез оптимальных алгоритмов обнаружения радиолокационных сигналов... Отношение правдоподобия, в соответствии с (3.9), тс л(уь,(= р~аЦ~(~„~(а'(~,к(ма*,— 'д'). (зз~( 2 оо При этом решение уравнения Фредгольма для (т(г„х() (3.7) в предположении, что а(тг хг хо) = Ам ехр()У~) а (Г» хз хо) * комплексным сомножителем гт(т„х() = АоехР()Р„)Ут„(т„х().
(3.37) В справедливости (3.37) легко убедиться, разделив правую и левую части равенства (3.7) на А„ехр() р„) . После подстановки (3.37) в (3.36) в первом слагаемом показателя экспоненты можно выделить модуль и аргумент агя ком- плексного числа ке Цу(г„х())т'(г(,х()дг(дх( = КеА„ехр(щ,)У = оо =КеА„!где р(1(с„-) йг)=А„!К!соз(р„-) КК), 13.3В) где тс У = Цу(г„х()ут„'(г„х()дг(дх(. 13.39) оо этом величина д = Аод„, где д„= 2 2 2 При ттг.л Ща„я ~а„дг(дг с1х,дх, не зависит от неизвестной начальной оооо фазы, а гу„— отношение сигнал/помеха прн единичном сигнале. где ам(гз,ха,хо) — в соответствии с (3.34) нормированный полезный сигнал при А„=1 и р„=О, будет отличаться постоянным 3.
Синтез олтинальных алгоритнав обнаружения радиолокационных сигналов... Л(у(х, Ал) = ехр(-Ал(г~) — ( ехр( — Ал(2~сов(р„-агя2)) Ыр„. Этот интеграл табличный и представляет собой функцию Бесселя нулевого порядка: 1о1и) = — ) ехр( — (и(сов(а — ао)) Йа. 1 г 2ж С учетом этого Л(у(х, А„) = ехр( — Алд~) 1о(Ал(2(). 13.40) Пусть теперь амплитуда является случайной величиной, распределенной по рэлеевскому закону: 2 Р, (А„)= ехр —, Ал >О, л Н где 1Зл — параметр закона Рзлея. Воспользовавшись известным интегралом (хехр(-рх )1отрх)с(х = — ехр(,8 /4р), гр 13.41) получим отношение правдоподобия для когерентного сигнала со случайной амплитудой и начальной фазой ОЭ 2 л(уь(= )~,р — — р( — мд.')ь(*В)а, = 2 2 1л~ 2Х>~ 2 о м т3.42) ( за Усредняя 13.35) по неизвестной начальной фазе в предположении, что она распределена равномерно в пределах Ьг, по- лучаем 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
