Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем (3-е изд., 2001) (1186218), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Если количество реализаций N достаточно велико, тополученные результаты моделирования системы приобретают статистическую устойчивость и с достаточной точностью могут бытьприняты в качестве оценок искомых характеристик процесса функционирования системы S.Теоретической основой метода статистического моделирования систем на ЭВМявляются предельные теоремы теории вероятностей [2, 13]. Множества случайныхявлений (событий, величин) подчиняются определенным закономерностям, позволяющим не только прогнозировать их поведение, но и количественно оценить некоторые средние их характеристики, проявляющие определенную устойчивость.
Характерные закономерности наблюдаются также в распределениях случайных величин,которые образуются при сложении множества воздействий. Выражением этих закономерностей н устойчивости средних показателей являются так называемые предельные теоремы теории вероятностей, часть из которых приводится ниже в пригоднойдля практического использования при статистическом моделировании формулировке. Принципиальное значение предельных теорем состоит в том, что они гарантируют высокое качество статистических оценок при весьма большом числе испытаний(реализаций) N. Практически приемлемые при статистическом моделировании количественные оценки характеристик систем часто могут быть получены уже присравнительно небольших (при использовании ЭВМ) N.Неравенство Чебышева.
Для неотрицательной функции #(£) случайной величины( и любого К> 0 выполняется неравенство/ • { * « ) > * } <J/fc«)]/K.<41)В частности, если g (£) = (£—х)2 и ЛГ=Л2<гг (где Зс — среднее арифметическое;"а — среднее квадратическое отклонение), тоI>U-~A>k<5\*k\\tf.(4.2)Теорема Бернулля. Если проводится .V независимых испытаний, в каждом изкоторых некоторое событие А осуществляется с вероятностью р, то относительнаячастота появления события m/N при N-*ao сходится по вероятности к р, т.
е. прилюбом «>0109lim P{\m/N-p\>e}-Q,(4.3)W->ooгде m — число положительных исходов испытания.Теорема Пуассона. Если проводится N независимых испытаний и вероятностьосуществления события А в 2-м испытании равна рь то относительная частотапоявления события m/N при JV-+oo сходится по вероятности к среднему из вероятностей pi, т. е. при любом £>0lim Р\ \mfN--£ * »Uo.(4.4)Теорема Чебышева. Если в N независимых испытаниях наблюдаются значенияxlt ..., Xf, случайной величины %, то при N-*oo среднее арифметическое значенийслучайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию а,т. е. при любом £>0Г11 »I 1Ьп Р\ - I х,-аЫ\шО.(4.5)Обобщенная теорема Чебышева. Если {„ ..., <f„ — независимые случайные величины с математическими ожиданиями аи ..., а„ и дисперсиями а\,.., о%, ограниченными сверху одним и тем же числом, то при N-»oo среднее арифметическое значенийслучайной величины сходится по вероятности к среднему арифметическому ихматематических ожидании:Ит Р < -I*|-- Iа,- > Е | = 0 .(4.6)Теорема Маркова.
Выражение (4.6) справедливо и для зависимых случайныхвеличин {t£я, если только11111*[,?,*>'^ я I F• *• |=°-Совокупность теорем, устанавливающих устойчивость средних показателей, принято называть законом больших чисел.Центральная предельная теорема. Если £t{„ — независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие математическое ожидание а и дисперсию в1, то при Лт->оо закон распределения суммы £ х, неограниченно приближаетсяк нормальному:рMm * | « < ( S x,-Na\UNe<{l\~-^ Г^Здесь интеграл вероятностей«о ( У ) - ПОj.*Л=Ф 0 (/?)-<&<,(«)•(4.7)Теорема Лапласа. Вели в каждом из N независимых испытаний событие А появляется с вероятностью р, тоKm Р{а<(т-Л>)Д/Л!р(1-/>)</»}=Ф0(Я-Ф0(«),(4.8)где т — число появлений события А в N испытаниях. Теорема Лапласа являетсячастным случаем центральной предельной теоремы.Примеры статистического моделирования.
