Ким_ Мьюллер и др - Факторный_ дискриминантный и кластерный анализы (1185345), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

Мы пришли к такому же выводу, когда рассматри- Табанпа 1О Остаточпап дпскрпмкваптпап способность и проаерка апачамостп вали относительное процентное содержание и канонические корреляции. Итак, остающиеся дискриминантные функции (в нашем случае только одна) либо не являются значимыми, либо онн статистически недостоверны. Проверка значимости с помощью Л-статнстикн Уилкса Мы рассматривалн Л-статистику Уилкса как еще одну меру зависимости, но то, что она принимает значения, обратные привычным, и оценивает остаточную днскриминантную способность, делает ее менее полезной, чем относительное процентное содержание н каноническая корреляция.

Однако Л-статистика может быть превращена в тест значимости. Таким образом, мы будем использовать ее скорее как вспомогательную статистику, а не как искомый конечный продукт. На основе Л-статистики Уилкса можно получить тест значимости, аппроксимируя распределение некоторой функции от нее либо распределением хи-квадрат (дт), либо Р-распределеннемте. В дальнейшем можно пользоваться стандартными таблицами для этих распределений, чтобы определить уровень значимости, анекоторые компьютерные программы позволяют распечатать его точные значения. Если воспользоваться формулой и+а'1 Х =- ~'-( —,) -1~ 1.Л,, (Н) то полученное распределение н будет хи-квадрат распределением с (р — А)(д — л — 1) степенямн свободы. В табл.

1О приведены значения статистики хи-квадрат для данных примера о голосовании". Как мы и предвидели, между позициями групп есть значимые различия еще до вычисления какой- либо нз дискриминантных функций (й=0). Уровень значимости 0,001 показывает, что если в действительности между центроидами нет различий, то такое нлн большее значение статистики хиквадрат мы получим только в одной из тысячи выборок (имеются в виду независимые, простые случайные выборки).

Отбрасывая это невероятное событие, мы можем уверенно считать, что результаты получены нз генеральной совокупности с различиями между 11О группами. Кроме того, это доказывает, что наша первая функция статистически значима. После определения первой функции, снова проверим значимость оставшихся различий. Как и следовало ожидать, значение статистики хи-квадрат стало меньше, а уровень значимости стал равным 0,224 (й 1). Большинство исследователей будут считать этот результат незначимым, поэтому определять вторую и третью функции не следует, полагая таким образом, что вся значимая информация о различиях групп уже извлечена, Другими словами, одного-единственного измерения достаточно для представления всех замеченных различий между группами.

Второе измерение (которое вместе с первым обрадует плоскость) не добавит никаких существенных различий. Но если бы вместо этого была установлена значимость остаточной дискриминантной способности, то мы приступили бы к определению второй функции. Затем проверка значимости для новой остаточной дискриминаитной способности была бы повторена (й=2). В нашем примере уровень значимости так велик (0,954), что никто не посчитал бы оставшиеся различия значимыми. Следовательно, нет абсолютно никакой необходимости нычислять третью функцию, так как она вряд ли что-либо добавит к объяснению различий между группами. Найденный результат помогает понять, почему у нас было так много трудностей при интерпретации структурных коэффициентов функции 3 и почему не было обнаружено больших различий между центроидами групп по этой функции. В рассматриваемом примере число статистически значимых функций меньше того, которое допускается математикой Одечако так бывает не всегда.

Во многих ситуациях остаточная дискриминантная способность для й=д — 1* оказывается значимой. В таком случае нужно вычислить все возможные функции (вплоть до й=й — 1), если, конечно, нет других причин не делать этого (таких, ~например, как низкая каноническая корреляция). Примем разумное решение — продолжить определение функций до тех пор, пока остаточная дискриминантная способность перестанет быть значимой. Таким образом, мы можем быть уверены в том, что полученные функции являются статистически значимыми в целом каксистема.

Это не доказывает значимость какой-либо одной функции (если, конечно, она ие была получена специально), а скорее дает значимость всех полученных функций. А поскольку мы используем функции как систему и наша цель — привести информацию, необходимую для разделения, к наименьшему числу размерностей, то этого вполне достаточно, Единственная реальная проблема, которая может быстро уничтожить любой исследовательский проект, возникает, если общее количество информации является незначимым, т. е. при я=б (если только не нужно показать, что между классами нет различий). ' Более точно е=оч1о (я — 1, р).

