УМФ_билеты (1181471), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Представление решения рядом Неймана. Ограниченность оператора (I − λK).Рассмотрим уравнениеZK(x, y)u(y)dy + f (x), x ∈ Gu(x) = λ(1)GТеорема 25.1. Пусть в интегральном уравнении (1) ядро K полярное и выполнено |λ| · kKk < 1, тогда:•∀ f ∈ C(G) (1) имеет единственное решение u(x) ∈ C(G). Это решение при фиксированном λf ixпредставимо абсолютно сходящимся в C(G) рядом Неймана:u(x) = f (x) +∞Xλi K i f (x), x ∈ Gi=1• Оператор I − λK отображаетвсё C(G) на всё C(G) и имеет на C(G) непрерывный обратный оператор(I − λK)−1 , причём (I − λK)−1 6 (1 − |λ| · kKk)−1Доказательство.1.
Отметим, что оператор λK сжимающий: kλKk = |λ| · kKk < 1.Построим итерационный процесс:u0 = f (x)u1 = f (x) + λKu0 (x) = f (x) + λKf (x)···nXun = f (x) +λi K i f (x)i=1···Все uk (x) ∈ C(G), причем uk = Sk – k-я частичная сумма ряда Неймана. Далее, i iiλ K f (x)6 λi · kKk · kf kC(G) = (|λ| · kKk)i kf kC(G) =⇒C(G)=⇒∞∞XX i iλ K f (x)6(|λ| · kKk)i kf k =C(G)i=0i=0kf k.1 − |λ| · kKkУказанный в условии ряд сходится абсолютно в банаховом пространстве C(G) =⇒ он сходится =⇒k·kC(G)=⇒ ∃ u(x) ∈ C(G) : kU − Un kC(G) −−−−→ 0 =⇒ Un −−−−−→ Un−→∞• Покажем что U – решение: Un = f + λKUn−1 , при этом Un −→ U а λKUn−1 −→ λKU в силунепрерывности оператора K.• Единственность: пусть UI , UII – решения, обозначим V = UI − UII ∈ G.
При этом V удовлетворяетоднородному уравнению V = λKV, x ∈ C(G). ТогдаkV k 6 |λ| · kKk · kV k −→ (1 − |λ| · kKk) · kV k 6 0 −→ kV k = 0 −→ V ≡ 02. u = λKu + f ←→ (I − λK)u = f . То, что I − λK отображает всё C(G), – ясно. Согласно пункту 1∀ f ∈ C(G) ∃ !u(x) – решение, значит оператор отображает всё C(G) на всё C(G). Значит, существуетобратный оператор (I − λK)−1 . Он ограничен т.к.∞X i i (I − λK)−1 f λ K f =kUk66C(G)C(G)C(G)i=074kf kC(G)1 − |λ| · kKk<∞26Билет 26. Интегральное уравнение Фредгольма второго рода свырожденными ядрами. Сведение к системе линейных алгебраических уравнений. Теоремы Фредгольма в этом случае.Рассмотрим уравнениеZK(x, y)u(y)dy + f (x), x ∈ Gu(x) = λ(1)GОпределение 26.1. Интегральное уравнение видаZv(x) = λK 0 (x, y)v(y)dy + g(x), x ∈ G, K 0 (x, y) = K(y, x)Gназывается союзным уравнению (1).Определение 26.2.
Ядро K(x, y) ∈ C(G) × C(G) называется вырожденным, если оно представимо в видеK(x, y) =NXai (x)bi (y), ai , bi ∈ C(G)i=iБудем считать что {a1 ...an } и {b1 ...bn } – линейно независимые наборы (если это не так, то уменьшим N ). Будемтеперь рассматривать уравнение#Z "XNu(x) = λ(2)ai (x)bi (y) u(y)dy + f (x), x ∈ GGi=1• Введем в C(G) билинейную форму hu; vi =RGu(x)v(x)dx ∀ u.v ∈ C(G)• Введем также следующие обозначения:N– µij = hbi ; aj i ; A = kµij ki,jT– ϕi = hbi ; f i ; ϕ = kϕ1 ...ϕN kT– ci = hbi ; ui ; c = kc1 ...cN k (3)•Лемма 26.1 (об эквивалентности).
