Гельфер Я.М. История и методология термодинамики и статистической физики (1185114), страница 33
Текст из файла (страница 33)
5]. На первый взгляд кажется странным, почему Клапейрон спустя более десяти лет после появления работы Пуассона об адиабатном процессе считает неизвестным закон, которому подчиняется процесс ЕЕ. Дело в том, что Клапейрон отвергал работу Пуассона, полагая, что она неверна вследствие предположения последнего о том, что отношение ср/с„должно быть пропорционально температуре.
Клапейрон же считал это отношение независимым от температуры. По этому поводу он писал: 124 м Менделеев Д. И. Сочинения. М.— Л., 1939, т. б, с. 211. а' Смл там же, с. 288. «Поглощение или выделение теплоты при расширении и сжатии газов изучалось Лапласом и после него Пуассоном, которые теоретически хорошо развили этот вопрос. Однако они ввели допущения, кажущиеся весьма уязвимыми. Они предположили, что отношение удельных теплот при постоянном давлении и постоянном объеме должно быть пропорционально телшературе газа в процессе отдачи или поглощения тепла» [77, № 216, 5. 2]. Именно вследствие этого Клапейрон полагал, что уравнение Пуассона для указанного процесса неверно н, следовательно, задача состоит в том, чтобы такое уравнение получить. Если бы Клапейрон глубже вник в сущность исследования Пуассона, то он увидел бы много общего в его и своем подходе к математической трактовке термодинамических процессов и тогда без труда сам бы вывел уравнение адиабатического процесса Пуассона.
Четвертой операции Карно на диаграмме Клапейрона опять соответствует гипербола РК, и, наконец, круговой процесс завершается вдоль линии КС, описывающей ту стадию сжатия газа, которая протекает «без обмена теплородом с более холодным телом». При этом температура, давление и объем должны вновь равняться первоначальным их значениям. Для того чтобы это имело место, Клапейрон в полном согласии с Карно полагает: «Сжатие должно быть так велико, чтобы развиваемая при этом теплота в точности была равна теплоте, подведенной к газу в процессе его расширения. Это условие является необходимым для того, чтобы в конечном итоге не только объем равнялся на«альках<у объему, но также давление и температурам [77, № 216, 5. 6].
Следовательно, согласно Клапейрону и в полном соответствии с вещественной теорией теплоты при совершении цикла никакой затраты теплорода не происходит. Полезная работа получается в результате падения теплорода с температурного уровня 1, до 1г. Эта работа, согласно Клапейрону, на диаграмме изображается площадью фигуры СЕЦК [рис. 19).
Указанное Клапейроном условие о равенстве количеств теплоты, полученной от нагревателя и отданной холодильнику, с необходимостью предполагает, что описанный им круговой процесс Карно должен быть бесконечно малым квазистатическим циклом. Действительно, только в этом случае можно считать 1;11=Да, так как в бесконечно малом квазистатическом цикле Карно оба эти количества теплоты будут отличаться на бесконечно малую величину с['1,1.
Поскольку Клапейрон производил свои вычисления, как мы видим, с точностью до бесконечно малых первого порядка, то он мог пренебречь с['О. И именно вследствие этого, несмотря на использование теории теплорода, Клапейрон получил правильные результаты. Как видим, причина, по которой Клапейрон получил верные результаты, исходя из неверных предпосылок, такая же, как и причина, по которой у Пуассона получилось верное уравнение адиабатического процесса, несмотря на допущение о неуничтожимости теплоты. В обоих случаях рассматривались бесконечно малые квазистатические процессы, допускавшие применение аппарата дифференциального исчисления.
126 Естественно, что ни Клапейрон, ни Пуассон ничего об этом не знали, а действовали по гениальной интуиции. Впервые причину непротиворечивости полученных ими результатов с принципом эквивалентности теплоты и работы, несмотря на использование теории теплорода, объяснил Ж. бертран в своем курсе термодинамики. Посмотрим, каким образом Клапейрону в рамках теории тепло- рода удалось показать, что дА/Щне зависит от природы рабочего тела, а определяется функцией Карно. Так как Я=Я(р, о) и согласно уравнению состояния ро=й(267+1), то отсюда Клапейрон заключает, что выражение ~ †") — ~ †") должно быть некоторой функцией произведения ро, т.
е. .1' — ") — ~ — "1 = (о). ~ д> /> ~ др, > Интегралом этого дифференциального уравнения в частных производных будет 9=1(ро) — Р(ро)1п р, (1Ч.З) где 1(ро) — некоторая произвольная функция. Так как согласно уравнению состояния произведение ро зависит только от температуры 1, то можно положить 1(ро) = ЯВ (1) и Г(ро)=ЯС(1); тогда (1Ч.З) примет вид Я = Я ( — С 1пр). (1Ч.4) Дифференцируя (1Ч.4) дважды, один раз по о при р=сопз1, а другой — по р при о=сова(, а затем вычитая из первой производной вторую, Клапейрон получает .(а'~) — ("~) =Се Подставляя это значение в (1>'.3), он и находит (1Ч.5) г~~ с' откуда следует теорема Карно о том, что «величина движущей силы, развитой падением единицы количества телла...
