УМФ_билеты (1181471), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Теорема Лиувилля для гармонических функций (случай R3 )Формулировка теоремыТеорема 21.1. (Теорема Лиувилля) Функция u(x), гармоническая в R3 и имеющая на бесконечности ростне выше степенного (т.е. |u(x)| ≤ C(1 + |x|)µ ), является многочленом от x1 , x2 , x3 степени не выше µ.21.2Доказательство при µ ≥ 0Общая идея - доказать, что все производные степени выше µ равны нулю.1. Выберем x ∈ R3 , R > 0 так, чтобы R > 2|x|:В области |x| < R u(x) - гармоническая, а u(x)|∂Ω ∈ C(∂Ω).Тогда применима формула Пуассона для шара:I1u(x) =4πRR2В силу выбора R имеем |y − x| ≥ |y| − |x| ≥|y|=RR2 − |x|2u(y)dSy|y − x|3> 0.Можем записать:Dxα u(x) =14πRIDxα|y|=RR2 − |x|2|y − x|3u(y)dSy2. Докажем по индукции, что∀ α = (α1 , α2 , α3 ) DxαPα (R, x, y)R2 − |x|2=,|x − y|3|x − y|3+2|α|где Pα - однородный многочлен степени |a| + 2 от R, x1 , x2 , x3 , y1 , y2 , y3 .• База:Dx(0,0,0)R2 − |x|2R2 − x21 − x22 − x23=3|x − y||x − y|3• Переход.
Пусть требуемое верно ∀ α : |a| ≤ k. Возьмём α̂ = (α1 + 1, α2 , α3 ):Dxα̂R2 − |x|2∂Pα (R, x, y)==|x − y|3∂x1 |x − y|3+2|α|∂Pα∂x1· |x − y|2 − (3 + 2|α|) · Pα · (x1 − y1 )|x − y|3+2(|α|+1)66=Pα̂ (R, x, y)|x − y|3+2|α̂|3. Покажем теперь, что ∀ |x| ≤R2,∀ |y| = R, ∀ α = (α1 , α2 , α3 ) справедлива оценка: α R2 − |x|2 Dx ≤ Cα . R1+|α|3|x − y|Действительно, |Pα | ≤ C̃α R|a|+2 , а |x − y|3+2|α| ≥оценка.R 3+2|α|2= Cˆα R3+2|α| . Отсюда следует требуемая4.
Теперь докажем, что Dxα u(x) = 0 ∀ α : |α| > µ.|Dxα u(x)|I 2C · Cα · (1 + R)µ1 R − |x|21cαα−→ 0=Dxu(y)dS·C·(1+|x|)µ · 1+|a| ·4πR2 ≤y ≤3R→∞ 4πR4πR |y|=R|y − x|RR|α|Значит, Dxα u(x) = 0 ∀ x ∈ R3 , |α| > µ.5. Для гармонической в R3 функции u(x) справедливо представление:u(x) = u(0) +m XXk=1 |α|=k∞X11 α2 α3Dxα u(0)xαxx+123α1 !α2 !α3 !Xk=m+1 |α|=k= u(0) +11 α2 α3Dα u(0)xα1 x2 x3 =α1 !α2 !α3 ! x=0m XX1 αD u(0)xα ,α! xk=1 |α|=k1 α2 α3где m = [µ], α! , α1 !α2 !α3 !, xα , xα1 x2 x3 .21.3Доказательство при µ < 0Пусть µ < 0.
Тогда т.к. |u(x)| ≤ C(1 + |x|)µ , µ < 0, то |u(x) ≤ C(1 + |x|)0 ≡ C1 .По предыдущему пункту, u(x) - полином степени 0, т.е. константа.Но |u(x)| ≤C(1+|x|)|µ|⇒ u(x) −→ 0 ⇒ u(x) ≡ 0.|x|→∞6722Билет 22. Теорема об устранимой особой точке для гармоническихфункций (случай R3 )Теорема 22.1. (об устранимой особой точке). Пусть u(x) - гармоническая в B̊ρ (a) ⊂ R3 и u(x) =1o(E(x − a)) при x → a, где E(x) = − 4π|x|.
