Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика (1185124), страница 73
Текст из файла (страница 73)
д) Вследствие течения давление будет изменяться. Согласно неравенству (3), правый сосуд охлаждается, а левый нагревается. Следовательно, необходимо искусственно заботиться о выравнивании давления и подводо тепла (т. е. поместить систему в термостат).
П1. 7 Пусть плотности молекул, движущихся от пластин А„Л«и В, соответственно равны п„п, и и,, Тогда, согласно условию задачи, равновесие частиц осуществляется, если п,с,=п,с,= п,с,' или, что в силу изотропии сводится к тому же, если Ф п,с = пас = п«с Здесь с и с' обозначают средние скорости соответственно при температурах Т и Т'.
Давление р вычисляется при равновесии из формулы 1 « р = — тпс«. В данном случае и = 2п, = 2п, следовательно, 2 « л= — пгп,с«. Отдача молекул, движущихся от В, одина'=3 455 Указания я решению задач 2 К= — тР(п,с" — п,са) =рр~ — ' — — 1). (2) Отсзода, согласно условию (1), находим К=рР( — ' '=" 1) Поэтому, принимая во внимание, что с 1е Т, сз . Т, получаем илн (4) 1(г.1, Получаются следующие частоты ошибок: Ошибки я=О 1 2 1 8 3 6 16 16 4 16 6 16 4 16 В общем случае вероятности ошибок даются биномнальными коэффициентами.
Пусть п — общее число отдельных ошибок, а й — число положительных ошибок; веро- коза в обе стороны и компенсируется. Силовое воздей- ствие на пластину В, которое не компенсируется, обу- словлено только приходящими молекулами. Результиру- ющая сила составляет 458 Указании к решению аадач ятность этого события равна 1 и1 ил — вн Р1(л Ь)1 ~ и величина ошибки составляет 1,л=йе+(п — й)( — е) =(2й — п)е=х. Если внес~и вместо й величину ошибки х, то х, и я= —,т— 2е 2 и (при «И = 1) 1 л1~й 1 и1 Нх 2" М(и — а)! 2и е'л х~ / л х ~ 2е 1, 2 2е,/' 1, 2 2е./ Правую часть можно преобразовать по формуле Стирлинга Ы=(2я )" ®".
Отсюда находим Логарифмы сомножителей в знаменателе равны Их сумма, следовательно, составляет хе 2иее ' Поэтому произведение в знаменателе равно ех'1ел",и,сле- довательно, мы получаем Г/у (2кпее) — 11ее х юле е1х Указании и решению задач что и требовалось доказать. Если положить х=((2па')Нз, то интеграл от Йа равен Йо== ~ е- е(1=1. 1 )еа 1Ч.2. а) При наложении двух однородных статистически независимых ошибок измерения вероятность того, что ошибки лежат между (х', х'+Их') и (х", х" +е(х"), равна ~, (х') ~, (х") Ых' с(х". Полная ошибка составляет х'+ х" = х. Чтобы найти интересующую нас вероятность определенной полной ошибки, полагаем, следовательно, х" = х — х' и интегрируем по х'.
Получаем ~з(х) = ~ 1,(х') ~,(х — х') е(х'. /и (х) = ~ У, (х') Ра, (х - х') е(х'. (2) б) Если ~„= (саа) Нес ' '" ( при ~ ~и Ых = 1 ), то из уравнения (2) вытекает равенство 1 1, 1 а (3) — — — -с — —— ии ае-1 а, а, Следовательно, функция Гаусса удовлетворяет уравнению (2) и значение полуширины кривой пропорционально я нз в) Для ответа на поставленный вопрос заметим, что в этом случае уравнение (3) принимает следузощий вид: +е /н(Х)=-,-~ 1.-1(Х вЂ” Х) (Х. 1 Будем искать полную систему решений в виде р'„(х) =- Анена.
В общем случае, если п-я ошибка налагается на (и — 1)-ю, то получаем Указания к решению задач Отсюда при произвольном Л получаем А„(Л) А (Л) — 1 е-ввх' пзх' 1 г =А„,(Л)( л ) следовательно, (4) Мы найдем теперь искомое решение, если представим 1,(х) в виде интеграла Фурье ! (х) = $ С(Л) е !ах НЛ Отсюда, согласно интегральной теореме Фурье [см. т. Л'1, 1 4, уравнение (4,13)], получаем С(Л) = — ~ р', (х) е-!"к!(х = 1г 1 Г .