Пусть u(x) ∈ C(G) – решение уравнения (2). Тогда u(x) =PNλ i=1 ci ai (x)+f (x), x ∈ G, где (c) определяется (3) и удовлетворяет системе (E −λA)c = ϕ. Обратно,PNесли (c) – некоторое решение системы (E − λA)c = ϕ то u(x) = λ i=1 ci ai (x) + f (x), x ∈ G являетсярешением интегрального уравнения.Доказательство.1. Пусть u(x) решение интегрального уравнения. Тогда#Z "XNNXu(x) = λai (x)bi (y) u(y)dy + f (x) = λai (x)ci + f (x)Gi=ii=1Домножим на bi и проинтегрируем по G:ci = λNXµij cj + ϕi ⇐⇒ c = λAc + ϕj=1752. Обратно, если ci = λв уравнение:PNj=1µij cj +ϕi , i = 1, N то рассмотрим u∗ (x) = λZu∗ − λK(x, y)u∗ (y)dy − f (x) =PNi=1ai (x)ci +f (x).
ПодставимG= u∗ − λZ "XNG=λNX#ai (x)bi (y) u∗ (y)dy − f (x) =i=1Zaj (x) cj −bj (y)u∗ (y)dy =Gj=1NXZZNXbj (y)f (y)dy ==λaj (x) cj − λcibj (y)ai (y)dy −j=1i=1{z} |G{z}|Gµji=λNX"aj (x) cj − λj=1ϕiNX#µji ci − ϕji=1|{z0}Таким образом, исследование интегральных уравнений с вырожденным ядром эквивалентно иссследованиюсистемы (E − λA)c = ϕ.ZPNOfftop 26.1.
Отметим что для союзного уравнения v(x) = λ j=1 bj (x)aj (y)v(y)dy +g(y) соответству{z}|GdjRющей системой является (E − λAT )d = ϕ, где ϕ = G a(y)g(y)dy.26.1Разрешимость интегрального уравнения с вырожденным ядромПусть D(λ) = det(E − λA) = det(E − λAT ). Ясно что D(λ) 6≡ 0 т.к. D(0) = 1. D(λ) есть многочлен P (λ), degP 6N −→ он имеет p действительных корней λ1 ..λp , 0 6 p 6 N .• Если D(λ) 6= 0 то ∀ k : λk 6= λ −→ у уравнения (E − λA) − c = ϕ решение существует и оно единственно.Аналогичное утверждение верно и для союзного уравнения.• Если ∃ k : λk = λ → Rg(E − λA) = Rg(E − λAT ) = r < NПусть m = N −r > 0. Тогда базис в пространстве решений (E−λA)c обозначим как c1 ..cn а базис в пространстверешений (E − λAt )d = 0 обозначим как d1 ..dn .
Соответствующие им решения обозначим u1 ..um и v1 ..vmPNPNсоответственно (uk (x) = λ j=1 aj (x)cj,k , vk (x) = λ j=1 bj (x)dj,k ).Покажем что u1 ..un базис решения однородного уравнения. ПустьmmnmmXXXXXαi ui = 0 ⇐⇒αi λaj (x)cj,i = 0 ⇐⇒αi ci,j = 0 ⇐⇒αi ci = 0i=1i=1j=1i=0i=0Значит система u1 ..um – линейно независима.Определение 26.3 (Собственные функции и собственные числа оператора K). Функция u(x) ∈ C(G), u 6≡ 0удовлетворяющая уравнениюZu(x) = λK(x, y)u(y)dy, x ∈ C(G)Gназывается собственной функцией ядра K или собственной функцией оператора K. Соответствующие собственным функциям λ называются характеристическими числами ядра/оператора K.76Свойства характеристических чисел:• λ 6= 0 (иначе u ≡ 0).• λ – не собственное значение оператора: u = λKu ⇔ Ku = λ1 u =>⇒ µ =1λ– собственное значение.• Собственные значения K и K 0 совпадают.Рассмотрим систему (E −λA)c = ϕ.
По теореме Фредгольма эта система совместна тогда и только тогда, когдакаждое решение сопряженной однородной системы (E − λAT )d = 0 ортогонально ϕ:ZZNNXXhϕ; di = 0 ⇐⇒ϕj dj = 0 ⇐⇒f (y)bj (y)dj dy = 0 ⇐⇒f (y)v(y)dy = 0j=1Gj=1GПолучили что интегральное уравнение с вырожденным ядром совместно тогда и только тогда, когда f ортогонально каждому решению однородного союзного уравнения.Сформулируем все полученные и доказанные выше результаты в виде теорем Фредгольма:Теорема 26.2 (Первая теорема Фредгольма). Если D(λ) 6= 0, то интегральное уравнение с вырожденнымядром и союзное к нему однозначно разрешимы при любых правых частях из C(G).Теорема 26.3 (Вторая теорема Фредгольма).