Статистическое моделирование систем на ЭВМ требует формирования значений случайных величин, что реализуется с помощью датчиков (генераторов)случайных чисел. Не останавливаясь пока на способах их реализации для целей моделирования на ЭВМ, поясним сущность методастатистического моделирования следующими примерами.Пример 4.1. Необходимо методом статистического моделирования найти оценкиI ш.выходных характеристик некоторой стоха\ tстической системы SR, функционированиеПг"| Внешняякоторой описывается следующими соотно1_£1 среда Ешениями: *= 1-е"- -входное воздейстj^--.--,.,вие, «=1—е • — воздействие внешней ереiгН'да, где X и <р — случайные величины, дляj\KZ\ uiкоторых известны их функции распределе^_^ I,' **Т^/?,' ^_^ j у.ния. Целью моделирования является оценкауГд"!*^! г Г^**[_Ц Q [_J ^ 1—i—i~математического ожидания М [у] величины\zll | L - i l Т — I fy L—J Iу.
Зависимость последней от входногоi'воздействия х и воздействия внешней среды^ 4Л CtpyKI№auс х е м а систе.v имеет вид y=\x1+v1.мы £„В качестве оценки математическогоожидания М [у], как следует из приведенных теорем теории вероятностей, можетвыступать среднее арифметическое, вычисленное по формулеу-- I л"1-1где у( — случайное значение величины у; N — число реализаций, необходимое длястатистической устойчивости результатов.Структурная схема системы SR показана на рис.
4.1.Здесь элементы выполняют следующие функции:вычисление В}:х, = 1 -t'Xl и В2: «/=1 -е - "';возведение в квадрат Кх:\2- 2;КV •:ЛГ=(1-еА » _ П __» т>Л2А;=(1-е "')') 2 !21,9суммирование С:Л,=(1-е- "Т* *+. ( 1 - еизвлечение квадратного корня И:т') 2 ;,,-Vd-e V + O-e'VУ,Схема алгоритма,' реализующего метод статистического моделирования дляоценки М\у] системы SR, приведена на рис. 4.2. Здесь ЬАя FI — функции распределе111ния случайных величин Я и <р; N — заданное число реализаций; I=i — номер текущей реализации; LAT=X,; FII =</>,;ГПуск}•fInВИД[Н,ЬЛ,Щ\u—-тт.—_9L_EXP^e; MYmM\y], SYs £л— сумми---[SY=0Урующая ячейка; ВИД [...], ГЕН [...],ВРМ[...] — процедуры ввода исходныхгенерации псевдослучайных по||" ГЕН [ Ы 1 ]' f~MY=SY/N | данных,следовательностей и выдачи результатовмоделирования соответственно.Г— 4- 'Таким образом, данная модель позво|[_£РЛ|[МУ]_ ]XI=I-EXP(-LAI)ляет получить методом статистическогомоделирования на ЭВМ статистическую[f~rgfl[FHj ||(_ ОстаноВ ) оценку математического ожидания выходной характеристики М\у] рассмотреннойстохастической системы SK.
Точность\vi=1-EXPl-FU)и достоверность результатов взаимодейIствия в основном будут определяться чисzYIz*/XI +VI*лом реализаций N.Пример 4.2. Необходимо методом ста-8тистического моделирования найти оцен| s Y=S Y + Y I |ку площади фигуры (рис.
4.3), ограниченной осями координат, ординатой а = 1и кривой у =/(«); при этом для определенРис. 4.2. Схема моделирующего алности предполагается, что 0</*(а)<1 длягоритма системы SRвсех а, 0 < а < 1 .Таким образом, данная задача является чисто детерминированной и ее аналитическое решение сводится к вычислению определенного интеграла, т. е. искомаяплощадь фигурыI=trN*-?/(•)*•оДля решения этой детерминированной задачи методом статистического моделирования необходимо предварительно построить адекватную по выходным характеристикам стохастическую систему SD, оценки характеристик которой будут совпадать с искомыми в данной детерминированной задаче.