1 е!п1в = — ~ е-!"кЫх= —— 4ав ) 2к Лв — ° Таким образом, коэффициент Фурье для 1„имеет вид '4и(Л) а ( з ) (5) а сама функция есть (6) з!пЛв 1н ! 3!е!зз ( з!п Лв ~н з Лв,/ Для больших значений п выражение (з(пЛа/Лв)а заметно отличается от нуля лишь в непосредственной окрестности точки Л = О. Поэтому можно заменить этот множитель колоколообразной кривой Узпзаниз и Гемснию эадач При этом интеграл (6) легко вычисляется. Имеем 7' (х) 1 ~ е ~ ~ (1 ~~~)~~ !! -зхсСзчсс или С ( ) ( 2 ) ~се-З~сСЗ" (7) Таким образом, как н в задаче 1Ч.1, получается распределение Гаусса.
Вычислим интеграл (6) при л =1, 2, 3. В общем случае, полагая с е = 8, Е = х/з, имеем /„= — ~ — „сов Ес с(г. Ш Интегрируя по частям, получаем +в 1 1 Г сСС Н" с — — ~ — — (в!и" !сов ЕС). 2чс (з — 1)! 3 с й -с Соответственно нулевая, первая и вторая производные от этих выражений равны вшссозЕс, в!и 21 сов Ес — — Е (1 — сов 21) вш Ес, — — (вшс — 3 в!и Зс) сов Ес — — Е (соз !в 3 3 4 2 — сов31) яш Ес- — Ез(3Мпс — в!и Зс) сов Ес. 1 4 я=1: я=2: п=З: Все получающиеся интегралы принадлежат к одному типу (разрывной множитель Дирихле). Мы выпишем Функция под при я=1: при п =2: при и= 3: знаком производной имеет вид з!и с сов Ес, 1 я!пз с сов Ес — (1 — сов 21) соз Ес, 2 1 я!пз с соя Ес = — (3 Мп с — в1п Зс) сов Ес.
4 4ЕО Указания к решению задач при 1Е~<1, Случай я=1: +1 это наш исходный пункт. Случай я=2: +1 при 1Е/ < 2, при всех Е, при )Е!)2. 1 +ф Е! 1 Отсюда следует 2а/а=1 — — )Е! при (Е(<2. 1 Случай я=3: — 4 при ~Е)<1, 3 4 пр )Е) < 3 9 — при 3 + — !Е( при ~Е~ 4)Е)' п1'и ~Е( + й 1Е/а при /Е~ )3, < 1) < 3. Это дает в интервалах О<!Е~<1 4а/ =- — — — ~Е!а, 9 3, 1, ~ Е! .',Е ~в 4 3 4 0<(Е~: 3 3<)Ц<со результаты интегрирования для отдельных слагаемых ряда и для интервалов, в которых они не обращаются в нуль. Указания к у«ш«яию з«дач 46! -1 О +1 +2 -2 О +1 +г +З Ф и г. 41. Функаии главных сечений для многомерных кубов, изо- браженные для чнсел измерений я=1, 2, 3.
На фиг. 41 изображены функции ~ы /„ 1 . Функция 1, состоит из одной горизонтальной прямой, 1 — из двух наклонных прямых, 1' — из трех параболических кривых и т. д. Можно тотчас же указать геометрический смысл этих функций. Так как возникает при наложении двух постоянных функций ~ы то квадрат со стороной 2«оказывается равномерно заполненным. Найдем области, в которых суммы ошибок постоянны.
Они определяются отрезками пря- Ю мых, перпендикулярных к диагонали Ф и г, 41а. Главное РР квадрата, изображенного на сечение квадрата. фиг. 41а. Длины этих отрезков даются фУнкЦией тз. Соответственно Уз пРивоДит к плоскостЯм сечения куба, перпендикулярным к его главной диагонали, и т. д. Укааакик к ! ашскию аадач 4е2 1(!.3. Распределим Л! частиц по л местам (Л', Лаа, ..., У„). Тогда ач! .~а! ... Лик! Таким обраэом, применяя формулу Стирлинга (29.4а), получаем а) И;= — =1, М а ю! 2и = (2аЛс)иа М ) Ь (7772) !а М ) а (7Ч78) !а =(2яЛ')а!а( — ) .6 .