— Примеч. ред, Здесь мы рассмотрели все то, что обычно делает исследователь, но для лучшего усвоения — в обратном порядке. Логически исследователь должен начать с вопроса: «Какая из моих функций является статистически и реально значимой?» Нет необходимости продолжать анализ любой функции, исключенной из рассмотрения. Для выбранных функций исследователь должен сочетать рассмотрение структурных коэффициентов с определением положений центроидов классов, чтобы выявить значение каждой функции. Структурные коэффициенты дают, кроме того, информацию о том, как каждая из переменных участвует в различении классов в этой системе координат.

В некоторых исследованиях работа аналитика заканчивается вместе с окончанием интерпретации канонических дискриминантных функций. Более вероятно, исследователь продолжит классификацию объектов — либо для практических, либо для аналитических целей, что и является темой следующего раздела. !7. ПРОЦЕДУРЫ КЛАССИФИКАЦИИ Как уже было сказано, целью дискриминантного анализа является решение двух задач: интерпретации н классификации. До снх пор внимание фокусировалось в основном на задаче интерпретации, которая связана с определением числа н значимости канонических дискрнмннантных функций и с выяснением их значении для объяснения различий между классами.

Классификация — это особый внд деятельности исследователя, в котором либо дискриминантные переменные, либо канонические дискримннантные функции используются для предсказания класса, к которому более вероятно принадлежит некоторый объект. Существует несколько процедур классификация„но все онн сравнивают положение объекта с каждым нз центроидов классов, чтобы найти «ближайший». Например, целью исследования Бардес было сформировать подпространство, определяемое канонической дискриминавтной функцией, используя данные о 19 сенаторах и выделенных фракциях. Затем она, воспользовавшись результатами их голосования, вычислила значения дискриминантной функции для позиций остальных сенаторов и смогла отнести позицию каждого сенатора к одной из четырех групп.

Таким образом, она определила размеры н состав фракций и выяснила, как они изменяются со временем. КЛАССИФИЦИРУЮЩИЕ ФУИКЦИИ Классификация — это процесс, который помогает исследователю принять решение: указанный объект «прннадлежит к» нли «очень похож на» данную группу (класс). Такое решение принимается на основе информации, содержащейся в днскримннантных переменных. Существует несколько способов проведения классификация. Обычно они требуют определения понятия «расстояния» !!2 между объектом и каждым центроидом группы, чтобы можно было п иписать объект к «ближайшей» группе.

Р роцедуры классификации могут использовать или самими днскриминантные переменные, илн канонические дискриминантные функции. В первом случае днскриминантный анализ вовсе не проводится". Здесь просто применяется подход максимизации различий между классами для получения функции классификации. Различение классов или размерность дискрнминантного пространства ~на значимость не проверяется. Если же сначала определяются канонические днскриминантные функции н классификация проводится с их помощью, можно провести более глубокий анализ.

К этому мы вернемся позднее, а сейчас продолжим рассмотрение классификации, когда дискриминантные переменные используются непосредственно. Простые классифицированные функции Фишер (1936) был первым, кто предположил, что классификация должна проводиться с помощью линейной комбинации дискрнминантных переменных. Он предложил применять линейную комбинацию, которая макснмизирует различия между классами, но минимизирует дисперсию внутри классов.

Разработка его предложения приводит нас к определению особой линейной комбинации для каждого класса, которая называется «классифицирующая функция»'. Она имеет следующий вид: йд=йдо+Ьд1Х1+ЬдзХа+ "'+ЬдрХр (12) где Ьд — значение функции для класса й, а Ьд,— коэффициенты, которые необходимо определить. Объект относится к классу с наибольшим значением (наибольшим Ь). Коэффициенты для классифицирующих функций определяются с помощью таких вычислений: Ьд,= (п -д) 2, а„Х,д (1З) где Ьд, — коэффициент для переменной 1 в выражении, соответствующему классу )г, а а„— элемент матрицы, обратной к внутри- групповой матрице сумм попарных произведений (ртз.

Характеристики

Список файлов книги