4. Математическая статистика. Ивченко_ Медведев (1984) (1186157), страница 6
Текст из файла (страница 6)
и 1 4. Порядковые статистики ! Распр деление порядковых стати ик При анализе свойств распределения Ж (й) по соответствующей выборке используются не только выборочные моменты, но и другие харак- теристики выборки, например порядковые статистики Х<»1, вве- денные в $ 1.!. Найдем распределение случайной величины Х<»1 и исследуем его асимптотическое поведение для больших выборок. Предположим, что распределение 2' (й) абсолютно непрерывное, и пусть, как обычно, В(х) и/(х) =г" (х) — соответственно функция и плотность распределения наблюдаемой случайной величины $, а Х=(Х„..., Х„) — выборка из Х(й). События (Х<»1 (х) и («,(х) )й) [см. формулу (!.3)), очевидно, эквивалентны, поэтому э Рх<»1 (х) = Р ([<„(х) ) й) = У, 'С"„'Р" (х) (! — Г (х)) Дифференцируя это равенство по х, выделяя первое слагаемое при т=й н проводя несложные преобразования, получаем, что плотность д» (х) =Вхм, (х) имеет вид й» (х) =пС» К»-< (х) (1 — Р (х))"-»/(х).
(1.21) 2. Выборочные квантили и их аснмптотическаи нормальность. Введем понятия р-хвантили распределения Ж($) и выборочной р-клантили. По определению, для р ~ (О, 1) р-квантнлью 5р распределения 2'(й) называется корень уравнения р'(~) =р. (1.22) Если функция г" (х) строго монотонна, то это уравнение имеет единственный корень; в противном случае (рис. 1.3) при некото- рых р уравнению (1.22) удовлетворяют многие значения (заполняющие целый интервал), тогда в качестве ьр берут мини- мальное из значений ь, удовлетворяющих уравненйю (1.22). Выборочной р-клантилью У„.р будем называть порядковую статистику Х<<„л<Ь П, ГДЕ [а! — ЦЕЛаЯ Часть ЧИсЛа а (для упРощения дальнейшего изложения мы несколько отступаем от строгого определения этого термина: Х«„с!+<1 при пр дробном, г„, Хлр при лр целом).
Ясно, что Х„,„— это элемент выборки, левее которого находится доля [пр1/и -./з набл<одений, и при этом Л„р — порядковая статистика с максимальным номером, обладающая этим свойством. Следовательно, Л„, л можно рассматривать как статистический аналог ьр. Следующая теорема об асимптотическом доведении выборочных квантилей дает дополнительное основание рассматривать 2ж р с,р Рнс. 1.3 в качестве оценки р-квантнли распределения наблюдаемой случайной величины. Теорема 1.7. Если е некоторой окрестности точки ьр плотность /(х) непрерывна вместе с производной и /(ьр) >О, то при Ж (Х р) ау ! гьр, -ф' — ~гг д = 1 — р.
П Пусть й=[пр1, рассмотрнм случайную величину т1л =- (хл. р ьр) / (Ьр) У гг/(Рд) Тогда из формулы (1.21) следует, что ее плотность грл(х) имеет* впд срл(х) =)/рд'п/(, -йз,г(1,) =Аг(л) А; (и) Аз(гг). / (ьр! где !„='ьр+ — ". )/рд/п, Аг(л) = )/прдС'„' гр'дл-ь-', Ат(гг) = — /(й,) = /(1„)// Др), А, (и) = (Р (1„)/р)" ((1 — Р (/„))/д)л-ь-г.
Применяя фор- мулу Стирл инга, получаем А, (л) - 1/)г'2л. Далее, А, (л) — ~- 1 в силу непрерывности функции /(х). Наконец, поскольку Р(ьр)=р, нз тейлоровского разложения в точке йр ч/ рд Хард /'!Гр) /1~ Р (гл) = р -[- х ~г — „+ 2, /л (. ! -[- а ! — „~, л -~.,".а, нетрудно получить, что 1пА,(л)- — хз/2. Таким образом, гр,(х) — г- -г-е — лч'/')г'2л, т. е. плотность гул(х) сходитсЯ к плотности закона в4 (О, 1). Тем самым доказана локальная предельная теорема, а поскольку все предыдущие предельные соотношения выполняются равномерно по х в любом конечном интервале, справедлива н нитерральная предельная теорема.