Отсюда следуют пропорции И'ь (' 2 )а!а л — =! — 1! ° 2 -+со прн Ж-ьсо — = —.3 -+ со прн Л -+ ос. И'а 27 и И'ь к'ат* 1У.4. Имеем — Г р уа= — — 1и ~ е-т ааль=†27 ' 27сТ вЂ” аа Отсюда следует — ЪТ 77Т т = р рр Число Авогадро равно Ь=== '. ' 10" моль '=605 10аа моль '. ЛТ 8,32 287 р,~а 9,43 4,48 У=ЗХЧсТ, У,=62а вв. 1а'.5.
Положим Л! = Яа, Я = 10'. Тогда число частиц на поверхности равно Л',=62а. Тепловая и поверхностная энергии соответственно составляют 463 Уиависсии и яеисспии адич Отсюда следует при Т = 290'К сс ХОТ 10'400 10 св 10а сУО 2вв 21,6 10 св 9 72 с/- с/„если 2 = 10'/14000=700. Таким образом, число частиц /т'= 3,4 10', а линейные размеры образца составляют приблизительно 1= 2 10 о2 см = 1,4 10 о см. 1т'.6.
1. Имеем СО СО 1 — — = — "- х ( ° ).— 2ие — ом чс 12п+ 11 е-и(и+От 1 с ( + ) е( дв в ~1 ' ' .) а о =о о Отсюда и вытекает высказанное в задаче утверждение, так как все интегралы под знаком суммы равны и/2. 2. Если подставить ряд для бо в трансформациоиную формулу, то получим 6о(г ~ ~)=( — )) ~~~~ ( — 1)" ехР ~ — — (г — п)о1 . Отсюда О СО 7(д) = — —, еоы ( — ") '(:) 11ш,5~ ( — 1)" Х и=-аи СО Х ~ — ехр ) — — (г — п)о| Ыг. При одновременном изменении знаков г и и изменяются лишь пределы интегрирования, поэтому СО ° + СО 11ш ~ = 1сш ~ = — ~ Таким образом, имеем Я(с/)= — ео14( — ) ~~ ( — 1)" Х и=-си +СО Х ~ — ехр ~ — — (г — и)'1 с/г Ч -аи Указания к ргшенша задан Замена переменной х = 1/е+ л дает +зз +зз Я(д) = — 'евСс(~д) сы ~ ( ~~~~ ( — 1)" — ) е-с'свЮ.
Оз а= — зз Отсюда в силу равенства +Щ с с 'Я ( 1)н с+ кк в!п с и вытекает доказываемое утверждение. 3. Формально можно написать — = —. =2с ~ е-сов+с)сс 1 яСе-сс в1п с 1 — з-м' к=о зз ", . = — 2с ~~с' е+<з"+'>к 1 — есасс в~о = — с ~~', (е+<з"+'>к — е-<з"+с>сс) =2 ~~с' в!п(2й+ 1) с. в=о ~о Интеграл в Я(<у) (см. выше) преобразуется следующим образом: +О) Оз 2 ~ ге1п (2й+ 1) се-сссвссг= 2 ~ есп (2й+ 1)се-свсв Ысв, -за о т. е., полагая т = хо, получаем интеграл типа преобразования Лапласа, а именно: 2 ~ в1п(2й-(-1) у' се сос1т=с!(кр)'с ехр ~ — (Й+ ~) Ч] ° о Этот интеграл можно легко вычислить или взять из таблиц по преобразованиям Лапласа' ).
Получаем Я(д) = ч~~ ~(2й+1) е в<в+с!о. (1) в=о с) 1й'. Мваппв, У,. ОЬегЬо111пдог, Рогше1п ппс! Исае баг 6!е врег1е11еп РппЬС!опеп с1ог шаСЬошвпвсЬеп РЬув!Ь, Вот!!п, 1943. 465 Указание к реиеениеа еадач Получается в точности уравнение (33.3), выведенное из трансформированного представления Е-функции, в связи с чем доказательство трансформационной формулы становится излишним. Можно, впрочем, вывести ее из транс- формационной формулы, приведенной в т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
