Galitskii-1992 (1185113), страница 150
Текст из файла (страница 150)
Вос. пользовавшись известным из нерелятивнстской теории соотно. шепнем ~ ф! ([, + ![тпч) Ф, [' = [1! ]'+ ] [, 1, в рассматриваемом случае получаем ~ Фг ((е+ тот)з+ р'с'сов Π— (рзс' з!пО нч) ф ~~ оз 8~ ,) = 4е' (в+ тсз)з 1 — — з1п' — ~ и приходим к окончательному выражению для дифференциаль- ного сечения рассеяния непаляризованных частиц; (Вес,)з I оз, О ~ об = (1 — — 3!п — ) ба 4р'о' з!пч (О/2) ~ с' 2 ) (7) 866 (сравнить с рассеянием бесспиновых частиц, рассмотренным в 15.17), В нерелятивистском пределе о/с « 1, р = то оно переходит в формулу Резерфорда. В заключение укажем, что условием применимости получен-. ного результата является выполнение неравенства [Еее~] « йо. 15.3$. Выражение для дифференциального сечения рассеяния иеполяризованных частиц еРАзс(д) / о 91 дй = (ч! — — з!пз — ~ Ы() 4пзй4оз 'ч ст 2 ~ можно получить непосредственно из формулы (7) предыдущей задачи, если в ней произвести очевидную замену — гт =й,( ) пЛееМз ! Все~ -! г -С г Р' зш (8/2) ) г лй' Воспользовавшись соотношением Ю = —, лдз, находим пол- Р иое сечение рассеяния 4р (а' о(а) = 4 з з ~ Ао(Ч) 1,1 4 е е у*) сМ'.
(2) о В ультрарелятивистском пределе имеем р яз е/с, с с, Учитывая, что в интеграле (2) существенна область конечных зна. чений о ~(Я, где )с — радиус потенциала А,(г), замечаем, что при е- ао сечение рассеяния стремится к постоянному значению а(е) -ь па = 4,, ~ Ао(ч) фч е.ь 4пйзсз о (совпадающему с сечением рассеяния заряженной бесспиновой частицы, см. !5.!8). Отметим, что сходнмость интеграла в выражении (3) на нижнем пределе (йз О) предполагает следующее убывание потенциала на больших расстояниях: )А,(г)) ( ( В/гз (как и в нерелятивистском случае, иначе полное сечение рассеяния обращается в бесконечность).
15.Ж Искомые функции Грина легко ыогут быть выражены через соответствующие функции Грина свободной нерелятивистской частицы я »(г,г'), для которых ( — Ь вЂ” й)8»(г, г') 6(г — г'), й (г, г')= з ехр (~ !й (г — г' () 4л) г — г Воспользовавшись соотношением — йзсЧ, — е'+ слзс' = (сор + тсз() — в) (сор + глс'(! + е), 887 имеем (е' йтйзст+ тзс') [ — е ч — а,чч ехр (~ И ! г — г' ! ) 4пй с !г — г'! (сар + тсз() — в) (сар+ тсз() + е) ехр (~ И ! г — г' ! ) 4лйзс г — г' ! = Ь(г — г') Отсюда непосредственно следует вид функций Грина свободной дираковской частицы 6 (г, г') = — (сар+ таз()+е),, (1) 1, ехр(ш(й(г — г'!) 4пйзсз (г — г'! или, с явным указанием биспинорных индексов, ехр(~ И ! г — г' ) Оеар = 4 да з ( Иаир+ шс~()+ е)ср Аналогично, воспользовавшись соотношением — йзсзб — аз + иаэс' — (гсй+ тс') ( — Гсй + тот), находим функции Грива -'е-'--' ж~~~~ ="~) 4пдзсз !г — г'! — Марр+ еу, + тсз ехр (~ И ! г — г' )) 1 В удовлетворяющие уравнению (1сй+ шс ) 1 Ь (г — г').
13.37. Записав с помощью Грина Ос+ из 15.36 уравнение ширака в интегральной форме, получаем амплитуду рассеяния в бориовском приближении в виде (сравнить с (ХИ1.3 — б), е— заряд частицы, г" = )и,): 7в — — е (ерз + шст!) + е) (аА (ц) — Ас (й)) )4пй с . Здесь биспииорная амплитуда Р рассеянной волны связана с асимптотикой решения при г сс Чти+ (г) = и~е~ю~+ Рсш~(г, рз — — ййп, Отметим соотношение (при нормировке йп„ицю =!) со/нй = (пз(рт) гвп1(р~)~ =(пфвп~ ! где бв — — ее(аА (и) — Ас (й)))2пд~с~. дополненив Д1. Интегралы и ингегрильные соотношения.
1. б (х) = — (! еглк лй, б (г) = — 1 егвглзд (Д1 Ц Аналогичное соотношение справедливо и для а-мерного про- странства. г(х)их ( Е(х)их к — кз ~ге .1 х — кр Здесь а ( ха ( Ь; в ) 0 — бесконечно мало; ~ — интеграл в смысле главного значения; о вычислении мнимой части интеграла см. 13,11. Ю 3.
~ . =~1 — е~ х! глк й' — н'~ге х — Ю гак е б" = и -"1" 1 (Д1.3) аз+ нз н В х и х — вещественные, причем х ) 0; е ~0 бесконечно мало. Интегралы вмчисляются с помощью вычетов замыканяем контура интегрирования в верхнюю (при х»О) или нижнюю (при х ( 0) полуплоскость комплексной переменной А еплг — нгбзг и ((е н ) О (Д! 4) Р'"'"'- '" Интеграл (определяющий при х = 0 фурье-компоненту кулонов- ского потенциала) вычисляется в сферических координатах с выбором полярной оси вдоль вектора 1г.
