Горнец Н.Н., Рощин А.Г. Организация ЭВМ и систем (2006) (1186251), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Аз = -0011 — ~ Азлк 1 0011 — > Аок 1 1100 ~ » + ь АУ» 1 1101 Вз - -+ 1111 — э Вгк = 0 1111 -э (-В)г» = 1 111 -+ (-В)гк = 1 0000 -+ -+ (-В)У» = 1 0001 А~» + В~!к = С~!» = ФО 1110; С!"» = 0 1101 — > Ср = + 110!? Переполнение! Признаком переполнения в данном случае являются различные значения знаковых разрядов разности.
Выше рассматривались примеры сложения (вычитания) целых чисел с ФТ. Сложение дробных чисел с ФТ выполняется по тем же правилам. Пример 4.9. Сложить дробные числа Ам = -'/и и Вм = ч о/и с ФТ. А =-0001-~ Ау»= 1 0001 — > Агк = 1 1110 -э Ага = 1 1111 + + Вз = + 1101 -э В~" » = 0 1101 -э В2о» = 0 1101 -+ Вг» = 0 1101 АГ»»- ВГ» = СГ»= 90 1100-э Сзп»= 0 1100; Сз = -1100, Си = /и. Умножение чисел с фиксированной точкой. Умножение двоичных чисел проводится по существу так же, как и умножение десятичных.
Умножение выполняется по шагам. Число шагов равно Разрядности множителя. На каждом шаге множимое умножается на одну цифру множителя и получается частичное произведение (ЧП). Сумма всех ЧП, предварительно сдвинутых относительно друг друга, образует полное произведение. При этом направление сдвига зависит от используемого метода умножения. Разрядность произведения равна 2л при разрядности сомножителей, равной и.
Умножение целых и дробных чисел с ФТ выполняется по одинаковым алгоритмам. Отличие заключается только в том, что при умножении целых чисел для правильного расположения произве- 77 дения иногда в разрядной сетке необходим дополнительный сдвиг суммы ЧП вправо. Так как цифры множителя могут принимать только значения «0» и «1», ЧП могут быть равны либо нулю, либо множимому, поэтому умножение двоичных чисел сводится к повторяющимся микрооперациям сложения и сдвига. Сложение ЧП производится в сумматоре с двумя входами, поэтому их сумма накапливается постепенно, на каждом шаге. Различают следующие методы умножения (рис. 4.8): 1) начиная с младших разрядов множителя и сдвигом множимого влево; 2) начиная с младших разрядов множителя и сдвигом суммы ЧП вправо; 3) начиная со старших разрядов множителя и сдвигом множимого вправо; 18 Рне.
4.8. Схемы реализации методов умножения: а — метод 1; о — метод 2; в — метод 3; г — метод 4 4) начиная со старших разрядов множителя и сдвигом суммы ЧП влево. Для реализации любого метода схема включает в себя регистр множимого Мм, регистр множителя Мт, сумматор с регистром сумматора для накопления суммы ЧП и блок управления БУ.
При разрядности сомножителей, равной л, разрядность регистра множимого и сумматора зависит от метода умножения. На каждом шаге умножения в БУ проводится анализ одной цифры множителя. В зависимости от ее значения БУ формирует сигналы для выдачи множимого в сумматор, если цифра множителя равна «1», а также сигналы сдвига на регистр множителя и множимого (или суммы ЧП). Реализация методов 2 и 4 требует меньших аппаратурных затрат, так как при этом используется регистр множимого меньшей разрядности. Кроме того, при сдвиге множимого один из входов сумматора должен иметь удвоенную разрядность, что также увеличивает затраты на реализацию методов 1 и 3 (см.
