4. Математическая статистика. Ивченко_ Медведев (1984) (1186157), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Следовательно, в данном случае отношение 1 имеет вид(1.40). ° Звмечзнне. Теорема 1.12 допускает сбааление и»случай. ногин независимые выборки Х н Т приквдлежвт нормальным рвспределениям с разными мвтематнчеснкмн ожндзниямн р, н р» и одинвковымн дисперсиями. В этом случае вместо стьюдентавв отношения (1.40) следует ввести величину тл (сл+л — 2) (Х вЂ” р,) — (Р— рт) (1.41) т+л !т лБ» (Х)+льу»(Т) Очевидно, что Ж (х — р,) =- !т' (О, сл)л), Ж («' — р й = у (О, а'-!т) н дх т центр нрованных выборок 1Х! — и!, ..., Х„-рд н 1«'» — ре, ..., Км — р») выполнены условия теоремы 1.12, Отсюда палучвем. чта ь(Г)=3(л+т — 2) прн любык р„р» и ач)О 6.
Распределение Снедекора. Пусть случайные величины у'; и)(д независимы и о (у';)=Хт(п;), 1=1, 2. Рассмотрим отношение л ' л (1.42) Распределение случайной величины г" называют распределением Снедекора с и, и пт с(пепенялси свободы н обозначают 5(п„пт). Иногда эта распределение называют Р-распределением или распределением диспгрсионного отношения Фишера. Плотность )„„т (х) распределения 5 (п„п,) можно найти обычным методом. Используя формулы (1.36) и (1.27), после несложных преобразований получаем )лп лз (х) ~ !тпл (хУ)!д«/л, (У) ! У! ОУ ~ лт«тг (п»хр) п»)кс (пзУ)Ус(У= — »» о (л ! и Г ((л!+л»)!2) хлиз х) О. (1.43) «л») Г (л1)2) Г (лу2) (1 +лхх!ле)!~~+ »в)гз Раль Р-распределения в выборочной теории в определенной степени раскрывает следующее важное утверждение.
Теорема 1.13. Пусть Х=(Х„..., Х„) и Т=(уы ..., У„)— независимьм выборки из распргдгленис) г (р„а,') и е~ (р,, оз), 5' (Х) и 5» (У) — соответствующие выборочньм дисперсии. Тогда 32 33 и Ззчю Ъ!ОЗ! отношение и (т — 1) аг 3 (Х) (1.44) т (л — 1) а,- "Вз (Т) при любых ]г„)г„о!' и о, 'распределено по закону Снедекори с л — 1 и лг — ! степенями свободы. П По теореме 1.10, .й ((и/о',) 2з(Х))=Ха(п — 1), Х((т/о»т) 5т(т)) = =у'(т — 1) и 5Я(Х) и 5Я(т') независимы по условию.
Поэтому формула (1.42) в данном случае имеет внд (1.44). Ь С применениями этой теоремы мы встретимся в 9 2.6 н гл. 5. Задачн 1. Пусть ( — О,В; 2„9; 4,4; — 5,6; 1,1; — 3,2) — наблюданшнеся значення случайной величины. Посгровть соответствующую змпнрнческую функцню распределения Р,(х) н проверить, что Ег( — 5)=1/б, Р,(0)= !/2, Гэ(Я)=5/б. 2. В экспервменте наблюдалась целочнсленная случайная велнчнна $.
Соответствуюшае выборочные значения оказались равными (3, О, 4, 3, б, О, 3. !). Построить эмпирическую функцню раснределення Р, (х) н проверить, что Рэ(1)=З/8 Рэ(З)=З/4 Га(5)=7/8 3, Вычнслнть для данных задач 1 я 2 наблюдавшиеся значення выборочных средннх в дясперснй. 4. Прозоднлнсь опыты с бросанием одновременно 12 нгральпых костей. Наблюдаемую случайную велнчяку 5 бралн равной чнслу костей, на которых выла»ало 4, 5 нлн б очков, Пусть Ь! — число опытов, а которых наблюдалось значенне $=1 (г=О, 1, ..., 12). Данные для а=4096 опытов приведены в следующей таблице [9, с.38]: г ~ а~ г~ 3 ~ З ~ 4 ~ 3 ! Э Т ! З З ~ га~ Н гх~ Всего /г 0 7 60 !98 430 731 948 847 536 257 71 11 0 л 4096 левин случайных велнчнн Хоо н Хич равна и! Егг (х' У)=( 1)! ( !)! ( )! Р (х)/(х) [Р (У) Е (х)]г г гХ х/Ы[! — ЕЬ)]" '.
