Задача 14 (1183296)
Текст из файла
Задача 14. Гамильтониан ферромагнетика в модели Изинга в магнитном поле h имеет вид
Здесь - спины электронов, индексы i,k нумеруют узлы кристаллической решетки ферромагнетика,
- магнетон Бора. Обменное взаимодействие –V обеспечивает параллельные спины при низких температурах (спонтанную намагниченность). В приближении самосогласованного поля определить температуру фазового перехода
(температуру Кюри), магнитную восприимчивость выше температуры Кюри и спонтанную намагниченность ниже температуры Кюри.
Решение. Выделим один спин и в соответствии с данной формой гамильтониана введем самосогласованное поле, действующее на этот спин со стороны других спинов, заменяя другие спины средним значением спина
:
Здесь z – число ближайших соседей к данному спину, которые и учитываются во взаимодействии. Среднее значение намагниченности (магнитный момент единицы объема) определяется как
Здесь n – концентрация свободных электронов. Следовательно, самосогласованное поле можно записать в виде
С другой стороны, среднее значение величины намагниченности определим с помощью усреднения по распределению Гиббса
Если (слабое магнитное поле), то из этого соотношения следует, что
Отсюда находим парамагнитную восприимчивость
При отсюда получим
, что совпадает с классическим выражением для парамагнитной восприимчивости, найденной в задаче 12 (уравнение (15)), как и должно быть. Восприимчивость определена при температуре выше критической температуры (температуры Кюри)
В этой точке восприимчивость обращается в бесконечность.
Ниже точки Кюри возникает спонтанная намагниченность. Ее величина находится из (1), если положить h = 0. Получаем неявное уравнение
При Т = 0 отсюда получим . Найдем решение (4) при температурах вблизи температуры Кюри, где намагниченность мала. Разлагая правую часть (4) в ряд Тейлора, получим
Отсюда
На рис. 1 представлена зависимость безразмерной величины от
согласно неявному уравнению (4) (для положительной намагниченности). Она согласуется с оценками, приведенными выше.
Рис. 1
В заключение рассмотрим случай сильного магнитного поля. Обозначим ,
и
Уравнение (1) для намагниченности перепишем в виде
Дифференцируя его по x, получим уравнение для обезразмеренной магнитной восприимчивости :
Подставляя (6) в это соотношение, находим
Восприимчивость обращается в бесконечность при откуда
. Подставляя это соотношение в (6), получим неявное уравнение
Оно определяет критическую точку Кюри t через напряженность магнитного поля x. Если x = 0, то t = 1 (случай слабого поля, рассмотренного выше). На рис. 2 представлена зависимость обезразмеренного магнитного поля от обезразмеренной критической температуры
согласно уравнению (7)
Рис. 2
Из этого рисунка следует, что при критическом поле критическая температура обращается в нуль, т.е. спонтанная намагниченность исчезает.
Обсудим теперь намагниченность при в присутствии магнитного поля. Из (6) следует, что
На рис. 3 показан график этой зависимости при типичном значении .
x
Рис. 3
Из этого рисунка следует, что при небольших магнитных полях каждого знака (в данном случае ) имеется три значения намагниченности. Большее из этих трех значений (при положительных значениях магнитного поля, x > 0, они отмечены пунктирной линией на рис. 3) соответствует стабильному состоянию. Среднее и нижнее значения соответствует неустойчивым состояниям.
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.