4. Математическая статистика. Ивченко_ Медведев (1984) (1186157), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Но из определения ра(х) следует, что л,(ря(х))=В((л, р), где р —.Р($~х)=Р(х). Поэтому Р(Е,(х)=Й,'л)=СьГ'(х)(1 — Р(х))'-", й=О, 1, ..., и. (1.4) Итак, эмпирическая функция распределения (как и вариацион- иь1й ряд) — некоторая сводная характеристика выборки. Для каж- дой реапиэяцни х выборки Х функция Е„(х) однозначно опреде- лена и обладает всеми свойствами функции распределения: изме. няется от 0 до 1, не убывает и непрерывна справа. Прн этом она кусочно-постоянна и возрастает только в точках последова- тельности (1.1). Если все компоненты вектора к различны (в по- следовательности (1.1) все неравенства строгие), то функция Ра(х) задается, очевидно, соотношениями 0 при х<х1 и Р„(х) = -й!л при х<ю -х(х(д зп й=1, ..., л — 1, при х =- 'х1ю т. е, в этом случае величина всех скачков равна 11л и типичный график функции Р, (х) имеет вид, изображенный на рнс.
1.1 В общем случае эмпирическую функцию распределения можно записать в виде Р,(х) = — ~~ е(х — Х(а>), (1.5) а=1 где е(х) — функция единичного скачка (функция Хевисайда): ! О при х(О, е(х) =~ В представлении (1.5) хороцзо видна зави- ~ 1 при х==.О. силюсть Р,(х) от выборки Х. 14 Эьширнческая функция распределения играет фундаментальную роль в математической статистике. Важнейшее ее свойство состоит в тоьь что при увеличении числа испытаний Рв 1з,' П1 зт1 О Квз" ° зз р «ВЧ над случайной величиной $ происходит сближение Рнс.
1.1 этой функции с теоретической. Смысл утверждения раскрывает следующая теорема. Теорема 1.1. Пусть Р, (х) — эмлнрачгскпн фуняцмя дасндеделянни, ласт)юеннал ло выборке Х = (Хз,..., Х ) аз распределения а ($), и Р(х) — соответсгпеующая теоретическая функция )заслределдная. уумда для любсмо х ( — со (х(ос) м любого а о 0 1(п1 Р (/ Р„(х) — Г (х) / и) = 1. С) Из (1.4) следует, что Р„(х) — относительная частота собьттия ($(х) (суспехаз) в л испытаниях Бернулли с вероятностью еуспехаз Р(х). Но в соответствии с законом больших чисел (тео.
ремой Бернулли) относительная частота произвольного события в л независимых испытаниях сходится по вероятности при и -ь со к вероятности этого события. Следовательно, по теореме Бернулли, Р„(х) — Р(х), т. е имеет место равенство (1.5). ° Таким обрезом, если объем выборки больпмзй, то змачемии эмпирической функции распределения в каждой точке х может служить приближенным значением (оценкой) теоретической функции распределения в этой точке.
Функцию Р„(х) часто наэывювт в этом случае слзалзаселаческам аналогале для Р(х). 3. Предельные теоремм для эмпнрнческей функции распределения. Сира. еедлна следующий гораздо более сильный результат, принадлс кащнй В. Н, Глзаенко (1933 г.) Теорема 1,2 (Глняеико). В уелввилх теоремы 1.1 Р( 1!т язр !Рч(л) — Р(х) '=О)=1. (1.7) (л — се« вкругими словами, соотношение (1.7) означает, что отклонение 19„=Гз„(Х) = ьнр 1ре (х) — Е(х) ! — юСлСю эмпирической функции распределения от теоретической на всей асн с зераятн~кчью 1 будет скаль угодно мало при лостасочиа балюном объеме иыйарим. Приведем ещн одни результат; прянанлежащий Д.
Н, Коеачагороау (136(Д с.)', который псмеммют длн балнннел и ошньианть аереианасги заданным. оиалнненнй случайной иеличнны 1з„ю О Теорема 1.3 (Колмоеороаа)„Если функция Е (х) неирерывна, то ири любам фиксированном 1 ° О !1ш Р (Г'йР с1)=К(11= Ч, '( — 1)1е (1.3) и ОР !=- При этом предельную функцию распределения К (О можно с хорошям приближением использовать для практических расчетов уже при и~20. Теорему Конь>егорова обышсо применяют дяя того, чтобы определить грв. пицы, и которых с звдзпяой верона«песью находится чеорегнческзя функция рвспредс ясина 1» (х), если онз неизвестна.
