Кванты за ночь (1182421), страница 5
Текст из файла (страница 5)
(141a). Íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ýòîãî â ïåðâîìïðèáëèæåíèè ÿâëÿåòñÿ ìàëîñòü âñåõ ñëàãàåìûõ â ñóììå (144). (0)(0)(0)(0) ∀k 6= n,λ |Vkn | = λh k | V̂ | n i Ek − En .(147)Òåîðåìà Ëàãðàíæà óòâåðæäàåò, ÷òî n-êðàòíî äèôôåðåíöèðóåìóþ âáëèçè òî÷êè aôóíêöèþ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå êîíå÷íîé ñóììû:n−1 kXd f (x) (x − a)kdn f (x) (x − a)n+,f (x) =dxk x=ak!dxn x=a+ξn!k=0ãäå0 < ξ < 1.(148)Ýòî çíà÷èò, ÷òî òî÷íîñòü íàéäåííûõ ïî òåîðèè âîçìóùåíèé ïîïðàâîê äàåòñÿ ïåðâûìîòáðîøåííûì ÷ëåíîì ðÿäà ïî λ.6Ýòî òðåáîâàíèå äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ íåïîñðåäñòâåííî â âû÷èñëÿåìîì ïîðÿäêå.2410.2Âûðîæäåííûé ñëó÷àéV̂ | ñ(0)i=En(1)| ñ(0)i,ãäå| ñ(0)i=NXaftÅñëè ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð Ĥ0 ñîäåðæèò N -êðàòíî (N > 2) âûðîæäåííîå çíà÷åíèå,(0)(0)E1 = .
. . = EN , âûáîð ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîáñòâåííûõ ñîñòîÿíèé íåîäíîçíà÷åí. Åñëèäëÿ âûðîæäåííûõ ïî ýíåðãèè ñîñòîÿíèé | n(0) i, | k(0) i ìàòðè÷íûé ýëåìåíò Vn k 6= 0,òî êðèòåðèé ïðèìåíèìîñòè òåîðèè âîçìóùåíèé (147) íàðóøåí.Ïðàâèëüíûå ñîñòîÿíèÿ îñíîâíîãî ïðèáëèæåíèÿ | ñ(0) i, 0 6 ñ 6 N äèàãîíàëèçóþò îïåðàòîð âîçìóùåíèÿ V̂ â âûðîæäåííîì ñåêòîðå:ècñk | k (0) i,k=1h ñ(0) |k̃ (0) i = δñk̃ .(149)det kVn k −En(1) δn k k= 0,drÄèàãîíàëüíàÿ ÷àñòü âîçìóùåíèÿ  îïðåäåëÿåòñÿ ïðè 0 6 n 6 N ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè ìàòðèöû, ñîñòàâëåííîé èç ýëåìåíòîâ Vn k .
Îíè, â ñâîþ î÷åðåäü, óäîâëåòâîðÿþòõàðàêòåðèñòè÷åñêîìó óðàâíåíèþè =NX(1)| k̃ (0) i Ek h k̃ (0) |.(150)k=011o@Ïîñëå ïåðåõîäà ê ïðàâèëüíîìóáàçèñó îñíîâíîãî ïðèáëèæåíèÿ, âû÷èñëåíèå ïîïðàâîê(2)(1)| ñ i ê ñîñòîÿíèÿì è En ê ýíåðãèÿì âûïîëíÿåòñÿ, êàê â íåâûðîæäåííîì ñëó÷àå.Íåñòàöèîíàðíàÿ òåîðèÿ âîçìóùåíèéÃàìèëüòîíèàí íåâîçìóùåííîé çàäà÷è Ĥ0 = const.