должна зависеть единственно от 1 и может быть представлена функцией Р(1)>. В уравнении (!Ч.5) функция Карно г (1) и есть С. И здесь правильный результат получился потому, что Клапейрон оперировал бесконечно малым квазистатическим циклом, когда отличие температуры нагревателя от температуры холодильника бесконечно мало. Только при этом условии функция Карно г" (1) будет функцией одной температуры, в качестве которой можно принять 126 как температуру нагревателя, так и температуру холодильника. Полученное выражение для количества теплоты (1Ч.4) Клапейрон применяетдля аналитического доказательства некоторых теоретических положений, высказанных как Карно, так и некоторыми другими физиками. Так, он доказывает найденный ранее экспериментально Дюлонгом з а к о н, согласно которому если при равных температурах различные газы одиноковагм образом изменяют свой объем, то при этом они поглощают (при расширении) или выделяют (при сжатии) одинаковые количества теплоты.
Действительно, пусть для первого газа (г = Й ( — С 1и р), а для второго Я ' = )ч ( — С 1п р'). Вычитая почленно, получаем Я вЂ” ~7= КС 1п (р'(р) = КС 1п(о! о'), откуда при о=о' следует, что Я=Я'. Из последнего равенства следует также и з а к о н К а р н о: если при постоянной температуре объем газа изменяется в геометрической прогрессии, то поглощаемые или выделяемые при этом количества теплоты изменяются в арифметической прогрессии. Следует отметить еще один интересный результат Клапейрона, связанный с выражением (1Ч.4) для количества теплоты. Дифференцируя но 7 при постоянном р, он находит теплоемкость газа при постоянном давлении: 7 6В бС с =й~ — — — !пр).
(, 61 61 Дифференцирование по 7 при постоянном о дает теплоемкость газа при постоянном объеме: с,=)с~'1 — б 1пр — С 1 ( ду ) 1= )бВ бС С = Я(' — — — 1и р - — '1. (, 61 Й 267+1! Вычитая из первого равенства второе, Клапейрон получает разность этих двух теплоемкостей с„— с,= р С, 267 +1 откуда заключает: «1(ля равных объемов различных газов при равных давлениях и одинаковых температурах постоянная С имеет одно и то же значение; так что избььток удельной теплоты при неизменном давлении над удельной теплоемкостью при неизменном объеме имеет одно и то же значениеь [77, № 216, 8. 19].
Если бы Клапейрон правильно понял отношение между теплотой и механической работой, то он был бы автором «уравнения Майера» и разделил бы славу первооткрывателя механического 127 Рис, 20. Диаграмма Клапейрона «количество движущей силы, развитой в полном кругу операций, измеряется произведением объема пара на разности между его упругостями при температуре тела А и тела В. Что касается употребленного тепла, т.
е, перенесенного от тела А к телу В, то, очевидно, что зто количество, нужное для превращения воды в пар, пренебрегая каждый раз маленьким количеством, идущим для повышения температуры жидкой воды от температуры тела В до тела А» [77, с. 49). Эти рассуждения Карно Клапейрон также облекает в математическую форму. Упругость насыщенного пара жидкости зависит только от температуры. Поэтому на диаграмме Клапейрона изотермы, соответствующие получению и отдаче теплоты, будут прямыми линиями, перпендикулярными оси давлений. Эта диаграмма Клапейрона приведена на рис.
20. Пусть р — плотность жидкости, 6 — плотность ее пара, и — объем единицы массы образовавшегося пара. Тогда Ьп — масса пара, а Ьо/р — объем испарившейся воды. Длина отрезка Ьй соответствует изменению объема при испарении единицы массы воды, т. е. разности ой — оЬ= о(1 — Ь/р). С другой стороны, разность отрезков «(й — ей представляет изменение давления г)р, вызванное разностью температур Йг', так что с(й — ей= (г)р/ог)Ж.
Элементарно малая работа равна графически площади цикла, т. е. произведению Ьй с(е, или (! — Ь/р) п(бр/ог) бг. Пусть скрытая теплота единицы объема воды равна й. Тогда на испарение объема о будет затрачено количество теплоты йо. Следовательно, единице теплоты будет соответствовать движущая сила, равная (1/й) (1 — 6/р) (г) р/Ж) й. «Выше было показано, — говорит далее Клапейрон, — что вто отношение не зависит от рода жидкости и будет таким же, как и для газов. Это отношение равно й!С, где С вЂ” функция, зависящая не от природы газа, а только от температуры, Таким образом, получаем, что !28 эквивалента теплоты. И здесь решающий шаг помешала ему сделать теория теплорода. Лишний раз мы убеждаемся в том, каким тормозом служила эта теория на пути развития термодинамики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