х~у. 9. Доказать, что совместная плотность всех порядковых стагнстнк Х,м...,, Хпн выбаркн объема л нэ абсолютно непрерывного распределення с плотностью /(х) равна и!/(хд.../(х„) прн хг(х (...(ха, а(х„..., ха)= О в остальных случаях. 10. Доказать, что прн выполнепнн условий теоремы 1.7 совместное распределеняе двух выборочных квантнлей 2, н 2 (р, ( ра) аснмптотнческн В»ч нормально со средннмн (~~, Ь ) н вторыми моментамя !!аг//л][, где а;г = = дт(1 — р/)/[/[(,!)/~~,,)~ 11. Доказать„что для абсолютно непрерывного распределеввя Е(х) край. нке пор!тканые стагнстнкн Хпч н Х,„+„прн и-ьоо н фнкснрованных г, а» ! аснмптотнческн незавнснмы. У казанке.
Перейти к случайным величинам м„=лГ(Х„,) н т)„=л]! — Р(хш,+г,)] н воспользоваться результатом задачи В. 12. Пусть Хгп ~Х<э,~...~х!ч,— варнацнонный ряд выборки вз экспо. невцнальпого распределения с плотностью /(х)=е-х, х»О. Доказать, что случайные величины Г,=(л — г+!) (Х „— Х„.,), г=1, ..., л, Хэ — — О, незавнснмы н одинаково распределены с плотностью /(х).
Получить отсюда формулу и ЕХг»! = ~,' 1Д. /=л — »+! У к аз а н н е. Записать совместную плотность распределеяня велвчнн Х, „ г=1...,, п, л! ехр — ~ хг . 0 ~х! (х, ( ...~хп Соо, в виде г=! Взяв в качестве ннтервалов дг=(1 — 1/2, 1+ 1/2), 1=0, 1, .... 12, постранть гистограмму н полнгон частот в зычвслнть выборочные среднее н днсперсню, а ты!же выборочные козффнпкенты аснмметрнн н эксцесса. 6. Принимая э задаче 4 Ж(5) = В/ (!2, 1/2), оценнть вероятность Р (! Ага — аг [т: 6), где 6 — вычнсленвое по указанным данным откаонепне выборочного среднего аг теоретнческого. У к а з а н н е. Воснользоваться теоре. мой 1.6 н соотношеннем (1.20). Ответ.
2Ф (3,7) — ! =0,99978. 6. Вывести формулу длн коварвацнн выборочных моментов: сот (А„»,А„)= (а», — а»аг)/Л. 7. Доказать, что соч (Х, Вэ) =(л — !) Рэ/пэ для выборки объема л. 6. Доказать. что совместная функцня распределения двух порядковых статистик Хоч н Хсо (! ~г(з ~п) прн х се имеет внд и л — 1 гг! Р,г(х, у)= !1 ~~) .. ' .. Ег(х)[Г(у) — Г(х)]/[! — ГЯ)]п-г-/, и /! (л — ! — Д! г=г/= мах !а, г-О н прн х»у Егг (х у) ГгЫ (здесь Г,(у) — функцяя распределения для Х,ю).
Показать также, что если расвределенне Е(х) абсолютно непрерывно, то совместная плотность распреде- л! ехр — ~ ', (л — г + 1)(х„ — х,.г) н показать, чта г=! Р(уг»/„г=1, ..., л)= Ц !) г 'бу,. г=! г„~ г 13. Пусть Х=(Хг, ..., Х„) — выборка нз равномерного на отрезке [а, Ь] распределення. Показать, что совместная плотность распределенкя экстремальных значений выборки Хл, н Хен нмеет ннд !р(х, у)= „(у — х)" ', а(хнау -Ь. л (и — 1) (Ь а)п Получить отсюда, что ЕХа, — — (па-[-Ь)/(л+!), ЕХ„„=(пЬ+а)/(а+1).