Îí ìîæåò èìåòü êàê äèñêðåòíûé,ñïåêòð.  ìîìåíò t = 0 âêëþ÷àþò âîçìóùåíèå λ V̂(t). Ïîëíûéãàìèëüòîíèàí âêëþ÷àåò ïîñòîÿííóþ ãëàâíóþ ÷àñòü è çàâèñÿùåå îò âðåìåíè âîçìóùåíèå:ïðè÷åìrikòàê è íåïðåðûâíûéĤ(t) = Ĥ0 +λ V̂(t),Ĥ0 = const,èĤ0 | n(0) i = En(0) | n(0) i.(151)Ïðè λ = 0 íåñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà è åãî îáùåå ðåøåíèå, ñì. (46) è(50), âûãëÿäÿò òàê:∂| θ(t) i = Ĥ0 | θ(t) i,∂tabi~îòêóäài| θ(t) i = e− ~ Ĥ0 t | θ(0) i.(152)Ìû ïî-ïðåæíåìó áóäåì âû÷èñëÿòü ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû âîçìóùåíèÿ ïî íå çàâèñÿùèì îò âðåìåíè ñîáñòâåííûì ñîñòîÿíèÿì Ĥ0:Vkn (t) = h n(0) | V̂(t)| k (0) i,11.1ãäåĤ0 | n(0) i = En(0) | n(0) i.(153)Ïðåäñòàâëåíèå âçàèìîäåéñòâèÿÏðè λ 6= 0 áóäåì èñêàòü ðåøåíèå íåñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ (151) â âèäåi| θ(t) i = exp − Ĥ0 t · | Θ̃(t) i.~25(154)Ôàêòè÷åñêè ìû âàðüèðóåì ïîñòîÿííóþ, êàê â îáû÷íîì óðàâíåíèè(ñðàâíèòåñ (152)).iÑîñòîÿíèå â ïðåäñòàâëåíèè âçàèìîäåéñòâèÿ | Θ̃(t) i = exp ~ Ĥ0 t · | θ(t) i óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþi~ïðè÷åì∂be | Θ̃(t) i,| Θ̃(t) i = λ V(t)∂t| Θ̃(0) i = | θ(0) i.(155)aftÎïåðàòîð âîçìóùåíèÿ â ïðåäñòàâëåíèè âçàèìîäåéñòâèÿ èìååò âèä:(156)be = e ~i Ĥ0 t V̂(t) e− ~i Ĥ0 t .V(t)Åãî ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ðàâíû (ωnk = ~1 (En(0) − Ek(0))):ib(0)eṼkn (t) = h n(0) | V(t)|k (0) i = Vkn (t) exp (En(0) − Ek ) = Vkn (t) exp i ωnk t.~(157)ãäå∂be| Θ̃(n+1) (t) i = V(t)|Θ̃(n) (t) i,∂t11.2è| Θ̃(0) (0) i = | θ(0) i,| Θ̃(n>1) (0) i = 0.o@i~drCîñòîÿíèå â ïðåäñòàâëåíèè âçàèìîäåéñòâèÿ ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä òåîðèè âîçìóùåíèé: | Θ̃ i = | Θ̃(0) i + λ| Θ̃(1) i + .
. . . Ñîãëàñíî (155), åãî ïîñëåäîâàòåëüíûå ÷ëåíûñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì:(158)Ïåðâûé ïîðÿäîê íóëåâîì ïîðÿäêå ïî λ óðàâíåíèå (155) òðèâèàëüíî:i~òî åñòü∂| Θ̃(0) (t) i = 0,∂t| Θ̃(0) (t) i = | Θ̃(0) i = | θ(0) i.(159)Èç óðàâíåíèÿ (158) ñëåäóåò, ÷òî â ïåðâîì ïîðÿäêåñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì∂be| Θ̃(1) (t) i = V(t)|Θ̃(0) i,∂triki~| Θ̃(1) (0) i = 0.(160)Èíòåãðèðóÿ, ïîëó÷àåì â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè:Ziλ τ b2e| Θ̃(τ ) i = | Θ̃ (τ ) i + λ | Θ̃ (τ ) i + . . . = 1̂ −V(t) dt + O(λ ) | θ(0) i.~ 0(0)(1)(161)abÝòà ôîðìóëà ïðèìåíèìà ïðè ||λ Θ̃(1)|| ||Θ̃(0)|| = 1.11.311.3.1Ïåðåõîäû ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè.
