Ким_ Мьюллер и др - Факторный_ дискриминантный и кластерный анализы (1185345), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Если некоторые переменные, взятые из примера для случаев успешного освобождения заложников, отличаются от соответствующих переменных для случаев, когда заложники пострадали, то с помощью дискриминантного анализа можно помочь властям и в данной ситуации. Есть и другие области применения дискриминантного анализа: тестирование при приеме на работу, анализ переписи населения, психологические тесты для детей, изучение эффекта от какого-либо метода лечения, исследование экономических различий между географическими районами, предсказание итогов голосования и др. Основным предположением дискриминантного анализа является то, что существуют две или более группы, которые по некоторым переменным отличаются от других групп, причем такие переменные могут быть измерены по интервальной шкале либо по шкале отношений'.

Дискримннаитный анализ помогает выявлять различия между группами и дает возможность классифицировать объекты по принципу максимального сходства, 80 НОГдА испОльзуется дискриминлнтныи Андлиз— ОСНОВНЫЕ ПРЕНПОЛОЖЕНИЯ Во-первых, объекты (наблюдения) должны принадлежать одному из двух (или более) классов (' групп). Объекты являются основными единицами анализа. Объектами изучения могут быть люди, животные, страны, экономика в различные моменты времени и вообще все, что угодно.

В примере с террористами каждый предыдущий террористический акт есть объект. Класс должен быть определен таким образом, чтобы каждое наблюдение принадлежало одному и только одному классу. Последствия террористических актов могут быть отнесены к одному из двух классов: случаи успешного освобождения заложников и случаи, когда пострадали некоторые или все заложники. В практических задачах допускаются объекты, которые нельзя отнести нн к какой группе. Например, иногда определенное число наблюдений не удается идентифицировать либо по какойто причине откладывается анализ зтнх наблюдений. Такие объекты будут классифицироваться позже, иа основе математических функций, полученных из анализа наблюдений с «известной» принадлежностью. В случае с террористами главная задача состоит в точном предсказании результатов будущих инцидентов.

Поэтому будущие инциденты могут рассматриваться как «несгруппированные» и «иераскласснфицированные». «Дискрнминантный анализ» вЂ” это общий термин, относящийся к нескольким тесно связанным статистическим процедурам. В конкретных ситуациях не обязательно использовать все эти процедуры. Их можно разделить на методы интерпретации межгрупповых различий и методы классификации наблюдений по группам. Речь идет об интерпретации, когда рассматриваются различия между классами. Другими словами, при интерпретации )!еобходимо ответить на вопросы: возможно ли, используя данный набор характеристик (переменных), отличить один класс от другого; насколько хорошо эти характеристики позволяют провести различение и какие из них наиболее информативны. Метод, относящийся к классификации, связан с получением одной или нескольких функций, обеспечивающих возможность отнести данный объект к одной нз групп.

Эти функции, называемые дискриминантными, зависят от значений характеристик таким образом, что появляется возможность отнести каждый объект к одной из групп. Например, если значения характеристик нового террористического акта близки к соответствующим значениям прошлых инцидентов, в которых все заложники были освобождены, дискриминантная функция покажет, что для рассматриваемого события более вероятен благоприятный исход.

(После того как инцидент будет исчерпан, станет известно, оправдался ли прогноз, однако для многих других приложений подтвердить точность классификации не представляется возможным.) Разумеется, ди- 8! скриминантный анализ необходим и для интерпретации, и для классификации. Характеристики, применяемые для того, чтобы отличать один класс от другого, называются дискрилшнантнылщ переменными.

Эти переменные должны измеряться либо по интервальной шкале, либо по шкале отношений. Таким образом, становится возможным вычисление математических ожиданий, дисперсий и правомерно использование дискриминантных переменных в математических уравнениях. В примере с террористами были упомянуты семь дискриминантных переменных (число террористов, степень поддержки, количество оружия и т. д.). В общем случае, число дискриминантных переменных неограничено, но в сумме число объектов должно всегда превышать число переменных по крайней мере на два. Однако существуют определенные ограничения, касающиеся статистических свойств дискриминантных переменных. Во-первых, ни одна переменная не может быть линейной комбинацией других переменных. Линейная комбинация — это сумма одной нли более переменных с постоянными весами.

Таким образом, нельзя пользоваться суммой переменных или их средним арифметическим совместно с самими переменными. Соответственно недопустимы переменные, коэффициент корреляции которых равен 1. Переменная, являющаяся линейной комбинацией других, не несет какой- либо новой информации помимо той, которая содержится в компонентах суммы, поэтому она является лишней. Другое предположение, принимаемое во многих случаях, заключается в том, что ковариационные матрицы для генеральных совокупностей (генеральные ковариационные матрицы) равны между собой для различных классов'.

Часто используемой форме дискриминантного анализа присущи линейные дискриминантные функции, соответствующие просто линейной комбинации дискриминаитных переменных. Этот метод наиболее элементарен, поскольку предположение об одинаковых ковариационных матрицах в классах упрощает формулы вычисления дискриминантных функций, а также облегчает проверку гипотез о статистической значимости. Следующее допущение касается того, что закон распределения для каждого класса является многомерным нормальным, т. е.

каждая переменная имеет нормальное распределенно при фиксированных остальных переменных (В!а!осК 1979; 452). Данное предположение позволяет получить точные значения вероятности принадлежности к данному классу и критерия значимости. При нарушении допущения о нормальности распределения значения вероятности вычислить точно уже нельзя, но соответствующие оценки могут быть полезны, если, конечно, соблюдать известную осторожность ().асЬепЬгпсЬ, 1975; 41 — 46). Упомянутые выше допущения для дискриминантного анализа фундаментальны. Если экспериментальные данные для некоторой конкретной задачи не вполне удовлетворяют этим предполо- жениям, то статистические выводы не будут точным отражением реальности.

Нарушение основных предположений будет обсуждаться в равд. Ъ'1. Из всего сказанного, должно быть ясно, что дискрнминантный анализ используется для изучения различий между несколькими группами по определенному набору дискрнминантных переменных (рис. 1). Рассматривая классы как значения некоторой классифицирующей переменной, измеренной по шкале наименований (когда каждому классу присваивается свое обозначение), мы представляем дискриминантный анализ в качестве метода сопоставления нескольких интервальных переменных одной номинальной переменной.

Заметим, что мы не сказали о причинности дискриминантной модели, и соответственно на рис. 1 связи приведены без указания их направления. Кроме того, не делается предположений о зависимости или независимости классифицирующей переменной и дискриминантных переменных. Если в конкретной ситуации классифнцнрующие переменные можно считать зависимыми от дискрнминантных переменных, то задача аналогична задаче множественной регрессии.

Основное отличие состоит в том, что в дискриминантном анализе зависимая переменная измеряется по шкале наименований (классов). Пример с террористами именно такого рода. Но когда предполагается, что значения дискриминантных переменных зависят от классов, дискримииантный анализ является обобщением многомерного дисперсионного анализа. Это типично для задач, в которых принадлежность переменных к некоторому классу вызывает изменения одновременно в нескольких переменных. Теперь просуммируем математические допущения, которые принимаются в дискримннантном анализе.

Сначала введем следующие обозначения: дненрнмнненуньы переемнные х, Группы Рис. 1. Зависимость между труппами и дис- криминантными переменными к — число классов; р — число дискриминантных переменных; п; — число объектов (наблюдений) класса 1; п. — общее число объектов всех классов.

Характеристики

Список файлов книги