пусть для зздзнвога т ев (О, 1) число 1ч с>с>род«лясс«я уравнением К ((ч) =т. Тогда нз (1.8) имеем Р()'а0«л»(ч)=р(гл(х) — гт/)сй-.-р(х)(рл(х)+( с)сл для всех х)„— К (1«) =-у. Тзким обрезом, при больших и с вероятностью, близкой к т, зпвчспие функции Р (х) дая всех х удовлетворяют нерввенствзм Рл»(х) — гч()' я = (г" (х)=-.=ге(х)+!в>Ул. Тзк кзк О(У(х)="1, та зги иеузвенствз можно уточни«си псих (О, Рл(х) — (ч/)с и) (Г (х)~поп (ул (х)+Гт))с и, 1). Область, опрсдсяяемзя ятями нижней и верхней грзиицзмн, нвзывзегся асимптотичесеюй у-доверит«льной зоной дяя теоретической функции распределения.
Дяя определения числовых знзченнн Гт при рззянчиых у мс>жно васпользоввться тзбуянровзиными зизчениями функцкн К (1) 12). Сформулируем есце один взжиый резуяьтзг выборочной теории, принадле. жзщий Й. В, Смирнову (1944 г.), которык рвскрыввет другие свойства змпнрических функций распределения. теор«ми 1.4 (Смирнавя).
Пусть г>л (х) и Р „(х) — дзе эмпирические функции распределения, построенные на о«нале двух незсмисияых выборок объемов лс и аз из одною и того же распределения,.с: (й), и 0„„,= зпр (Рщ (х) — г" „(х)). — ~» ~ л ~ сь Тогда если теоретическая функция распределения Р(х) иелр«рыхла, то для любила фиксированного 1 ~ О 1>ш Р(у"л>п,(лс+а«1 0„„=.-. 1) =К ((), л„л, ь» зде функция К (1) определена раз«лет«ам ((.а), Зту теорему обычно нсгояьзуют для проверки предположения (сивачевы) о том, что две выборки получены кз одного и того же рзспредвзенкя. 4.
Гистограмма и полигон частот. Из изложенного выше следует. что эмпирическая функция распределенпя — это удобный способ представления статистических данных (выборки Х), который позволяет делать выводы о распределении наблюдаемой случайной величины 9, когда оно неизвестно. Существуют и другие способы наглядного представления статистических данных; одним из них является построение гиспюграммы. В этом случае область значений наблюдаемой случайной величины 5 разбивают на равные интервалы, для заданной реализации х=(х„..., х„) выборки Х из Ж($) подсчитывают число координат хь попавших в соответствующие интервалы (говорят, что данные группируюпсся), и на каждом интервале, как на основании, строят прямоугольник с высотой ч((пй), где й — длина интервала, ч — число выборочных точек в данном интервале. Получаемую при этом фигуру и называют гистограммой (рис.
1.2). Таким образом, площадь каждого прямоугольника равна ч/п, т. е. относительной частоте попадания выборочных значений в соответствующий интервал, поэтому по теореме Бернулли она будет сходиться по вероятности при и-ь со к вероятности попадания значения случайной величины $ в соответствующий интервал. Если длина интервалов й достаточно мала, а плотность)(х) непрерывна, то последняя вероятность приблизительно равна 7(г))с, где г — середина соответствующего интервала.
Таким образом, прн боль- шом значении объема выборки и и достаточно малом Л высоты построенных прямоугольников можно рассматривать в качестве приближенных значений для плотности у в средних точках соответствующих интервалов. Отсюда следует, что верхнюю границу гистограммы можно рассматривать как статистический аналог плотности распределения наблюдаемой случайной величины. Этот способ представления статистических данных рекомендуется применять только для непрерывных случайных величин; кроме того, он обладает очевидными недостатками: неопределенностью в способе построения интервалов, потерей информации при группировке данных (здесь используются не сами выборочные значения хь а лишь частоты попадания в интервалы).
Поэтому гистограмму рекомендуется применять на предварительном этапе анализа статистических данных. В методе гистограмм неизвестная плотность распределения приближается кусочно-постоянным графиком. Если плотность )(х) †достаточ гладкая, то, как известно из анализа, такие функции значительно лучше можно приблизить кусочно-линейными графиками. Отсюда следует, что для оценки гладких плотностей можно предложить более точную методику, которая основана на построении полигона частот. Полигон частот — это ломаная, которую строят так: если построена гистограмма, то ординаты, соответствующие средним точкам интервалов, последовательно соединяют отрезками прямых. Построенный таким образом кусочно- линейный график также является статистическим аналогом теоретической плотности (рис. 1.2). О>метим, что адик из современных подходов к решению задвчи оцекивзння неизвестной плотности распределения нзблюдвемой случайной величины по соответствующей выборке освовзи ив нспояьзовзняи «ядерлы>з оценок.
В зтам случае в качестве статистического ввзлогз теаресвческой плотности распределения рассматривают случайную функцию л (х)= ! ~ й( с) с=! (1.9) р/ 1пп зпр !)л(х) — 1(х)1=01=1. сл со — а><х<о» .. - ° /- "»В,'-' (>", 17 Ми>,оси;:, .к„, .- лижр.»тс»к ьс °: ».'~» ч прн соответствующем выборе ядра й(х) н посяедавзтеяьноств чисел ал )О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