рис. 4.8, а, в). Анализ схем реализации методов 2 и 4 показывает, что затраты можно уменьшить, если использовать освобождаюшиеся разряды регистра множителя для записи уже сформированных разрядов произведения так, как это показано на рис. 4.8, б, г пунктирными линиями. При умножении используются методы со сдвигом ЧП (рис. 4.9). Рис. 4.9. Схемы умножения: а — со сдвигом суммм ЧП вправо; о — со сдвигом суммы ЧП влево Таблица 4.1 Умножение чисел е ФТ Метод умножения Сумма ЧП Сдвиг Сложение ЧП, Сумма ЧП Сдвиг 01 010000 00010100 Сложение ЧП, Сумма ЧП Сдвиг 00111100 00101000 Сложение ЧПз 00101000 101 00000 Сумма ЧП = 00111100 = 00110010 = 11001000 = 01111000 Сдвиг 01100100 01 111000 Сложение 01010000 10100000 00001010 00001010 ЧП4 = 100000100'" = 10000010 = 10000010 = 10000010 МмхМт ' Фиктивный сдвиг, выполняется дяя регулярности умножения.
" Первое ЧП равно мно:кимому, сдвинутому на олин разряд вправо. "* Возможно временное переполнение. 80 Слагаемые, микроопе- рации Сумма ЧП Сдвиг 0000101 0 = 00001010 00000000 = 00001010 10000010 (!зо, ) 101 00000 = 10100000 00000000 = 01010000 1000001 0 !1ЗО„! 01010000" = 01010000 001 01 000 = 01111000 10000010 !1ЗО„1 0000101 0 = 00001010 00001010 = 00011110 1ООООО10 !1ЗОм> При умножении чисел со знаками отдельно определяются модуль произведения и его знак. Знак произведения определяется суммированием по модулю 2 знаков сомножителей. Вычисление моауля произведения может выполняться в прямом или дополнительном коде.
Пример определения модуля произведения различными методами в ПК при умножении чисел Мм,а — — 10 (Мм, = 1010) и Мт,р = 13 (Мт, = 1101) приведен в табл. 4.1. Умножение в ПК требует преобразования кодов, если числа хранятся в памяти в ДК, поэтому чаще умножение выполняется непосредственно в ДК. При этом произведение ДК не всегда равно ДК произведения. В зависимости от сочетания знаков сомножителей необходимо определенным образом корректировать результат. Далее приводятся значения поправок при умножении дробных чисел с ФТ. 1. Если Мм > 0 и Мт > О, то Ммлк = )Мм~ и Мтак = )Мт~.
Тогда Ммд" х Мтак = )Мм~ х ~Мт) = )Мм х Мт) = (Мм х Мт)д". Коррекция не нужна. 2. Если Мм > 0 и Мт < О, то Ммд" = (Мм~ и Мта" = 1 — ~Мт~. Тогда Ммд" х Мтак = ~Мм! х (1 — )Мт~) = ~Мм! — ~Мм! х ~Мт). Так как (Мм х Мт)лк = 1 — ~Мм х Мт ~ = 1 — (Мм) х )Мт(, то нужна коррекция и величина корректирующей поправки Ь = 1 — ~Мм~, т.е. дополнению множимого, взятого со знаком минус. 3. Если Мм < 0 и Мт > О, то Ммд" = 1 — )Мм~ и Мта" = ~Мт!. Тогда Ммлк х Мта" = (1 — ~Мм!) х (Мт~ = (Мт~ — ~Мм х Мт~. Так как (Мм х Мт)л" = 1 — ~Мм х Мт~ = 1 — )Мм! х (Мт~, то нужна коррекция и величина корректирующей поправки д = 1 — ~Мт~, т.е. дополнению множителя, взятого со знаком минус. 4.
Если Мм < 0 и Мт< О,то Ммл"=1- ~Мм(и Мта"=1- )Мт). Тогда Ммл" х Мта" = (1 — !Мм~)(1 — ~Мт!) = 1 — )Мт~ — ~Мм! + ~Мм х Мт!. Так как (Мм х Мт)д" = ~Мм х Мт~ = ~Мм~ х ~Мт~, то нужна коррекция и величина корректирующей поправки Ь = ~Мм~+ ~Мт~— — 1. Так как вычитание единицы приводит только к изменению знакового разряда, а знак определяется отдельно, то величина поправки может быль принята равной сумме модулей множимого и множителя, т.е.
