Задача 22 (1183304)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Задача 22. Используя уравнения Боголюбова де Жена, определить коэффициенты в функционале Гинзбурга-Ландау через микроскопические параметры гамильтониана.

Решение. В предыдущей задаче 21 было получено уравнение (21) для щели в энергетическом спектре сверхпроводящего ферми-газа

(1)

Коэффициенты преобразования Боголюбова даются соотношением (22) из задачи 21 (в отсутствие сверхпроводящего тока, т.е. q = 0)

Для этих коэффициентов было получено уравнение (23) в задаче 21

(2)

Здесь Далее, - функция распределения Ферми для свободных квазичастиц.

Так как операторы квазичастиц должны удовлетворять правилам антикоммутации, как и операторы ферми-частиц, то из соотношения (11) задачи 21 следует, что . Из (2) тогда следует явный вид коэффициентов преобразования Боголюбова

Подставляя эти значения в (1), находим уравнение для определения величины :

(3)

Пределы интегрирования по здесь распространены в обе стороны от , так как в интеграле существенна лишь область импульсов электронов вблизи импульса Ферми. Следует отметить, что в металле пределы интегрирования распространяются не до энергии Ферми, а до температуры Дебая (которая мала по сравнению с энергией Ферми), так как электроны взаимодействуют друг с другом, обмениваясь фононами кристаллической решетки. Это взаимодействие эффективно, пока энергии электронов не превышают существенно энергии фононов.

При нулевой температуре из (3) получим уравнение

(4)

Отсюда

(5)

Обратимся теперь к общему случаю конечных температур. Запишем уравнение (3) в виде

Здесь было использовано соотношение (4) с заменой . Подставляя в левую часть этого уравнения выражение (4), перепишем его в более простом виде

. (6)

Ввиду сходимости интеграла верхний предел в (6) распространен до бесконечности.

Теперь обратимся к окрестности точки фазового перехода, где величина мала. Заменим переменную интегрирования в (6) и обозначим . Далее, перепишем интеграл в правой части (6) в виде

(7)

Вычислим отдельные части этого интеграла

. (8)

Далее,

(9)

(интеграл вычислялся на компьютере). Итак,

(10)

(константа С сокращается). В двух последних слагаемых интеграла в (7) проводим разложение в ряд Тейлора

(11)

(интеграл также вычислялся на компьютере). Подставляя (10) и (11) в (6), Находим

(12)

Из (12) следует, что щель обращается в нуль при критической температуре

(13)

В окрестности критической температуры из (12) имеем

(14)

Для функционала Гинзбурга-Ландау (свободная энергия), отнесенного к единице объема, в окрестности критической точки можно написать (задача 16)

Величина определяется из минимума потенциала:

Подставляя в это соотношение выражение (14), находим и

. (15)

Итак, равновесное значение свободной энергии равно

(16)

С другой стороны, эту величину можно вычислить, исходя из микроскопического гамильтониана. Воспользуемся формулой квантовой механики

(17)

где  - параметр задачи. В данном случае в качестве этого параметра выступает амплитуда взаимодействия V. Отметим также, что в действительности здесь в качестве термодинамического потенциала выступает не свободная энергия, определенная при заданном числе частиц, а, как мы видели в задаче 21, термодинамический потенциал , определенный при заданном химическом потенциале, т.е. фиксированной энергии Ферми.

Дельта-функционное взаимодействие между электронами, приводящее к спариванию электронов с противоположными импульсами и спинами, обсуждалось ранее (формула (5) в задаче 21). В представлении вторичного квантования, это взаимодействие, выраженное через операторы рождения и уничтожения частиц, записывается в виде (оно отнесено к единице объема)

Произведем преобразование Боголюбова для перехода к операторам квазичастиц

Тогда взаимодействие приобретает вид

(18)

где

При усреднении этого выражения при заданных числах заполнения квазичастиц первые два слагаемых исчезают, а из последнего слагаемого получим (такая операция уже проводилась в задаче 21 при получении уравнения для )

Следовательно, из (18) получим, учитывая (1)

(19)

Согласно (17) и (18) находим

(20)

Дифференцируем соотношение (12):

(21)

Из (5) следует, что

(22)

Подставляя (22) в (21), находим

(23)

Подставляя далее (23) в (20), вычисляем интеграл

(24)

Подставляя (14) в (24), находим окончательное микроскопическое выражение для свободной энергии, связанной со спариванием электронов:

(25)

Сравнивая микроскопическое выражение (25) с феноменологическим выражением (16), находим

(26)

(здесь мы воспроизвели также и соотношение (15)). Из (26) находим значение а:

(27)

Можно ввести энергетическую плотность состояний при нулевой температуре

Здесь

- число электронов в единице объема с заданной проекцией спина. Тогда окончательные выражения для феноменологических коэффициентов в функционале Гинзбурга-Ландау через параметры микроскопического гамильтониана приобретают вид

(28)

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов курсовой работы