00 ч 8. дх ( — 1)Л д" ( дх (х»+ и»)л"! л! дптл,) х + и ч а > О. (Д1.5) 2ли1 !22л+ ! ч ч 8. ~ хле л" дх=( — !)л — »л ~ е "'дх= ди»л чч туп (2л — !)Н 2ли2л+! ь 7. — 2У(х — л) (Ь вЂ” х) Их = — (а + Ь вЂ” 2»УЛЬ), О < и < Ь. ,)х 2 (Д! .7) 8. ~ — дх = —. юпх и (Д1.8) х 2' а Д2. Цилиндрические функции Цилиндрическими функциями Яч (г) называют решения дифференциального уравнения и 1 г / 2 (г)+ — 2 (г)+ (1 — — 2) 22(г) = О.
(Д2.1) Функции Бесселя ( 1)» г че2» (.л »1Г(»+ и+ 1) (2 ) » =.о являются частным видом цилиндрических функций. Если индекс ч не совпадает с целым числом, то функции Бесселя У (г) представляют два линейно независимых решения уравнения (Д2.1), так что 22(г) =С>У (г)+С,У т(г), ч Ф. О, 1, 2, ... Поведение функций Бесселя при г-~ О непосредственно следует из их определения (Д2.2), а асимптотика при г-~ со имеет вид г 2 х!/2 г пт пх Уч(г) еи ( — ) соз(г — — — — ). (Д2.8) ~пг) ~ 2 4)' Функции Неймана й!» (г) — уч (г) = —.
(соз (яч) У~ (г) — У (г)). (Д2,4) ! юп яч Для целочисленных значений индекса ч = л они, УУл (г) = =!йп й(ч(г) при ч- л, являются вторым, линейно независимым 87О с Х» (г) решевнем уравнения (Д2.1); прв этом Ага(г) яа — !п — н Аг»(г) яв — — !х — ) для»)0, 2 уг Г(») l 2 х» г-ьо и г.»о и г (Д2Л) здесь у = е = 1,781... — постоянная Эйлера, С=0,5772... Аснмптотнка фуннций Неймана прн г-» со имеет внд: 2 Х!)г, Г и» нХ Лl (г) ж [ — ) 5!п [г — — — — ) ° (Д2.6) [нг) Х, 2 4)' С функциями Бесселя я Неймана тесно связаны функцнн Ганкеля (г)4 7»(г)+1Ф»(г). Н~ (г)=1 (г) — 11Р (г), (Д2.7) а такнге модифицированные функции Бесселя 1» (г) н К» (г) (функции Макдональда), определяемые соотношеннямн 1 х»+га Х Лг Р (» + 1 + 1) [, 2 ) ь- о (Д2.8) (представляющая цнляндрнческую функцию мнимого аргумен- та) является общим интегралом уравнения 1 т Г и + — и — ~1+ — Г) и»=0.
г» х г (Д2.10) В заключение отметим, что с цилиндрическими функцнямн связаны решения дифференциальных уравнений и" + аг»и = О, и = Ч/г Л, ! — г~+~1'), (Д2Л1) х»+2 »»2 Г 1(1 + 1) У гх »+2 и" (г)+(раааа — »а) и(г) =О, и=2 (уе'), (Д2.12) (Д2.13) имеющие важные квантовомеханнческне приложения. 871 К (г) = . [1 .» (г) — 1 (г)), » ~ О, ~ 1, ~ 2, ... 2 Шпп» Для целочисленных значений нндекса К„(г) = !нп К» (г) прн » -ь н = О, ~ 1, ~ 2,,; прн этом 2 (и - 1) ! / 2 хи Ка(г) нэ !п —; Кя(г) яв ' [ — ), п=1,2, ..., (Д2.9) уг' .~е 2 хг) ' сравнить с (Д2.5).
Суперпозиция модифицированных функций Бесселя и» (г) =— 2» (1г) = С~1» (г) + СхК» (г) И = ( з(/«/йа) '/ (ДЗ.1) случае Ч » 1 вблизи точки этом для по степеням х/а число связанвых состояний частицы возрастает. В волновые функции нижних уровней локализованы минимума потенциала, в которой У'(0) = О. Прн тенциала можно воспользоваться разложением по (ниже 8 = ш = а = 1): (/ (к) (! (0) + — маха+ ах'+ (гх'+ ...
1 2 где мз = Уп (0), и (/"' (0) /6, (1 (/!~ (0)/24. (Д3.2) Здесь третий и последующие члены разложения выступают как возмущение; невозмущенная система — осциллятор с частотой ы. Ряд теории возмушений по степеням ангармонических поправок 1Х !5 а' «' 1!Х Е„= (/ (О) + и (п+ — ) — — — ~па+ и+ — ) + 2) 4 м' ~ ЗО) + — — а-(па+ и+ — ) -1- ..., (ДЗ.З) см. (1, $ 38), применительно к рассматриваемой задаче представляет 1/А1-разложение для энергетических уровней частицы (при этом У(0) «уз, м У, (из/м«) — (8/мз) 1Р = 1 и т.
д.). Этот рез>льтат асимптотически точен при АГ-э-оэ. Од. пако, как правило, для гладких потенциалов он имеет достаточно высокую точность и при значениях л/ ~~ ! (для увеличения точности следует учесть более свысокиеэ ангармоннческие поправки, ') О развитии метода 1//У-разложения и его приложениях см. обзоры: М!о«(!пою Д Рэ Рарап!со!аои У.//Апп. Р(«уз. !980. Ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
