Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1973) (1185097), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Но эти вероятности, согласно (3.10) для всех частиц одинаковы, откуда среднее число частиц В В 1 Следовательно, средняя плотность числа частиц а) ( — — — ~ )м+ч~+е )+ и (х, и 2)) ьхдуатцьча4 Х,2ийт) (3.17) 7 = )у')р. (3. 18) эе Подробнее этот вопрос будет рассмотрен в Э 15 гл. 1П, в которой распределение Максвелла — Больцмана будет выведено из канонического распределения Гиббса. Там же будут рассмотрены различные формы этого распределения и уточнен физический смысл функции распределения. В заключение этого параграфа мы рассмотрим несколько задач на распределение Максвелла — Больцмана, представляющих упражнения на вычисления различных статистических средних, имеющих определенный физический смысл. Общий случай классических систем, состоящих из взаимодействующих между собой молекул, будет рассмотрен в следующей главе.
На примере такой общей динамической модели будет изложен общий статистический метод Гиббса, применимый не только к механическим, но и ко всем немеханическим системам, подчиняющимся уравнениям Гамильтона, и составляющий основу статистической физики. 31ААЧИ 1-1. Вычислить среднюю абсолютную скорость молекул идеального газа 'у~, а также Д ~, и ,', ~ ~ . 1-2. Определить наиболее вероятную абсолютную скорость молекул идеального газа, 1-3. Вычислить среднюю кинетическую энергию и среднее квадратичное уклонение кинетической энергии молекул идеального газа. 1-4.
Найти вероятность того, что кинетическая энергия молекулы идеального газа не превышает заданного значения а. 1-5. В большом сосуде объемом Р при температуре Т находится М частиц идеального газа. Найти угловое распределение частиц, вылетающих,в единицу времени в вакуум из небольшого отверстия площадью о в стенке сосуда.
1-6. Определить наиболее вероятную энергию частицы идеального газа. Глава Л Основные представлении класоичеакой отатиатичеекой механики % 4. Общая щвханнчссная щслвль. Фавввсв ярсстранства В качестве общей классической микроскопической модели материальных тел рассмотрим систему У материальных точек, движущихся по законам классической механики. Эта механическая система не может быть диссипативной, так как всякое трение или диссипацня означает переход механической энергии в тепловую. Наша же цель создать, так сказать, механическую теорию тепла, в которой тепловая форма движения получалась бы из механической.
Следовательно, наша модель, состоящая из системы материальных точек, должна быть консервативной системой. Пусть каждая материальная точка системы описывается декартовыми координатами Совокупность этих трех координат мы будем также иногда обозначать вектором гл. Эта система М материальных точек может описываться также Зл1 обобщенными координатами: о„(хм ..., гл) (и = 1, 2, ..., Зйт). Уравнениями движения такой консервативной системы являются уравнения Лагранжа: — — — — =О (а=1, 2, ..., ЗМ), (4.1) сУ дча дда где Е = К вЂ” (У вЂ” функция Лагранжа, или лагранжиан; К вЂ” кинетическая энергия; (У вЂ” потенциальная энергия сс системы. Однако в статистической физике удобнее пользоваться уравнениями движения в гамильтоновой форме: ди др» й = 1, 2, ..., Зггг', Р» — дд» Н= „7, р»Ч» — ~-, (4.2) дт.
дв» Здесь Н вЂ” функция Гамильтона, или гамильтониан, а (ггг уг " у»л ' р» рг ", р,н) — совокупность канонических пере»генных. В общих выводах все канонические переменные мы будем обозначать буквой Х„, полагая г)» = Х» р» = Х» "зн (А = 1 2 "" 3лг) (4 3) 39 Для сокращения формул вся совокупность переменных (Х„Х„..., Х»л) часто будет обозначаться одной буквой (Х), а произведение всех дифференциалов г(Х„с(Х„.... г(Х»н будет обозначаться через с(Х., Уравнения Гамильтона представляют систему дифферен- циальных уравнений первого порядка, в силу чего значения всех переменных Х в момент 1 полностью определяются, если известны значения этих переменных Х' в момент г = О.
Это свойство гамильтоновой формы механики позволяет ввести геометрически наглядное изображение системы и ее движения в фазовом пространстве. Фазовым проспгранством называется воображаемое 6М- мерное геометрическое пространство, координатами кото- рого являются 6Лг канонических переменных Х„Х„..., Х,л-. Точка в фазовом пространстве изображает состояние всей системы в заданный момент времени. С течением вре- мени фазовая точка перемещается по фазовому пространству, образуя фазовую траекторию.
Последняя изображает, очевидно, движение всех Лг материальных точек. В механике рассматриваются только такие гамильто- нианы, для которых решения уравнений Гамильтона од- нозначны, т. е. каждая начальная фазовая точка определяет единственную фазовую траекторию. Следовательно, фазо- вые траектории непересекаемы. Простейшим примером фазового пространства является фазовая плоскость, т.
е. фазовое пространство системы с од- ной степенью свободы. Ясно, что это единственная система, фазовое пространство которой мы можем конкретно изобразить в нашем трехмерном мире, ибо уже для системы с двумя степенями свободы фазовое пространство четырехмерно.