Вариант структурнойсхемы такой системы SD показан на рис. 4.4, где элементы выполняют следующиефункции:Внешняя среда £Система SРис. 4.3 Геометрическая интерпретация оценки площади фигуры112Рис 4.4 Структурная схема системы SDвычисление В1 :л;= fix,);'I, если x, + i «/(**),анализ А:Л=<0 в противном случаемсуммирование С: А - Е Айвычисление В 2 : S-=Л'/МСистема SD функционирует следующим образом: получается пара независимыхслучайных чисел интервала (0, 1), определяется координата точки (х„ xi+i), показанной на рис. 4.3, вычисляется ордината y,-=/(xi) и проводится сравнение величину, и х 1+1 ; причем если точка (х„ х, + 1) попала в площадь фигуры (в том числе и накривую f{x)), то исход испытания считается положительным Л,= 1 и в итоге можнополучить статистическую оценку площади фигуры 5ф по заданному числу реализаций N.Логическая схема моделирующего алгоритма вероятностной системы SD представлена на рис. 4.5.
Здесь Y= у =/(а) — заданная функция (табличная кривая);N—заданное число реализаций; / = / — номер текущей реализации; Х1=х(,яXIl=xl+1; Hlsh,; Sss; SHsh'=YА,—суммирующая ячейка.Таким образом, построение некоторой стохастической системы SD позволяетметодом статистического моделированияполучить оценки для детерминированнойзадачи.Пример 4.3. Необходимо методом статистического моделирования решить следующую задачу. Проводится s= 10 независимых выстрелов по мишени, причемвероятность попадания при одном выстреле задана и равна р.
Требуется оценить вероятность того, что число попаданий в мишень будет четным, т. е. О, 2,4, б,8, 10.Данная задача является вероятностной, причем существует ее аналитическоерешение:Р=1Cf0p"(l-P)10-".и-оВ качестве объекта статистическогомоделирования можно рассмотреть следующую вероятностную систему SP, структура которой представлена на рис. 4.6, гдеэлементы выполняют такие функции:анализ А^-и-если х,<р,в противном случае;юсуммирование С. h}= £ h„j=l, N;(Г/7yc/f ~ " )Г I —fl^ C/V, У]--£s"=fi§~ГЕН[Х1]\\\~°S = SH/N\~выч1нЦ||Ц~ ВРМ Cs3||Рис. 4.5. Схема моделирующего алгоритма системы SDВнешня* среда £Система SP) у •-!4<#ич1i•*»Рис. 4 6. Структурная схема системыSP113И, если hjчетное;(.0 в протнпротивном случае.Выходным воздействием в данной системе S, является событие четного числапопаданий в мишень в серии из десяти выстрелов.
В качестве оценки выходнойхарактеристики необходимо при числе испытаний (серий выстрелов), равном N,найти вероятность четного числа попаанализ А'(Пуск31£\[~ВИД[И,Р] ||••[SY= О-+\С!1=1 rN УHI-01IГPY=SY/N|I- * \ ~ 3=1 т\0 )-| |Г BPMJPY]^ЛГШХ1]||(^ Останов^Логическая схема алгоритма статистического моделирования для опенки искомой характеристики такой системы Р(у) приведена на рис.
4.7. ЗдесьPsp — заданная вероятность попадания в мишень при одном выстреле;jV — заданноечисло - реализаций;юXlsxiHJshj- £ hbPYsP(y);SYs Y, yj — суммирующая ячейка.J-iВ данном моделирующем алгоритме после ввода исходных данных и реализации операторов цикла происходит обращение к генератору случайныхчисел, т. е. получаются значения xt случайной величины, равномерно распределенной в интервале (0, 1). Вероятность попадания случайной' величиныв интервал (0, р), где с < 1, равна длинеэтого отрезка, т. е. Р {х(<р} =р. Поэтому при каждом моделировании выРис 4.7.
Схема моделирующего алгострела полученное случайное числоритма системы SrXj сравнивается с заданной вероятностью р и при xi<p регистрируется «попадание в мишень», а в противном случае — «промах». Далее моделируются сериииз десяти испытаний каждая, подсчитывается четное число «попадании» в каждойсерии и находится статистическая оценка искомой характеристики Р(у).Таким образом, подход при использовании статистического моделирования независимо от природы объекта исследования (будетли он детерминированным или стохастическим) является общим,причем при статистическом моделировании детерминированных систем (система SD в примере 4.2) необходимо предварительно построить стохастическую систему, выходные характеристики которой позволяют оценить искомые.Отметим, что во всех рассмотренных примерах не требуетсязапоминания всего множества генерируемых случайных чисел, используемых при статистическом моделировании системы S.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