Ïåðâûé ïîðÿäîêÎáùèé ñëó÷àéÀìïëèòóäà âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà çà âðåìÿ τ èç ñîñòîÿíèÿ | θi i = | Θ̃(0) i = | Θ̃i i âïðîèçâîëüíîå ñîñòîÿíèå | θf i = e− Ĥ τ | Θ̃f i ðàâíà7i~0iC(i→f ) (τ ) = h θf |θ(τ ) i = h θf |e− ~ Ĥ0 τ Θ̃(τ ) i,7ãäå | Θ̃(τ ) i ðåøåíèå (155). (162)Èíäåêñû i è f ïðîèñõîäÿò îò initial è nal íà÷àëüíûé è êîíå÷íûé.26 ïåðâîì ïðèáëèæåíèè, ñîãëàñíî (161), âåðîÿòíîñòü8 ïåðåõîäà ðàâíàZiiλ−Ĥτ01̂ −W(i→f ) (τ ) = |C(i→f ) (τ )| = h θf |e ~~20τ2be dt | θi i .V(t)(163)aftÏóñòü íà÷àëüíîå è êîíå÷íîå ñîñòîÿíèÿ ñîáñòâåííûå ñîñòîÿíèÿ ãàìèëüòîíèàíà Ĥ0,òî åñòü| θi i = | i(0) i è | θf i = | f (0) i.
 ñîîòâåòñòâèè ñî (157), W(i→f ) ìîæíî âûðàçèòü÷åðåç ìàòðè÷íûé ýëåìåíò âîçìóùåíèÿ:2 λ R τ f ~ 0 Vi (t) eiωf i t dt ,W(i→f ) (τ ) =1 − O(λ2 ),11.3.2Ìàòðè÷íîå ïðåäñòàâëåíèåïðè i 6= f ;ïðè i = f .(164)drÅñëè ñïåêòð îïåðàòîðà Ĥ0 äèñêðåòíûé, C = ∅, òî ñîñòîÿíèÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòüâåêòîð-ñòîëáöàìè, à îïåðàòîðû ìàòðèöàìè, ñì. ðàçäåë 2.3.2. Ñòîëáåö, îòâå÷àþùèéñîñòîÿíèþ | Θ̃(t) i, èùóò â âèäå ðÿäà ïî ñòåïåíÿì λ:| Θ̃(t) i = C k (t)| k (0) i,è C k (t) = C k (0)(t) + λC k (1)(t) + . .
.(165)i~o@ ñèëó ñîîòíîøåíèÿ (155), êîìïîíåíòû C k (t) ïîä÷èíÿþòñÿ ñëåäóþùèì óðàâíåíèÿì:∂ kC (t) = λ Ve km (t) C m (t),∂tãäåC k (0) = h k (0) |Θ(0) i.(166)Ñîãëàñíî (157) Vemk = eiω t Vmk (t).Ïóñòü íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå ÷èñòîå: | Θi i = | i(0) i.  íóëåâîì ïîðÿäêå èìååì:kmòî åñòü, ñîãëàñíî (166),∂ (0) k(t) = 0,C∂t iriki~(t) = Cik (0) = δki(167) ïåðâîì ïîðÿäêå ïî λ óðàâíåíèÿ (166) ïðèíèìàþò âèä:Ïåðâûé ïîðÿäîê:i~(0) kCi∂ (1) kC(t) = Ṽ∂t i(0) mk(t)m (t) Ci= Ṽik (t),ïðè÷åì(1) kCi(0) = 0.(168)abÏîïðàâêà ïåðâîãî ïîðÿäêà ê êîýôôèöèåíòàì ðàçëîæåíèÿ | Θ̃(τ ) i ðàâíà:Cik (τ )=δikiλ−~Zτeiωki t Vik (t) dt + O(λ2 ).0(169)Ýòî ïðèâîäèò ê (164) äëÿ âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäîâ ìåæäó ÷èñòûìè ñîñòîÿíèÿìè.11.4Ïåðèîäè÷åñêèå âîçìóùåíèÿ.