д = ~Мм~ + ~Мт~. Поправки вводятся на дополнительном шаге умножения. Примеры умножения чисел в ДК по методу 2 приведены в табл. 4.2: ~Мм~ = 1010; ЯМм!)а" = 0110; )Мт! = 1101; (-~Мт))д" = 0011. Ускореяие умножения. Умножение относится к длинным опеРациям, время выполнения которых значительно превышает время сложения. Для повышения быстродействия часто используют логические и аппаратные методы ускорения умножения. Погические методы основаны на одновременном анализе нескольких цифр множителя и сокращении за счет этого числа микроопераций.
Ре- 81 Таблица 4.2 Умножение в доиолиительиом коде Знаки сомножителей Мм>0, Мт< 0 Мм< О, Мт>0 Мм< О, Мт< 0 Мм>0, Мт>0 10100000 01100000 01100000 чп, 101 00000 Сумма ЧП = 101 00000 = 01100000 =01 100000 = 10100000 Сдвиг 01010000 01010000 001! 0000 00110000 Сложение 00000000 01! 00000 чп 10100000 =111!0000 =00!10000 = 10010000 =01010000 00011000 01001000 00101000 01! 11000 Сложение чп, 01100000 00000000 = 01 111000 = 01001 000 Сумма ЧП Сдвиг 01 100100 001 11100 00111100 001 00100 Сложение 10100000 01! 00000 00000000 чп„ Сумма ЧП = 100000100 =00111100 =10011100 =00100!00 Сдвиг 10000010 00011110 0100!!! 0 000! 0010 Коррекция МмхМт 10000010 =01!1!11О =О!111110 =10000010 (Мм х Мт)л~ 0 10000010 1 01111110 1 01111110 0 10000010 82 Слагаемые, микроонера- ции Сумма ЧП Сложение Сумма ЧП Сдвиг 10100000 = 1100!000 Коррекция не нужна 00000000 =01 111000 +0110 Коррекция +00!1 Коррекция + 10!0 +1101 Коррекция лизация логических методов приводит к усложнению БУ АЛУ.
,1лларатные методы обеспечивают одновременное выполнение нескольких микроопераций за счет дополнительной аппаратуры. Часто используют комбинации логических и аппаратных методов. Яогические методы ускорения умножения. Самым простым методом ускорения является пропуск такта суммирования, если очередная цифра множителя равна нулю. В этом случае сокращается число микроопераций суммирования. Более эффективными являются методы с одновременным анализом нескольких цифр множителя. При этом уменьшается как число сложений, так и сдвигов. В качестве примера рассмотрим модифицированный алгоритм Буга.
Сущность метода заключается в том, что одновременно анализируются три разряда множителя: два текущих и старший разряд из предыдущей тройки. В зависимости от значения анализируемых разрядов выполняются действия, указанные в табл. 4.3. Фактически в методе Бута на каждом шаге выполняется умножение множимого одновременно на две цифры множителя.
Существуют методы умножения с непосредственной расшифровкой нескольких разрядов множителя. Наиболее распространен метод умножения с расшифровкой двух разрядов множителя (табл. 4.4). Комбинация 11 = 100 — 1, поэтому прибавление утроенного множимого заменяется вычитанием множимого с прибавлением единицы к следующей паре разрядов. Вычитание множимого заменяется прибавлением дополнения множимого. При наличии переноса из предыдущей пары следующая пара увеличивается на единицу. На каждом шаге после суммирования сумма ЧП сдвига- Таблица 4.3 Умножение по алгоритму Бута 83 Таблица 4.4 Умножение с расшифровкой двух разрядов множителя ется на два разряда вправо. Если возник перенос из последней пары, то на дополнительном шаге умножения к сумме ЧП добавляется множимое.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
