Ким_ Мьюллер и др - Факторный_ дискриминантный и кластерный анализы (1185345), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Эти коэффициенты корреляции называются «полнымн структурными коэффициентами». Как корреляции оии являются косинусами углов между переменными и функцией. Поэтому, зная эти коэффициенты, мы имеем информацию о геометрической структуре пространства наблюдений'э. Структурный коэффициент показывает, насколько тесно связаны переменные и дискриминантные функции. Когда абсолютная величина такого коэффициента велика, вся информация о дискриминантной функции заключена в этой переменной.
Если же коэффициент близок к нулю — их зависимость мала. Можно дать «имя» дискриминантной функции, исходя из тех коэффи- 101 фициента анализируется в стандартной форме: чем она больше, тем больше вклад этой переменной. В табл. 6 представлены стандартизованные коэффициенты для данных Бардес, относяшихся к голосованию в сенате. Для функции 1 вклад переменной С11ТАЯ1Аг4 максимален. Все остальные переменные по сравнению с С11ТАБ1А11 второстепенны. Переменные А1чТ1с1Е11Т и А51Т1 у'1100 после СПТАБ1АХ занимают следуюшее по значимости место.
Можно отметить, что они приблизительно вдвое более значимы, чем переменная М1ХЕР. Для функции 2 четыре из шести переменных (цЕБТИСТ, М1ХЕР, А51Тгу'1100 н АХТ1г1ЕБТ) имеют относительно большие стандартизованные коэффициенты, поэтому они вносят приблизительно одинаковый вклад в значение дискриминантной функции. Переменная С11ТА1Р, а вслед за ней М!ХЕР являются доминантными переменными для функции 3".
При желании дискриминантное значение можно получить исходя из стандартизованных коэффициентов, однако тогда мы должны умножать эти коэффициенты на значение наблюдений в стандартной форме'э, Таблица 7 Структурные кееффнцненты серукууриме кевФФиииеием Перемевнвв Функции а Функции а Функции 1 0,326 — 0,429 — 0,160 0,254 0,076 -0,269 — 0,565 0,345 — 0,858 0,269 — О, 293 — О, 140 О, 355 0,260 О, 241 — 0,671 О, 785 0,751 С!!ТАБУ ЙЕБТЙ1СТ С11ТА$1АК М1ХЕ1У А1ЧТ!717СО АМТ! ЫЕ11Т Структурные коэффициенты, рассматриваемые здесь, основаны иа понятии корреляции.
Их полезно использовать при классификации групп. Однако иногда интересно узнать, как дискриминантные функции связаны с переменными в пределах отдельной группы. Таким образом, мы приходим к так называемым «внутригрупповым структурным коэффициентам», которые вычисляются следующим образом: р и ы,все, зуу ~', г,лев, ~",— (8) в=в а=у Ты„ыев 102 цнентов, которые максимальны по абсолютной величине, Если соответствующие переменные измеряют похожие характеристики, то функции можно называть по этим характеристикам. Например, рассмотрим полные структурные коэффициенты, относящиеся к данным Бардес (табл. 7).
Для функции 1 переменные С1)ТАЮ и Сс)ТАБ1АМ являются доминантными. Их отрицательные знаки говорят о том, что мы должны дать функции 1 название «за помощь». Для функции 2 полные структурные коэффициенты последних трех переменных имеют наибольшие абсолютные значения. Они относятся к ограничению помощи тем странам, которые ие связаны альянсом с США, поэтому мы назовем эту функцию «протнв помощи государствам, не связанным альянсом». У функции 3 нет преобладающих больших коэффициентов, н она наиболее трудна для интерпретации. Переменные КЕЬТК1СТ и С1)ТАЮ имеют большие коэффициенты, но с противоположными знаками.
Рассматривая расположения групповых центроидов по этой функции, можно получить некоторую дополнительную информацию. Группы 2 и 4 («против помощи» и «антикоммунисты») расположены в положительном направлении; группа 3 («против помощи государствам, испытывающим финансовые затруднения») — в отрицательном направлении; группа 1 («за помощь иностранным государствам») — между ними. Поэтому функция 3 служит для различия всевозможных типов оппозиции к функции 1 («за помощь иностранным государствам»).
Таблица 8 Внутригрупповые етруктурные коэффициенты Знутрктруппаяые етруктурнме каеффнцненты Переменнек Функция 3 Функцня 2 Фунтике 1 О, 392 — 0,461 — 0,299 0,315 0,087 — 0,340 — 0,218 0,115 — 0,483 О, 102 — О, 121 — О, 054 О, 279 0,176 0,276 — 0,5!6 0,662 0,588 С!!ТА!0 йЕЯТй1СТ С!7ТА81А1Ч М!ХЕР А1ЧТ1У1100 А1ЧТ11ЧЕ11Т Структурные коэффициенты дают информацию, несколько отличную от той, которая относится к стандартизованным коэффициентам. Стандартизованные коэффициенты показывают вклад переменных в значение днскриминантной функции.