Ïåðâûé ïîðÿäîêÐå÷ü ïîéäåò î ìîíîõðîìàòè÷åñêîì âîçìóùåíèè, êîòîðîå âêëþ÷àåòñÿ ïðè t = 0:V̂(t) = θ(t)[F̂ e−iωt + F̂+ eiωt ],ãäå ω > 0.(170)8 íåïðåðûâíîì ñïåêòðå ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè.2711.4.1Âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäîâ ïåðâîì ïîðÿäêå àìïëèòóäà ïåðåõîäà ìåæäó ñîáñòâåííûìè ñîñòîÿíèÿìè Ĥ0 ðàâíà,λ ei(ωf i −ω)t − 1 f ei(ωf i +ω)t − 1 + f=−Fi +(F )i .~(ωf i − ω)(ωf i + ω)(1)C(i→f ) (t)(171)aftÏðè ωt 1 èíòåðôåðåíöèÿ ñëàãàåìûõ ìàëà, è äîìèíèðóþò ðåçîíàíñíûå ïåðåõîäû ñ ωf i ≈ ±ω . Èõ âåðîÿòíîñòè îïðåäåëÿþòñÿ ïåðâûì (F̂ e−iωt ) è âòîðûì (F̂+ eiωt )ñëàãàåìûìè (171) ñîîòâåòñòâåííî.4λ2 sin2 21 (ωf i − ω)t f 2W(i→f ) (t) ≈|Fi | ,~2(ωf i − ω)24λ2 sin2 21 (ωf i + ω)tW(i→f ) (t) ≈|(F + )fi |2 ,~2(ωf i + ω)2ïðè(172a)ωf i ≈ −ω.(172b)drïðèωf i ≈ ω;Ïîñêîëüêó Ef(0) ≈ Ei(0) + ~ωf i, ïåðâûé ïåðåõîä ïîâûøàåò ýíåðãèþ, à âòîðîé ïîíèæàåò.
Ñîãëàñíî (172) øèðèíà ðåçîíàíñíûõ ïèêîâ ∆ω ∼ 2πt ω.11.4.2¾Çîëîòîå¿ ïðàâèëî Ôåðìèo@Åñëè êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå ïðèíàäëåæèò íåïðåðûâíîìó ñïåêòðó, òî ñîãëàñíî (172)íåèçáåæíû ïåðåõîäû âî âñå ñîñòîÿíèÿ, áëèçêèå ê | f (0) i.Ïðè ωt 1 îñíîâíóþ ðîëü èãðàþò ðåçîíàíñíûå ïåðåõîäû9. Ñóììèðîâàíèå ïî êîíå÷íûì ñîñòîÿíèÿì ïðèâîäèò ê èíòåãðàëó ïî ýíåðãèè è, ñîãëàñíî (172a), äàåò:Z∗C(i→ f ) (t) C(i→f) (t)⇒14λ2 sin2 2~(Ef − Ei − ~ω)t f|Fi (Ef , Ei )|2 ρ(Ef ) dEf .2(Ef − Ei − ~ω)Äëÿ ðåãóëÿðíûõ â íóëå ïîäûíòåãðàëüíûõ ôóíêöèéñîîòíîøåíèå:Z∞sin2 12 αxπdx=f (0),x22òî åñòürik1limα→+∞ αf (x)−∞f (x)(173)ñïðàâåäëèâî ïðåäåëüíîåsin2 21 αxπ=δ(x).α→+∞αx22lim(174) ïðåäåëå áîëüøèõ t (îãðàíè÷åíèÿ ñì. â ðàçäåëå 11.4.4) ïîëó÷àåì ¾çîëîòîå ïðàâèëî¿:Z∞W(i→f ) (t) ≈ t ·−∞22πλ2 (0)(0)(0) h f | F̂ | i i δ(Ef − Ei − ~ω) ρ(Ef ) dEf .~îïðåäåëÿåò âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà â åäèíèöó âðåìåíè:abÕàðàêòåðíîå âðåìÿ τifd1W(i→f ) (t) =,dtτif(175)ïðè÷åì−122π (0)(0)(0) τif =.λ h f | F̂ | i i ρ(Ei + ~ω)~(176)Åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó óðîâíÿìè äèñêðåòíîãî ñïåêòðà ∆E ìåíüøå øèðèíû ïèêà, òî â ôîðìóëå (173) ìîæíî ïåðåéòè ê íåïðåðûâíîìó ïðåäåëó (ðàçäåë 2.1.4).