Тогда u(x) можно так доопределить в точке a, что она будетгармонической в Bρ (a) = {x : |x − a| < ρ}.Доказательство.1. u(x) = o1|x|⇔ |x| · u(x) −→ 0x→02. Возьмём r < ρ.Функция u(x) непрерывна на ∂Bρ (a).Построим гармоническую функцию:û(x) =14πrI|y|=rr2 − |x|2u(y)dSy ∈ C(|x| ≤ r)|y − x|3.3. Считаем a = 0. Покажем, что u(x) ≡ û(x) при 0 < |x| ≤ r. Строим v(x) = u(x) − û(x).
Эта функциягармоническая в B̊r (a), непрерывная на (0 < |x| ≤ r), а также v(x) ≡ 0 ∀ x : |x| = r и |x| · v(x) −→ 0.x→04. Фиксируем ε > 0 и рассмотрим функции Wε± =ФункцииWε±ε|x|∓ v(x).также гармонические в (0 < |x| < r), непрерывны на (0 < |x| ≤ r), а Wε± (x)||x|=r =ε|x|> 0.5. Выберем δ > 0 так, чтобы ∀ x (|x| ≤ δ) → (|x| · |v(x)| < 2ε .При |x| ≤ δ:Wε± =εεε|x| · |v(x)|ε1ε∓ v(x) ≥− |v(x)| ≥1−≥1−=>0|x||x||x|ε|x|22|x|6. При δ ≤ |x| ≤ r функции Wε± (x) — гармонические в (δ < |x| < r) и непрерывны на замыкании этойограниченной области ⇒ по принципу максимума максимум и минимум достигаются на границе.Значит, Wε± (x) > 0 при δ ≤ |x| ≤ r.Итак, Wε± (x) положительна в (0 < |x| ≤ r) ⇒ |v(x)| <ε|x|в (0 < |x| ≤ r).Значит, v(x) ≡ 0 при 0 < |x| ≤ r ⇒ v(x) можно продолжить на |x| ≤ r, положив v(0) = 0, ч.т.д.6823Билет 23. Преобразование Кельвина и его свойства.
Регулярностьповедения гармонических функций на бесконечности. Единственность решения внешних задач Неймана и Дирихле для уравненияЛапласа (случай R3 ).Пусть x лежит в окрестности ∞, т.е. |x| > R > 0, а y лежит в окрестность нуля. Считаем y 6= 0. Тогда междуR2∗ R2∗2этими окрестностями есть биекция - инверсия: x∗ = x |x|2 , x = x |x∗ |2 ; |x||x | = RЛемма 23.1. Если функция u(x) гармоническая в окрестности ∞ : |x| > R в Rn , то функция u∗ (y) =R n−2R2будет гармонической в проколотой окрестности нуля. Если u∗ (y) гармоническая в проко· u( |y|2y|y|R n−2R2лотой окрестности нуля, то u(x) = |x|· u∗ ( |x|2 x -гармоническая в окрестности ∞.Определение 23.1.
Преобразование u(x) 7−→ u∗ (y) и u∗ (y) 7−→ u(x) называется преобразованием Кельвина.2RДоказательство. Пусть x ∈ Uε (∞), y ∈ Uδ (0), |x| = ρ, |y| = r, x = y |y|2.Перейдем в сферическую систему. Лемму докажем в одну сторону.x = (x1 , x2 , x3 )y = (y1 , y2 , y3 ).y1 = r sin θ cos ϕx1 = ρ sin θ cos ϕx2 = ρ sin θ sin ϕ , y2 = r sin θ sin ϕy3 = r cos θx3 = ρ cos θТогда û∗ =RR2r û( r , θ, ϕ):1 ∂21∗\∆(rû∗ (r, θ, ϕ)) +y u (r, θ, ϕ) =r ∂r2r∆0θ,ϕ| {z }û∗ (r, θ, ϕ) =оператор Лапласа-Бельтрани22R ∂2 û( R , θ, ϕ) + R ∆0θ,ϕ û( R , θ, ϕ) r3r ∂r2 |{z}rr|{z}ρρВспомогательная выкладка:∂û(ρ, θ, ϕ) =∂r∂û(ρ, θ, ϕ) =∂r∂ û ∂ρρ2 ∂=− 2û(ρ, θ, ϕ)∂ρ ∂rR ∂ρ∂ρ2 ∂ρ2 ∂∂− 2û(ρ, θ, ϕ) = 4ρ2 û(ρ, θ, ϕ)∂rR ∂ρR ∂ρ∂ρС учетом выкладки имеем:ρ3 ∂ρ3ρ52 ∂∗\ρû(ρ, θ, ϕ) + 5 ∆0θ,ϕ û(ρ, θ, ϕ) = 5 ∆x û(ρ, θ, ϕ) = 0∆y u (r, θ, ϕ) = 5R ∂ρ∂ρRRТеорема 23.2.