Это является одним нз подходов к определению значимости переменной. Однако этот подход имеет серьезное ограничение. Если две переменных сильно коррелированы, то их вклад в дискриминантное значение должен разделяться, даже при значительном совместном вкладе. Соответственно их стандартизованные коэффициенты могут быть меньше по сравнению с теми случаями, когда используется одна из этих переменных. Или, другими словами, вклад одного коэффициента частично погашается отрицательным вкладом другого'е. Это происходит из-за того, что в стандартизованных коэффициентах одновременно принимается во внимание влияние всех переменных. 103 где 5'тч — внутригрупповые структурные коэффициенты для переменной 1 и функции 7; г'еа — внутригрупповые структурные коэффициенты корреляции между переменными 1 и А; са; — стандартизованные коэффициенты канонической функции для переменной й и функции 1.
В табл. 8 представлены внутригрупповые структурные коэффициенты, относящиеся к данным Бардес. Заметим, что эти коэффициенты меньше, чем описанные выше структурные коэффициенты, однако их расположения от больших к меньшим схожи (хотя н не идентичны). Такое положение является типичным, но не обязательным. Некоторые из внутригрупповых структурных коэффициентов могут быть больше нли меньше, нли иметь противоположный знак по сравнению со структурными коэффициентами. Кроме того, они могут иметь различный порядок расположения.
Эти две последовательности коэффициентов относятся к разным сторонам структуры данных. Поэтому н не следует их интерпретировать одинаково, за исключением тех случаев, когда групповые цеитроиды совпадают: С другой стороны, структурные коэффициенты являются просто двуместными корреляциями, поэтому на них не влияют взаимные зависимости прочих переменных.
Заметим, что СБТА)Р имеет небольшой стандартизованный коэффициент по функции 1, но относительно большой полный структурный коэффициент. Возможно, это объясняется сильной корреляцией между переменными С13ТА1Х) и С1)ТА81А)Ч (0,787). Поэтому переменная СБТАЫА)Ч дает большой отрицательный вклад в дискриминантные значения, а переменная СБТА10 — небольшой положительный вклад.
Структурные коэффициенты также помогают распознать вклад переменных А)ЧТ1УБПО и АХТ1ХЕ()Т в функцию 1. Эти две переменные имеют довольно малые структурные коэффициенты, т. е. они мало коррелируют с этой функцией. Функция 1 отличается от той, что мы получаем из стандартизованных коэффициентов, которые довольно велики и имеют противоположные знаки. Переменные АХТ1У(360 и АХТ1ХЕПТ сильно коррелированы (0,767), поэтому они дают большие вклады в противоположные направления и погашают друг друга. Анализ подобных ситуаций приводит нас к выводу, что структурные коэффициенты позволяют лучше интерпретировать канонические и дискримииантные функции, чем стандартизованные коэффициенты. В работе (Очега1! апб К!е(1, 1972; 292 — 295) описывается, как структурные коэффициенты могут использоваться для графического представления различия между групповыми центроидами в случае двух канонических дискриминантных функций.
На графике с осями, которые относятся к этим двум функциям, представлены групповые центроиды и главный центроид, изображены векторы, исходящие из главного центроида и направленные в каждую дискримннантную переменную. Направляющие углы этих векторов вычисляются, исходя из структурных коэффициентов. Длина вектора определяется межгрупповыми и внутрнгрупповыми вариациями соответствующей переменной. Полученная диаграмма дает наглядное представление о различиях групп с помощью дискриминантных переменных, а также о потенциальных возможностях этих переменных. СКОЛЬКО ФУНКЦИЙ НАДО УЧИТЫВАТЬ В равд. П было показано, что решению уравнения (4) соответствует собственное значение (лямбда) и множество коэффициентов для каждой канонической дискриминантной функции.
Число возможных решений общей задачи в действительности равно числу дискриминантных переменных р. Однако некоторые из них будут математически тривиальными решениями, а другие— статистически малозначимыми. Все собственные значения лямбды будут положительными или равными нулю, причем чем больше значение лямбды, тем больше групп будет разделять соответствующая функция. Таким образом, функция с самым боль- 104 шим собственным значением является и самым мощным дискриминатором, а функция с наименьшим собственным значением— самым слабым дискриминатором. Число функций Предположив, что значение лямбда равно нулю, получим решение уравнения (4), которое не представляет интереса.
Такое решение оказывается бесполезным, потому что оно допускает отсутствие различий между группами по этой функции. Однако, когда р меньше (д — 1), мы получаем (р — д+1) решений, которые имеют нулевые собственные значения. По этой причине максимальное число канонических дискриминантных функций «7 меньше любого из чисел р и (д' 1). Возвращаясь к примеру о голосовании в сенате, имеем р= б, (д — 1) =3, так что «7=3. Среди этих д возможных решений мы все еще можем найти собственные значения, равные нулю. Это бывает в тех вырожденных случаях, когда один или несколько центроидов совпадают в пространстве, определенном другими центроидами.
Более типичен случай не полного совпадения из-за ошибок выборки или ошибок измерения. Скорее всего, такое собственное значение функции будет малой величиной. Вопрос в следующем: как мала должна быть величина собственного значения лямбда, чтобы мы рассматриваля ее как результат ошибки выборки или измерения, а не результат измерения величины, действительно отличной от нуля? Это вопрос о статистической значимости. Но даже если функция статистически значима, мы можем решить, что она не имеет самостоятельного значения, поскольку с ее помощью недостаточно хорошо различаются группы.
Прежде чем научиться проверять значимость, рассмотрим собственные значения функции, воспользовавшись примером о голосовании в сенате. Эти результаты приведены в табл. 9. Как н ожидалось, имеются три собственных значения, не равных нулю. Они даются в порядке убывания их величин.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