Ýòîïîçâîëÿåò ïðè ∆E · t 2π~ ïðèìåíèòü ¾çîëîòîå ïðàâèëî¿ Ôåðìè ê ïåðåõîäàì âñîñòîÿíèÿ äèñêðåòíîãî ñïåêòðà.Äëÿ êðàòêîñòè ìû ðàññìàòðèâàåì òîëüêî ïåðåõîäû â ñîñòîÿíèÿ ñ ýíåðãèåé Ef(0) ≈ Ei(0) + ~ω.Ñëó÷àé Ef(0) ≈ Ei(0) − ~ω àíàëîãè÷åí, ñ òî÷íîñòüþ äî çàìåíû F̂ → F̂+ è ω → −ω.92811.4.3Ýêñïîíåíöèàëüíûé çàêîí ðàñïàäàÏåðåõîä i → f ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ÷èñëî ñèñòåì, íàõîäÿùèõñÿ â ñîñòîÿíèè | i(0) i,óáûâàåò ñî âðåìåíåì:ãäåNi (t + dt) = Ni (t) − dNif ,dNif = −Ni (t) · W(i→f ) (dt) = −Ni (t)dt.τif(177)11.4.4òî åñòü:"#−1drτ −1 = τi−1F,aft îòñóòñòâèå îáðàòíûõ ïåðåõîäîâ ÷èñëî ñèñòåì â ñîñòîÿíèè | i(0) i ýêñïîíåíöèàëüíîóáûâàåò ñî âðåìåíåì:tNi (t) = Ni (0) exp − .(178)τÂðåìÿ æèçíè ñîñòîÿíèÿ τ ïîä äåéñòâèåì âîçìóùåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñóììàðíûìâêëàäîì âñåõ ïðîöåññîâ (F ), óâîäÿùèõ ñèñòåìó èç ñîñòîÿíèÿ | i(0) i:ZX 11τ=+ρ(F ) dFττiFiFF.(179)Êðèòåðèè ïðèìåíèìîñòè ¾çîëîòîãî ïðàâèëà¿ Ôåðìè11.4.5o@1.
Äëÿ ω 6= 0 âçàèìíîå âëèÿíèå äâóõ ñëàãàåìûõ â (171) ìàëî ïðè ωt 1. Îäíàêîïðè ω = 0 âòîðîãî ïèêà íåò, è îãðàíè÷åíèå îòñóòñòâóåò.2. Ïîïðàâêè òåîðèè âîçìóùåíèé ìàëû ïðè t τif , τ , ñì. (179).3. Âîçìîæíîñòü ïåðåõîäà ê íåïðåðûâíîìó ïðåäåëó: ∆E · t 2π~ (ðåçîíàíñíûéïèê (172) øèðå, ÷åì ðàññòîÿíèå ìåæäó óðîâíÿìè ýíåðãèè äèñêðåòíîãî ñïåêòðà ∆E ).Ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåëåííîñòè äëÿ ýíåðãèèrikÊàê ñëåäóåò èç ðàâåíñòâ (172), çà êîíå÷íîå âðåìÿ ∆t ìîæíî èçìåðèòü ÷àñòîòó (èëèýíåðãèþ) ïåðåõîäà ìåæäó óðîâíÿìè ñ òî÷íîñòüþ íå ïðåâîñõîäÿùåé ∆ω (∆E ), ïðè÷åì:∆ω · ∆t ∼ 2π,è, ñîîòâåòñòâåííî,∆E · ∆t ∼ 2π~.(180)abÂðåìÿ æèçíè ñîñòîÿíèÿ τ íàêëàäûâàåò åñòåñòâåííîå îãðàíè÷åíèå íà òî÷íîñòü îïðåäåëåíèÿ åãî ýíåðãèè:∆E ∼ ~ · τ −1 .(181)11.511.5.1Ñòàðøèå ïîðÿäêè (∗ )Îïåðàòîð ýâîëþöèèÐåøåíèå óðàâíåíèÿ (155) ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç îïåðàòîð ýâîëþöèè â ïðåäñòàâëåíèèâçàèìîäåéñòâèÿ:b| Θ̃(t) i = eS(t, 0) | Θ̃(0) i.(182)Îïåðàòîð beS(t1, t2) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèÿì:i~∂ bbee 1) beS(t1 , t2 ) = λ V(tS(t1 , t2 ),∂t1è− i~29∂ bbbee 2 ).S(t1 , t2 ) = eS(t1 , t2 ) V(t∂t2(183)Åñëè ðàçëîæèòü îïåðàòîð ýâîëþöèè â ðÿä ïî λ(184)bb (1)b (2)eS(t1 , t2 ) = 1̂ +λ eS (t1 , t2 ) + λ2 eS (t1 , t2 ) + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