° Выделим важный частный случай этой теоремы, соответствую- щий значению р= (/2. Величина ьт/э называется лгедиансй распре- деления 2 ($), а Еж ггэ = Хгг„,п+ гг — медианой соответствующей выборки (отборочной медианой). В условиях теоремы 1.7 имеем Й(хл,г/т) ай [ьг/ ~ 4 р В частности, если ь (Р) = ш/" (р, аз), то Гг/з = р, / (р) = 1/[[г'2ла) н из (1.23) следует, что Ж(Я„,ггт) а/ (!г, паз/(2п)). (1.24) * Напомнпм [22, с. 951, что еслн случайная велячнна ! имеет плотность ф(х), то случайная величина Ч=аз+Ь. очьо, имеет плотность у[у), равную у (у) = гр ((у — Ь)/о)/[ а [. С другой стороны (см. замечание после теоремы !.6), соответствующее выборочное среднее Х при любом п нормальна ор" (р, гг/п).
Отсюда имеем, что если бы [г было неизвестно, то в качестве оценки для нега можно было бы испольэовать (при больших значениях л) как Ятг/т, так и Х. Однако последняя оценка более точная, так как ее дисперсия в и/2=1,57 ... раза меньше дисперсии Ял„/т. Систематически вопросы сравнения точности различных оценок для теоретических »арактеристик исследованы в гл. 2. Теорема 1.7 описывает асимптотическое поведение для больших выборок, как говорят, средни» членов вариацианнаго ряда, т.
е. порядковых статистик Х,аы номера которых удовлетворяют условию й/и-ьр при л-ьсо, где О(р(1. Таким образам, теорема 1.7 утверждает, что для больших выборок нз достаточна гладких распределений средние члены варнацноинага ряда аснмптотическн нормальны; более того, средними членамн вариацианнаго ряда можно оценивать теоретические кваитнли произвольных уровней р, О(р~ !. В частности, из этой теоремы следует, что Ут р~ ~р. 3, Предельные распределеннн крайннх членов зараацаанного ряда.
Исследуем асимптотическое поведение для большнх выборок крайних членов варнзпнаннаго ряда, т. е. порядковых статистик Х,л „„н Хит прн фнкснроваяном пглв !. Заметам, чга достаточно нзучнгь т-е найбальшее значение выборка м~ Хгл „гг, таК КаК Х„,г — — — Хьт,лагг, ГДЕ Хггг ...-АХ!,« — ВаРНапцаКНЫй ряд выборки нз 'б (с'1 прн $'= — 1. Теорема 1.8. Для произвольного фиксированного т сь 1 лри и-ь со Х(п(1Р(Х(лиЩ+Г(1т! Ь1 Пусть тгл=п (! — Р (Х «)), (! 25) н Р-'(Г), 0(1( !.— фУнкцив, обуатнаЯ Р (х). Тогда Р(пик х) =Р(Х, )Р г(! — х,'н))=1 — Р» (Р '!1 — к/л!) н нз 4ормулы 11.21) следует ~л- т+и Ф чго платность распределения этой случашюй вели шны трл(»)=Сл [[к/п)т-т(! — х/п)л "', 0(х~п. В уславяях теоремы прв любом фнкспразаннсм х ф, (х] — хт 'е-л/(т — 1)1, т, е.
в пределе получаем плогнасть гамма-распределения Г(1, т). Прн этом сходнмость равномерна па к в каждом конечном интервале; следовательно, имеет места я явгсгральная схаднмогть. ° Обратим внамапне на следуюшне моменты. Ва.первых, предельные распределения крайних членов варнацяапного ряда не ягляются нормальвымн !в отличие от средннх членов н выборочных моментов). Во-вторых, теорема 1.8 определяет вяд предел~ного распределения не самой порядковой ствгнстякн Х,л г„ а некоторой случайной велнчнны тэ„ связанной с Х,л т+и соатношенясм (!.25).
Конечно, если фуаканя Р (х) задана н уравнение (1,25! можно явно разрешнтгч т. е. получнгь явное представление Х~л- +т)=Р (! Чл/л) (1.25) то можно получить предельное распределение н самой величины Х, л-тлг~ через ПРЕДЕЛЬНОЕ РаСПРЕДЕЛЕНИЕ Чл. ОхпаКа В ЯВНОМ ВНДЕ ОбРатНУЮ фУВКВНЮ Р-г Р) удается найти толька в редкнх случаях, полому огысканне предельного 0 прн х(0, т — ! а>01 ~, 'п,(х ") пря х) О, Л< >(х)= г=а <л — ! ~ , 'н„(< к !") прн х(0, Л!т>(х)= а а)0! 1 прн х)0.
т — ! Л(т> (х) = 2, п, (е-л), — со ( х ( са. г=в Установлены необходимые н достаточные условия, которые следуе~ наложить яа фуякцню распределення г" (х), чюбы распределение случайной велнчнны Х,„т+1, скаднжкь прн л -<- ао к одному нз указанных предельных рзспределейий. Аналогнчпо, трн возможных типа предельных распредеденнй для т-го мнннмального члена Хот имеют соответственна внд л< — ! ! — ~ п„б х 1-о) прн х ".О, Л!т> (х) = а 1 прн х)0, 0 прн х(0, с<»0; $ 1 — ~ п,(ха) прн х)0, г=а т — 1 Л<т> (х) = 1 — т, пг (е.г>, — со ( х ( аа. и г=е В заключенне рассматрнм важный случаЛ, когда удается найти явный внд функцан р 1(!), и тем самым н получить предельное респрекеленне случайной ь ю ('-)=Г (1, 1).
