Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем (2001) (1186219), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Такая схема должна одновременно выпол­нять несколько функций: являться адекватным математическимописанием объекта моделирования, т. е. системы S, служить осно­вой для построения алгоритмов и программ при машинной ре­ализации модели М, позволять в упрощенном варианте (для част­ных случаев) проводить аналитические исследования.Приведенные требования в определенной степени противоречи­вы. Тем не менее в рамках обобщенного подхода на основе А-схемудается найти между ними некоторый компромисс.По традиции, установившейся в математике вообще и в при­кладной математике в частности, при агрегативном подходе снача­ла дается формальное определение объекта моделирования — агрегативной системы, которая является математической схемой, отоб­ражающей системный характер изучаемых объектов.

При агрега­тивном описании сложный объект (система) разбивается на конеч­ное число частей (подсистем), сохраняя при этом связи, обеспечива­ющие их взаимодействие. Если некоторые из полученных подсистемоказываются в свою очередь еще достаточно сложными, то процесс75их разбиения продолжается до тех пор, пока не образуются подси­стемы, которые в условиях рассматриваемой задачи моделированиямогут считаться удобными для математического описания.

В ре­зультате такой декомпозиции сложная система представляется в ви­де многоуровневой конструкции из взаимосвязанных элементов,объединенных в подсистемы различных уровней [35].В качестве элемента А-схемы выступает агрегат, а связь междуагрегатами (внутри системы S и с внешней средой Е) осуществляет­ся с помощью оператора сопряжения R. Очевидно, что агрегат самможет рассматрвиаться как А-схема, т.

е. может разбиваться наэлементы (агрегаты) следующего уровня.Любой агрегат характеризуется следующими множествами: мо­ментов времени Т, входных X и выходных Y сигналов, состоянийZ в каждый момент времени Г. Состояние агрегата в моментвремени teT обозначается как z(t)eZ, а входные и выходныесигналы — как x(t)eX и y(t)e Y соответственно [4].Будем полагать, что переход агрегата из состояния z (tj в состо­яние z(t2)^z(t1) происходит за малый интервал времени, т. е. имеетместо скачок Sz. Переходы агрегата из состояния z(/j) в z(t2)определяются собственными (внутренними) параметрами самогоагрегата h{t)eHm входными сигналами x{t)eX.В начальный момент времени г0 состояния z имеют значения,равные z°, т. е.

z°=z(t0), задаваемые законом распределения про­цесса z(t) в момент времени /0, а именно L [z(t0)]. Предположим,что процесс функционирования агрегата в случае воздействия вход­ного сигнала х„ описывается случайным оператором V. Тогда в мо­мент поступления в агрегат /ле Г входного сигнала х„ можно опре­делить состояниеz(tn+0)=V[tn,z(t„),xd.Обозначим полуинтервал времени tt<t^t2 как {tlf fj, а полуин­тервал ti^t<t2 — как [tlt t2).

Если интервал времени (/„, f„+i) несодержит ни одного момента поступления сигналов, то для te(t„,f„+i) состояние агрегата определяется случайным операторомU в соответствии с соотношениемz(t)=U[t,t„,z(t„+0)].Совокупность случайных операторов V и U рассматривается какоператор переходов агрегата в новые состояния.

При этом процессфункционирования агрегата состоит из скачков состояний Sz в мо­менты поступления входных сигналов х (оператор V) и измененийсостояний между этими моментами t„ и tn+1 (оператор U). Наоператор U не накладывается никаких ограничений, поэтому до­пустимы скачки состояний Sz в моменты времени, не являющиесямоментами поступления входных сигналов х. В дальнейшем момен­ты скачков bz будем называть особыми моментами времени tb,76а состояния z(tj) — особыми состояниями А-схемы. Для описанияскачков состояний 8z в особые моменты времени ts будем использо­вать случайный оператор W, представляющий собой частный слу­чай оператора U, т. е.z(ts+0)=W[ts,z(ts)].В множестве состояний Z выделяется такое подмножество ZP,что если z(ts) достигает ZS^, то это состояние является моментомвыдачи выходного сигнала, определяемого оператором выходовТаким образом, под агрегатом будем понимать любой объект,определяемый упорядоченной совокупностью рассмотренных мно­жеств Т, X, Y, Z, ZS^, Я н случайных операторов V, U, W, G.Последовательность входных сигналов, расположенных в по­рядке их поступления в А-схему, будем называть входным сообще­нием или х-сообщением.

Последовательность выходных сигналов,упорядоченную относительно времени выдачи, назовем выходнымсообщением или у-сообщением.Возможные приложения. Существует класс больших систем, ко­торые ввиду их сложности не могут быть формализованы в видематематических схем одиночных агрегатов, поэтому их формализу­ют некоторой конструкцией из отдельных агрегатов А„ и=1, NA,которую назовем агрегативной системой или А-схемой.