В качестве примера рассмотрим на фазовой плоскости фазовые траектории линейного гармонического осциллятора и частицы, движущиеся между двумя потенциальными стенками (потенциальный ящик). Рсь 3 Рис. 2 Решениями уравнений Гамильтона для гармонического осциллятора будут: д=ч,з1пыт, р=тд=тыд„созыт=рэсоэат. Следовательно, фазовые траектории имеют вид концентрических эллипсов (рис. 2). Фазовые траектории частицы в потенциальном ящике имеют вид, представленный на рис. 3. % 5. ьтатистичесиае аиисаиие мехаиичесиай системы С механической точки зрения состояние системы полностью задается каноническими переменными (Х).
Назовем это состояние микромодели вещества микросюпическим состоянием. Таким образом, микроскопическое состояние полностью определяется каноническими переменными или заданием фазовой точки. С макроскопической же точки зрения состояние вещества определяется весьма ограниченным числом параметров, достаточных для макроскопической характеристики системы: Задание этих параметров, измеряемых в макроскопическом опыте, определяет макроскопическое состояние системы, Очевидно, одному и тому же 40 микроскопическому состоянию системы соответствует множество различных микроскопических состояний.
Следовательно, с микроскопической точки зрения макроскопическое описание системы при помощи ограниченного числа макроскопнческих переменных не может быть полным. Пусть макроскопическими параметрами, т. е, макроскопически измеряемыми величинами, являются функции канонических переменных е: Ра(Х), причемй=1,2, ..., п, гдеп 'М. (т' (6) = ~ ю (Х, т) дх. (5.1) Если область 6 охватывает весь фазовый объем, занимае- мый всеми возможными фазовыми точками, то 97 (6) пре- вращается в достоверность, т. е. равно единице. Отсюда получаем условие нормировки ~ гп (Х, 1) ЙХ = 1, (5.2) * Вообще макроскопическими параметрами могут быть не только функции канонических переменных, но и параметры, характериаующне распределения вероятностей микроскопических параметров. 41 Тогда задание всех га не определяет всех Х.
Следовательно, исходя из макроскопических измерений, можно сделать только статистические суждения о значениях микроскопических переменных Х. Таким образом, макроскопически задаваемая система с неизбежностью должна изображаться статистически, т. е. не посредством задания всех канонических переменных Х, а посредством задания плотности вероятности этих переменных гп (Х„ Х„ ..., Хаа, т), или сокращенно гп (Х, 1). Эта фазовая плотность вероятнослги называется иногда также фазовым распределением вероятностей, или просто фазовым распределением. Как и всякая априорная вероятность, фазовая плотность вероятности для фиксированного момента времени выбирается удовлетворяющей макроскопическим условиям, соответствующим способу выделения системы из всего окружающего, а также некоторым требованиям симметрии.
Такой выбор не является однозначным, н поэтому правильность выбора окончательно подтверждается сравнением результатов статистической теории с опытом. Зная фазовую плотность вероятности, можно вычислить вероятность обнаружить систему в заданном фазовом объеме 6: где (Х) означает интегрирование по всей области изменения канонических переменных Х. Это условие постоянно используется в статистической физике для определения постоянных множителей, стоящих перед выражениями вероятностей. Зная и> (Х, 2), можно вычислить статистическое среднее значение любой физической величины Р (Х) согласно формуле Р= ~ Р(Х) и>(Х, 2) дХ, <х> а также среднее квадратичное уклонение (5 4) (Р— Р) .
Физический смысл величины Л (Р) можно наглядно проиллюстрировать на рисунке (рис. 4). Среднее значение Р изображено здесь жирной линией. ИстинР ное случайное зна- Г чение Р в данном конкретном опыте изображено тонкой нерегулярной линией. В другом конкретном опыте эта линия пошла бы иначе. Однако в подавляющем большинстве случаев, линия, изображающая истинное движение, будет в основном находиться внутри полосы, ограниченной пунктирными линиями, имеющей ширину, равную 2А (Р), как это изображено на рисунке. Последнее следует из неравенства Чебышева (см. (2.29)), согласно которому 'йт ( ) Р— Р, ) а~ ( (5.5) Если прн конечном Р величина Л (Р) — 0 (т. е.
Л (Р)/Р (( 1), то кривая, изображающая истинные значения Р, в подавляющем большинстве случаев практически совпадает с кривой, изображающей среднее значение Р. Вычисляя в этом случае среднее значение Р, мы находим 42 стап1истический закон поведения величины Р. По этому закону практически с достоверностью мы можем предсказывать истинное значение величины Р. Если же Л (Р) велико, то для данного конкретного процесса Р уже не выражает никакого закона, так как нет повторяемости от опыта к опыту и знание только Р не дает возможности предсказать истинное значение Р. В этом случае статистический закон существует только для средних арифметических от истинных значений величины Р по очень большому числу опытов в силу закона больших чисел, но для единичного измерения предсказание практически невозможно, а поэтому не существует и какого-либо з а к о н а. (6.!) % 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