Если D(λ) = 0, то интегральное уравнение с вырожденнымядром и союзное к нему имеют одинаковое число линейно независимых решений m = N − Rg(E − λA)Теорема 26.4 (Третья теорема Фредгольма). Если D(λ) = 0, то для разрешения интегрального уравненияс вырожденным ядром необходимо и достаточно, чтобы свободный член f (x) ∈ C(G) был ортогонален всемрешениям союзного уравнения.7727Билет 27.
Интегральное уравнение Фредгольма второго рода снепрерывными и полярными ядрами. Теоремы Фредгольма. Дискретность множества характеристических чисел.Рассмотрим уравнениеZK(x, y)u(y)dy + f (x), x ∈ G(1)K 0 (x, y)v(y)dy + g(x), x ∈ G, K 0 (x, y) = K(y, x)(2)u(x) = λGи ему союзноеZv(x) = λGТеорема 27.1 (Первая теорема Фредгольма (Теорема Фредгольма об альтернативах)). Либо интегральноеуравнение (1) однозначно разрешимо в C(G) для каждой функции f (x) из C(G) либо соответствующее однородное уравнение имеет по крайней мере одно нетривиальное решение.Теорема 27.2 (Вторая теорема Фредгольма).
Если для уравнения (1) имеет место первый случай альтернативы, то он же имеет место и для уравнения (2). Как однородное уравнение соответствующее (1) таки однородное уравнение соответствующее (2) имеют конечные числа линейно независимых собственныхфункций, причем эти числа совпадают.Теорема 27.3 (Третья теорема Фредгольма). Если для уравнения (1) имеет место второй случай альтернативы, то неоднородное уравнение (1) разрешимо в C(G) тогда и только тогда, когда выполнено условие"ортогональности":Zf (y)v(y)dy = 0GТеорема 27.4.
В любом круге |λ| < R на C у ядра уравнения (1) имеется не более чем конечное количество характеристических чисел. Единственная возможная точка накопления характеристических чисел –бесконечно удаленная точка.Билет посвящен доказательству этих теорем.Теорема 27.5 (Апроксимационная теорема Вейерштрасса).
Пусть Ω – ограниченная область в Rn , а W (x) ∈C(G). Тогда ∀ ε > 0 ∃ Pε (x) – многочлен от x1 ..xn такой, что kh(x) − Pε (x)kC(G) < ε.Будем использовать данный факт из анализа.Лемма 27.6. Пусть K – интегральный оператор с непрерывным ядром K(x, y)K(x,y) ∈ C(G); C(G) . Тогда H0 BHH ∀ ε > 0 этот оператор можно представить в виде K = Φε + Kε , K<ε,Kε < ε ε HДоказательство. По ε > 0 найдем Pε (x, y) от x1 ..xn , y1 ..yn : kK(x, y) − Pε (x, y)kC(G) < ε.
Тогда Kε 6BkK(x, y)kC(G) · mesG = ε · mesG. При этом оператор Φε имеет вырожденное ядро Pε .Лемма 27.7. Пусть K – интегральный оператор с полярным ядром K(x, y)K(x,y) ∈ C(G); C(G) . Тогда Π0 BΠ Π < ε, ∀ ε > 0 этот оператор можно представить в виде K = Φε + Qε , QQε < εε HΠHHДоказательство. Представим K в виде суммы Kε + K 2ε . По предыдущей лемме K = Φ + K 2ε . Значит, K = HΠΠ Π ε εεεΦ + K 2 + K 2 = Φ + Qε , Qε 6 2 + 2 = ε78Перейдем к теоремам Фредгольма.Пусть R > 0, DR = {λ ∈ C : |λ| < R}.• Возьмем ε =12R ,K = Φ + Q, P = P (x, y) =PNj=1 0 aj (x)bj (y), kQk, Q < ε• Представим уравнение u = λKu + f в виде (I − λK)u = λΦu + f , аналогично, его союзное уравнение000v = λK v + g представим в виде (I − λK )v = λΦ v + g.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