Это распределение задается плотностью 1(х)=е-т, х ) О, нлн функцией распределения г" (х) = ! — е „х) — — О, н называется зяспонеякиальлыт< распределением. Здесь, очевндно, ( ) = — ( Р-1 '1 = — Рп(! — 1), О (1( 1, н нз соотношении 1!.26) имеем Х<л +„!пи — >п 1„.
1пп — >п! . Отсюда по теореме 1.8 е л т — ! Р(Х<л-теп — !ил(х)=Р (т>л~е=") -+.! — — е-ебт= ~ и (е-л). =о <т! Таким образом, в данном случае а (Х л 1> — 1и л)-и Л распределении дет Лт л„г и обшем случае сложная задача н ее решенне <<ыиадпг <л рлчип иле<а<<<<его пособия. С«нетям лишь, что полное решение втой <лдлчп получ па В В, Гзеденко (1943 г.) н Н. В. Смирновым (1949 г.); прнаелгм пои<парме из основных результатов.
К«лег предельных распределений для нормярованных случайных величпп Л„, т<н (т. е. для (Х<л-т+ь ал)>Ь«, где ал н Ь«~Π— некоторые послед««л<<льпастн констант) исчерпывается распределеннямн слепукнцнх трех тяпал (дллсс п,(1) =от(1",г!) н указаны функции распределения саатпсгс!вующнк закопав): й 1.5. Распределения некоторых функций от нормальных случайных аеличнн В этом параграфе будут введены и рассмотрены распределения, играющие важную роль в решении различных аадач математической статистики.
Здесь изучаются распределения функций тр(Х) специального вида от выборки Х =(Хж ..., Х,) из заданного распределения Ж($). Распределение случайной величины чр «- ф(Х) удается вычислить в явном виде в редких случаях. Исключением является случай, когда Ж (9) — нормальное распределение; тогда соответствующее распределение можно найти для широкого класса функций !(>(Х). С другой стороны, нормальное распределение часто используют в прикладных исследованиях в качестве математической модели изучаемых явлений. Поэтому нормальная модель выделяется среди других статистических моделей и ее исследованию уделяется в математической статистике особое внимание. Примеры решения различных статистических задач для нормальных люделей будут неоднократно встречаться в последующем изложении.
Здесь же приводятся некоторые результаты для зтои модели, которые будут использоваться в дальнейшем. 1. Распределение хи-квадрат. Среди семейства гамма-распределений (см. табл. В.1) выделим распределение Г(2, и12), которое называют распределением хи-кеадралт с и с>иеиеняяи свободы и обозкача>от )(з(и).
Соответствующую случайную величину условимся обозначать символом уз. Таким образом, Ж()(2) =Х'(и) = = Г(2, и/2); соответствующую плотность обозначим через й,(х). Она имеет вид «12-1 (1.2<) 2"12Г 1«>2) Соответствующая этой плотности характеристическая функция «12-1 -«12 <р(1; и) =Ее"х*= 1 еьж „., дх«« (1.28) .> 2" 11Г («12) (1 — 211) л' 2 Отсюда получаем первые два момента: Е)(2=(17!)<р'(О; и)=и, РХ~=<р" (О; и)ур — (Еу')2=2и.
(1.29) Важным свойством распределения хи-квадрат является его еосироизеодижосгио по параметру и, которое означает, что сумма независимых случайных величин, распределенных по закону хн-квадрат, распределена также по закону хи-квадрат с числом степеней свободы, равным сумме степеней свободы слагаемых. Действительно, если 7(! и уе независимы и Е'(тз<) = уи(иа), 72«« 1, 2, т си у ~ ! (1.'28) Ее' О< ~х1) =<р((! и>)<р(1; ис)= „, „,, =<р((; и>+из) 211)<«< + ло12 т.
е. Ж(Х +Хч) =У'(и,+из). 27 Замечание. Пчсет место более общее утверасдепне: распределение Г (9, Э.> наспропдвоннма по параметру Л. Таким образам, если Х()(е)=уз(п), то случайную величину Хз можно представить в виде )(з=т(!+...+тл, где случайные величины у', се=1, ..., и, независимы и дУ(улт)=у'(1). 11о lгд(х) [ел<. формулу (1.27)3 савпалает с плотностью распределения случайной величины сз, если Ж(с) = Р'(О, 1). В самом деле. Ег.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