Пустьфункцияв окрестности бесконечности |x| > R и u(x) → 0, x → u(x) – гармоническая11α∞. Тогда u(x) = O |x| и D u(x) = O |x|1+|α| при x → ∞Доказательство. Применим к нашей функции прямое преобразование Кельвина: u∗ (y) =функция гармоническаяпроколотой окрестности нуля: 0 < |y| < R. 2в R1∗Далее, |y|u (y) = Ru |y|2 y → 0, y → 0 (аргумент → ∞) ⇒ u∗ (y) = o |y|, y → 0.69R|y| uR2|y|2 y. Эта• Воспользуемся теоремой об устранимой точке и доопределим u∗ (y) в нуле. Теперь u∗ (y) – гармоническая в|y| < R ⇒ в |y| 6 R2 есть непрерывность вплоть до границы любых производных ⇒ ∀α ∃Mα : |Dα u∗ (y)| 6Mα , ∀ y : |y| 6 R2 2 2 RRRR ∗• Пусть |x| > 2R, y = x∗ ⇒ |x∗ | = |y| 6 R2 .
Тогда u(x) = u |y|= |x||y|u |y|= |x|u (y). Можем2y2y R1оценить: |u(x)| 6 |x|, x → ∞.M0 ⇒ u(x) = O |x|• Возьмем теперь α = (1, 0, 0):3R X ∂u∗ (y) ∂ykR ∗Ru (y) = − 3 x1 u∗ (y) +=|x||x||x|∂yk ∂x1k=13RR3 X ∂u∗ (y) 1x1 xk= − 3 x1 u∗ (y) + 3δk − 2|x||x|∂yk|x|2∂u(x)∂= Dα u(x) =∂x1∂x1k=1Оценка:3 3 X ∂u(x) ∂u∗ (y) 1 6 R x1 1 |u∗ (y)| + R δk + 2 |x1 | · |xk | 6 C ∂x1 ∂yk |x| |x|2 | {z } |x|3|x|2|x|2k=1 | {z }6M06M(1,0,0)Итак,∂u(x)∂x1=O1|x|2. Аналогично, по индукции, и для других производных.Постановка внешних задач.Определение 23.2.
Область Ω ⊂ R3 называется внешней, если R3 \Ω = Ω1 – ограниченная область в R3Определение 23.3. Внешнюю область в Ω будем называть внешней областью с гладкой (кусочно-гладкой)границей, если Ω1 = R3 \Ω – область с (кусочно-гладкой) границей.Внешнаяя задача НейманаНайти U (x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω ∪ Г), удовлетворяющую условиям:∆u(x) = 0, ∀ x ∈ Ω∂v|Г = u1 (x), x ∈ Г∂ n̄u(x) →|x|→∞ 0Внешняя задача Дирихле Найти U (x) ∈C 2 (Ω) ∩ C(Ω ∪ Г), удовлетворяющую условиям:∆u(x) = 0, ∀ x ∈ Ωu|Г = u0 (x), x ∈ Гu(x) →|x|→∞ 0Такое решение называется классическимТакое решение называется классическимОтличие постановок внешних и внутренних задач - U (x)H → 0 во внешних задачах.