ВХ„, = ПХон =л (Ь вЂ” )'/[(а+1)' (и+2)[ сот (Ха„Х,„,) =(Ь вЂ” а)э/[(л+ 1)э (и+2)]. 14. Доказать, что если Ж(2)/ В(л), то моменты Е5» существуют прв Ь(л н равны э» "". (23 — ') л' 23 ~а цз»+ О, 23+(~п. (и — 2) (п — 4) ... (и — 2») ' Глана гг комбинации ~ ', с!я!; г=! моментов: Е (т )« —— (л)«р > « (чл)х») "(«, + .. + «»)р, '"' Получить ото!ада. чта а"-= ~~~ схр! — гх. Па!азат!к 37 1б. Доказать, чга если Х(кх)=кз(л), та при л-ьао З> к а ч в и н с. Воспользавэтьси свойством воспроизводимости и при. цснгрзльную предельную тсо ему.
применить 16. Доказать, чта если Х !г) =5(л) н Р !Я(к)=5л (г), та Нлт Ял(х)=Ф(х), 1пп зл(г)=Ф'(к)= =е ! л щ л и> )/хп 17. Гаво . Говорят, что вектор у=(чг, ..., т») с целочисленными нсатрицзтсльнычи компонентами, удовлетворяющими условию ч +...+т =л, имеет лазиналиильигм илн мульжинолиилвлса распре>аленка с параметрами л н р = =. (р, ..., р .) (абазпвчвстся Х(ч)=М(л, р)), соли для Ь=(«з, ..., И») «» ! 1 ...
И 1 ! ! » ! + + л '! " «> а) Показать, чта производящая функция для (тп ..., я«), й == Л!, ичсст вид б) найти производящую функцию линейной в) вывести следующие формулы длк Е(тг)„(т ) —,—;(л) „р,.р! н вообще, Е((т!)« "л" ... р,, где (г),=г(г — 1)... (г — а+1), (г)а=1 лр! (1 — р;) при > =/, сот (ч,, чг) = — лр>р> лри ! ~ й л г) пусть и=с!и -(-...-1-с т», с= ~ стр! '=! чта Е>)=сл, ()Ч=птл! д) найти совместную производящую функцию двух линейных комбинаций » » сгч! и,т)х= ~ х(гч! и вычислить с сс помощью сот(ип Чкн >'= ! х=! Оценивание неизвестных параметров распределений В настоящей главе в рамках произвольной параметрической статистической модели излагаются некоторые вопросы теории оценок нензвестнык параметров модели и функций от ник. Рассматриваются два традиционных подхода к ращвнию этих задач: точечное н интервальное оценнввнне (более общо — оцаннванне с помощью доверительных множеств).
Прн нзложвннн теории точечного оценнвання в основном рассматриваются несмещенные оценки и за меру точности разлнчнык оценок принимается величина нк дисперсии. Основное внимание уделяется методам построения оптимальнык оценок, прн этом рессмвтрнваются случаи как скалярного, так н векторного параметра. Излагаются различные подходы длк построения дозернгельнык интервалов и доверительнык множЕств, в том числе принцип атно>вения правдоподобия — один нэ наиболее универсальных современных принципов рещения многих статистических задач. й 2.1. Статистические оценки н общие требования к ним.
Несмещенные оценки с минимальной дисперсией !. Понятие статистической оценки. Это понятие уже встречалось в гл. 1. Так, говорилась, что значение эмпирической функции распределения в каждой точке можно рассматривать в качестве оценки для значения в этой точке теоретической функции распределения, а различные выборочные характеристики (моменты, квантили и т, д.) — как оценки соответствующих тео-. ретических характеристик.
При этом использование термина «оценках обосновывалась тем, что для выборок бальшога объема значительная разница между значениями реализаций выборочных характеристик и значениями соответствующих теоретических характеристик маловероятна, н поэтому разумно (по крайней иере дл я больших выборок) принять выборочную характеристику за приближенное значение соответствующей теоретической характеристики, когда последняя неизвестна. Таким образом, в этот термин вкладывался определенный асимптотическии смысл. В то мте время в случае применения статистической теории на практике часто приходится строить приближенные значения для различных неизвестных теоретических характеристик изучаемой модели при любых обьемах выборки, в том числе и ограниченных, н прп этом обосновывать соответствующие рекомендации с точки зрения каких-либа критериев оптимальности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