Для описа­ния некоторой реальной системы S в виде А-схемы необходимоиметь описание как отдельных агрегатов А„, так и связей междуними.Пример Z10. Рассмотрим А-схему, структура которой приведена на рис. 2.11.Функционирование А-схемы связано с переработкой информации, передача послед­ней на схеме показана стрелками. Вся информация, циркулирующая в А-схеме,делится на внешнюю и внутреннюю. Внешняя информация поступает от внешнихобъектов, не являющихся элементами рассматриваемой схемы, а внутренняя инфор­мация вырабатывается агрегатами самой А-схемы. Обмен информацией междуА-схемой и внешней средой Е происходит через агрегаты, которые называютсяполюсами А-схемы. При этом различают входные полюсы Л-схемы, представляющиесобой агрегаты, на которые поступают х-сообщения (агрегаты Av A2, А6), и выход­ные полюсы А-схемы, выходная информация которых является ^-сообщениями(агрегаты Al3 A3, A4, As, Ав).

Агрегаты, не являющиеся полюсами, называютсявнутренними.Каждый л-й агрегат А-схемы Ап имеет входные контакты, накоторые поступает совокупность элементарных сигналов xt(t),i= l, Jn, одновременно возникающих на входе элемента, и выходныеконтакты, с которых снимается совокупность элементарных сиг­налов yj(t), j=\, Jn- Таким образом, каждый агрегат .4-схемыА„ имеет /„ входных и /„ выходных контактов.Описание отдельного агрегата уже рассмотрено, поэтомудля построения формального понятия А-схемы остается выбрать77достаточно удобные спосо­бы математического описа­ния взаимодействия междуагрегатами. Для этого вве­дем ряд предположений озакономерностях функцио­нирования А-схем, хорошосогласующихся с опытом ис­следования реальных слож­ных систем [4]: 1) взаимодей­ствие между А-схемой и вне­шней средой Е, а также меж­ду отдельными агрегатамивнутри системы S осуществ­ляется при передаче сигна­лов, причем взаимные влия­ния, имеющие место вне ме­ханизма обмена сигналами,не учитываются; 2) для опи­сания сигнала достаточнонекоторого конечного набо­Рис.

2.11. Структура агрегативной системыра характеристик; 3) элемен­тарные сигналы мгновенно передаются в А-схеме независимо другот друга по элементарным каналам; 4) к входному контакту любогоэлемента А-схемы подключается не более чем один элементарныйканал, к выходному контакту — любое конечное число элементар­ных каналов при условии, что ко входу одного и того же элементаЛ-схемы направляется не более чем один из упомянутых элементар­ных каналов.Взаимодействие А-схемы с внешней средой Е рассматриваетсякак обмен сигналами между внешней средой Е и элементами Асхемы. В соответствии с этим внешнюю среду Е можно представитьв виде фиктивного элемента системы А0, вход которого содержит /входных контактов ЛГ/0), /= 1, / 0 , а выход — J0 выходных контактовУ/0), i = l , J0. Сигнал, выдаваемый А-схемой во внешнюю среду Е,принимается элементом А0 как входной сигнал, состоящий из эле­ментарных сигналов x^it),x2m(t), ..., JC/„(O)(0- Сигнал, поступа­ющий в А-схему из внешней среды Е, является выходным сигналомэлемента А0 и состоит из элементарных сигналов 7i,0)(0» уг{0) t, ...У{\ (ОТаким образом, каждый Ап (в том числе и А0) как элементА-схемы в рамках принятых предположений о механизме обменасигналами достаточно охарактеризоватьмножеством входных конXInw, которое обозначим {X,in)}, и множествомтактов AV0, Х21я\выходных контактов Y^.

У (п)Yjl"\ которое обозначим {У/"'},78где и=0, NA. Полученная пара множеств {Х,^}, {У/0} являетсяматематической моделью элемента Ат используемого для фор­мального описания сопряжения его с прочими элементами А-схемыи внешней средой Е.В силу предположения о независимости передачи сигналов каж­дому входному контактуя=0соответствует не более чем один выходной контактY$e и то.и=0*лгде \J {Xf*} — множество входных контактов всех элементов Асхемы и внешней среды Е; [j {Y J0} — множество выходных коня«0тактов всех элементов А-схемы и внешней среды Е, с которымиона связана элементарным каналом; к, л=0, NA.Поэтому можно ввести однозначный оператор У?= R(Xi(f>)) с областью" определения в множестве (J {Х\п)} и областью значенийыЛ"=0в множестве [j {Yf*}, сопоставляющий входному контакту ЛТ,Мвыходной контакт Y,lk), связанный с ним элементарным каналом.Если в А-схеме к контакту Xt(n) не подключен никакой элементарныйканал, то оператор R не определен на этом контакте Xtw.

ОператорR называется оператором сопряжения элементов (агрегатов) в Асхему. Совокупность множеств {Х,м}, {У/4} и оператор R образуютсхему сопряжения элементов в систему S.Рассмотрим оператор сопряжения для А-схемы, структура кото­рой показана на рис. 2.11. Оператор сопряжения R можно задатьв виде таблицы, в которой на пересечении строк с номерамиэлементов (агрегатов) п и столбцов с номерами контактов i рас­полагаются пары чисел к, I, указывающие номерэлемента к и номерконтакта /, с которым соединен контакт Ar,w (табл.

Характеристики

Список файлов книги