ДЛя внутренней задачиНеймана - даже при выполнении условий разрешимости u1 (x)dSx = 0 решение не единственноТеорема 23.3. Не может существовать более 1 классического решения внешней задачи ДирихлеДоказательство. Если u1 , u2 - классические решения, то v(x) = u1 −u2 -удовлетворяет полностью однороднойзадаче(v(x)|Г = 0eev(x) →|x|→∞ 0 ( ∀ ε > 0 ∃ R(ε): ∀ x : |x| > R(ε)→ |v(x)| < ε)70Строим|v(x)| 6сферуmaxрадиуса R|v(y)| 6 εeR(ε),Ω1>⊂BR (o).Последствиюизпринципамаксимума∂Ω1 ∪∂BR (0)Т.к. ε > 0 было выбрано произвольно, имеем v(x) ≡ 0 в Ω ∪ ГТеорема 23.4. Не может существовать более 1 классического решения внешней задачи НейманаДоказательство. Если u1 , u2 - классические решения, тоv(x) = u1 − u2|{z}гармоническая в Ω и-удовлетворяет пол-C 2 (Ω)∩C 2 (Ω∪Г)ностью однородной задаче ∂v|Г = 0 ∂ n̄eev(x) →|x|→∞ 0 ( ∀ ε > 0 ∃ R(ε): ∀ x : |x| > R(ε)→ |v(x)| < ε)Возьмем R : Ω1 ⊂ BR (0), ρ > R.
По I-ф-лу Грина для vZ:0∆v· v·dx =R (0)\Ω1BПолучилиRBR (0)\Ω1|∇v(x)|2 dxZ*0 I∂v ∂vv(x)dS+v(x)dS−|∇v(x)|2 dxxx∂n̄∂n̄Г∂B (0)B (0)\ΩIR=H∂BR (0)∂vv(x)dSx . Далее∂ n̄RRBR (0)\Ω11|∇v(x)|2 dx6R|∇v(x)|2 dxBρ (0)\Ω1 ∂v |v(x)|dSx 6 ( теорема об асимптотике гормонических функций ) 6 C1 · C2 · 4πρ2 → 0 при ρ → ∞.ρ2 ρ∂Bρ (0) ∂ n̄HИтак, ∇v(x) ≡ 0 ⇒ v(x) ≡ const = 0, ч.т.д.71=24Билет 24. Интегральные операторы с непрерывными и полярными ядрами в ограниченной области, их непрерывность в пространстве C(Ḡ). Приближение операторов с полярными ядрами операторами с непрерывными ядрами.Определение 24.1 (Интегральное уравнение Фредгольма второго рода). Уравнение видаZu(x) = λK(x, y)u(y)dy + f (x)Gназывается интегральным уравнением Фредгольма 2-го рода.Здесь:• x ∈ Ḡ, G — ограниченная область в R3 ;• f (x) ∈ C(Ḡ) — задана;• K(x, y) : (Ḡ × Ḡ) → R.• λ — числовой параметр;• u(x) ∈ C(Ḡ) — искомая функция.Определение 24.2 (Интегральный оператор).
Оператор K такой, чтоZ(Ku)(x) =K(x, y)u(y)dy,Gназывается интегральным оператором с ядром K(x, y).Теорема 24.1. Если ядро K(x, y) ∈ C(Ḡ × Ḡ), то оператор K ограничен в C(Ḡ) и имеет место оценкаZkKk ≤ max|K(x, y)|dy ≤ max |K(x, y)|mesGx∈Gx,y∈ḠGДоказательство. Если K(x, y) ∈ C(Ḡ × Ḡ), то K : C(G) → C(G).RkKukC(Ḡ)=max |(Ku)(x)|=max | G K(x, y)u(y)dy|ḠḠRRmaxx∈Ḡ max |u(y)| G |K(x, y)|dy=kukC(Ḡ) max G |K(x, y)|dy⇒y∈Ḡx∈ḠRmaxx∈Ḡ G |K(x, y)|dy≤maxḠkKk=RG|K(x, y)||u(y)|dysupkukC(Ḡ) =1kKukC(Ḡ)kukC(Ḡ)≤≤Определение 24.3 (Полярное ядро). Ядро K(x, y) называется полярным, если его можно представить в видеκ(x,y)K(x, y) = |x−y|∀ x, y ∈ Ḡ, x 6= y, где κ ∈ C(Ḡ × Ḡ), α < n — размерность пространства.αЛемма 24.2 (Признак полярного ядра).
Ядро K является полярным ⇔ K(x, y) ∈ C((Ḡ × Ḡ)\{x = y}) иB|K(x, y)| ≤ |x−y|∀ x, y ∈ Ḡ, x 6= y, B > 0, β < n.βBДоказательство. (⇒): Пусть ядро полярное. Тогда ∃ B : |κ| ≤ B на Ḡ × Ḡ и |K| ≤ |x−y|α.(K(x, y)|x − y|β+ε , x, y ∈ G, x 6= y;(⇐): Пусть β < n ⇒ ∃ ε > 0 : β + ε < n. Рассмотрим κ =0,x = y ∈ G.Построенная κ непрерывна в (Ḡ × Ḡ)\{x = y}.Bβ+εВозьмем x0 , y 0 ∈ G, x0 6= y 0 : |κ(x, y) − κ(x0 , x0 )| = |κ(x, y)| ≤ |K||x − y|β+ε ≤ |x−y|≤ B|x − y|ε =β |x − y|B|(x − x0 ) − (y − y 0 )|ε ≤ B(|x − x0 | + |y − y 0 |)ε ⇒ κ непрерывна всюду в Ḡ × Ḡ.72Очевидно из определения κ, что можем записать K(x, y) =κ(x,y),|x−y|β+εт.е.
это ядро – полярное по определению.Определение 24.4 (Транспонированное ядро). Ядром, транспонированным к ядру K(x, y), называется ядроK 0 (x, y) = K(y, x). Соответствующий оператор K 0 так же называют транспонированным.Теорема 24.3. Интегральный операторK с полярным ядром является ограниченным оператором в C(Ḡ).RСправедлива оценка: kKk ≤ supx∈G G |K(x, y)|dy; ∀ ε > 0 оператор K можно представить в виде суммыK = Kεcont + Kεpol , где kKεpol k ≤ ε, k(Kεpol )0 k ≤ ε, Kεcont — и.о. с непрерывным ядром, Kεpol — и.о.
с полярнымядром.Доказательство.1. Пусть ψ(y) = K(x, y)u(y). Функция ψ непрерывна при y 6= x.BВ особенности: |ψ(y)| = |K(x, y)||u(y)| ≤ |x−y|α kukC(Ḡ) – интегрируема, т.к. α < n.RRЗначит, порождается функция ϕ(x) = G ψ(y)dy = G K(x, y)u(y)dy — этот интеграл существует ∀x ∈ Ḡ.2.
Определим δ−срезку функции1|x−y|α1|x − y|α:(=δ1|x−y|α ,1δα ,|x − y| ≥ δ;|x − y| < δ.∈ C(Rn × Rn )13. Представим K(x, y) = Kδ1 (x, y) + Kδ2 (x, y), где Kδ1 (x, y) = κ(x, y)( |x−y|α )δ ,(0,|x − y| ≥ δ;2Kδ (x, y) =11κ(x, y)( |x−y|α − δα ), |x − y| < δ.4. Выберем произвольно u(x) ∈ C(Ḡ) и рассмотрим kKδ2 ukC(Ḡ) :ZZZ1dydz12kKδ uk = max |κ(x, y)(− α )u(y)dy| ≤ BkukC(Ḡ)= BkukC(Ḡ).αααx∈G|x−y|δ|x−y||z||y−x|<δ|y−x|<δ|z|<δ(xk = r sin ϕ1 ...
sin ϕk−1 cos ϕk ,Заменаxn = r sin ϕ1 ... sin ϕn−1 ,Якобиан J =D(x1 ,...,xn )D(r,phi1 ,...,ϕn−1 )kKδ2 akk = 1, . . . , n − 1;= rn−1 sinn−2 ϕ1 sinn−3 ϕ2 . . . sin ϕn−1 . Получили:Z≤ C1 kukC(G)0ПолучилиKδ2 uгде ϕk ∈ [0, Π], ϕn ∈ [0, 2Π]δrn−1dr = CkukC(G) δ n−α → 0 при δ → 0.rα→ Ku по норме ⇒ Ku ∈ C(Ḡ).5. kKk ≤ kKδ1 k + kKδ2 k ≤ Cδ n−α + kKδ1 k < ∞ ⇒ K — ограничен.Для транспонированного ядра все рассуждения аналогичны, т.к. полярное ядро K =x на y изменяет только непрерывный числитель κ.73κ(x,y)|x−y|αпри замене25Билет 25. Интегральное уравнение Фредгольма второго рода смалым по норме интегральным оператором K.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
