Сохранение оператора Рунге-Ленца (1181445)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Говорит как-то Лифшиц Ландау:— Что делать? Я целую тетрадь выкладок потерял в трамвае!— Да ничего страшного, напишем каквсегда: «откуда очевидно...»Народный юморКузнецов Максим Сергеевич (maks.kuznetsov@gmail.com)Группа 916 ФРТК МФТИ, 19 мая 2012 г.ВведениеВ квантовой механике оператор интеграла движения коммутирует с независящимявно от времени гамильтонианом. В кулоновском поле имеет место сохранение вектор̂︀ т.е. [,̂︀ = 0.̂︀ A]ного оператора Рунге-Ленца A,Учебные пособия, в частности «Квантовая механика» Ландау и Лифшица, приводятданный факт без доказательства, с указанием, что это «легко проверяется» 1 , чему ипосвящена данная работа.Постановка задачи⃒(︂)︂̂︀ 2 ⃒⃒12p2̂︀̂︀ −− ⃒≡p=2 =1 2)︁ 1 (︁)︁r 1 (︁̂︀̂︀ = ̂︀̂︀ −̂︀ × ̂︀l+l×ppA 22̂︀̂︀̂︀ = −il = ̂︀r×pr = p(2.1)(2.2)̂︀ = 0̂︀ A]Доказать, что [,Предварительные вычисленияНекоторые коммутаторы и произведения, которые будут необходимы при доказательстве главной задачи̂︀,̂︀ ]̂︀ = [̂︀ ,̂︀ ]̂︀ + [,̂︀ ]̂︀ ̂︀[̂︀ ̂︀ ]̂︀ = [̂︀ ,̂︀ ]̂︀ + [,̂︀ ]̂︀ ̂︀[,[︂ ]︂ [︂]︂[︂]︂1 ̂︀11̂︀ = , ̂︀ ̂︀ =, l = , ̂︀r×p⎛⎞⃒⃒⃒[︂]︂ [︂]︂⎜⎟⃒11̂︀⎜⎟= ⎝̂︀ , ̂︀ − , ̂︀ ̂︀ ⎠⃒⃒= −i ̂︀ 3 = 0⃒⏟ ⏞⃒=0(3.1)(3.2)(3.5)1Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.

Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Физматлит, 2002.— 808 с. — («Теоретическая физика», том III), §36, пункт «Природа кулонова вырождения»1[︂[︂(︂]︂)︂111∙3 · 2̂︀3̂︀√+i, ̂︀ ∙ = √i∙ = −i √∙ = −i 5 ∙3335 ( )( ) 2( )⎛⎞⃒⃒⃒]︂ [︂]︂[︂]︂[︂]︂ [︂]︂⎜⎟⃒1 ̂︀1111⎟⃒̂︀ = 3 , ̂︀ ̂︀ = ⎜, l = 3 , ̂︀r×p⎝̂︀ 3 , ̂︀ − 3 , ̂︀ ̂︀ ⎠⃒3⃒⏟ ⏞⃒=0= −3i ̂︀(3.3)=(3.4)(3.3)̂︀=05]︂[︂]︂[︂11∙=̂︀ ,∙ = ̂︀ , √ (︂)︂1̂︀1∙̂︀√√√= −i=i∙+i∙=i∙3 ( )3]︂[︂]︂(︂)︂[︂̂︀ ̂︀11̂︀= ̂︀ ̂︀ ,+ [̂︀ , ̂︀ ] = i−̂︀ ,3(3.5)(3.6)̂︀ − 2 ̂︀(̂︀r × ̂︀l) = ̂︀ ̂︀ ̂︀ = ̂︀ ̂︀ ̂︀ − ̂︀ ̂︀ ̂︀ = ̂︀ (̂︀r · p)(3.7)(̂︀l × ̂︀r) = ̂︀ ̂︀ ̂︀ = − ̂︀ ̂︀ ̂︀ = −( − )̂︀ ̂︀ ̂︀ =2= −̂︀ ̂︀ ̂︀ + ̂︀ ̂︀ ̂︀ = −̂︀ (̂︀p · ̂︀r) + ̂︀ − î︀(3.8)Доказательство)︂ (︂(︁)︁ 1 (︁)︁)︂]︂2̂︀̂︀p1r1̂︀l × p̂︀ =̂︀ A]̂︀ −̂︀ × ̂︀l[,−,+p=2 22[︂ 2 (︁]︂ [︂]︂)︁]︂ [︂ p)︁]︂ [︂ 1 ̂︀(︁)︁]︂ [︂ p2̂︀ 1 ̂︀̂︀ 2 1 (︁̂︀̂︀pr11r̂︀ −̂︀ × ̂︀l + − ,̂︀ − p̂︀ × ̂︀l +l×p=,,p+ − , ̂︀l × p,2 22 2 22 [︂(︂Вычислим каждый их коммутаторов отдельно:[︂ 2 (︁)︁]︂)︁]︁[︁]︁⃒⃒̂︀ 1 ̂︀1 [︁(︁̂︀1p22 ⃒̂︀̂︀ = −̂︀ , p̂︀ = − ̂︀ , ̂︀ ⃒l×pl×p,=2 244(3.2)[︁]︁[︀]︀ 11122̂︀̂︀ (̂︀ [̂︀ , ̂︀ ] − [̂︀ , ̂︀ ] ̂︀ ) = 0= − ̂︀ , ̂︀ − , ̂︀ ̂︀ = − ̂︀444⏟ ⏞(4.1)=0[︂[︂)︁]︂̂︀ 2 1 (︁p̂︀̂︀ × l = 0 (доказывается аналогично),p2 2]︂ [︂]︂1 ̂︀1̂︀̂︀̂︀1̂︀̂︀√− ,= −√ , √=− +√=−+=0 2(4.2)(4.3)[︂]︂[︂]︂[︂]︂)︁]︂1 ̂︀1 ̂︀1 ̂︀1 (︁̂︀̂︀̂︀̂︀ − p̂︀ × l = − , ̂︀ + ̂︀ = − , ̂︀ − , ̂︀ =− , l×p⎞⎛⎛⎞]︂ [︂]︂]︂ [︂]︂[︂[︂⎟⎜ 1⎟⎜1 ̂︀1 ̂︀1̂︀⎜⎟⎜ ⎟= − ⎝ , ̂︀ + , ̂︀ ⎠ − ⎝̂︀ , + , ̂︀ ̂︀⎠=⏟ ⏞⏟ ⏞=0=0(︂ [︂]︂ [︂]︂ )︂⃒)︂(︂⃒11î︀ î︀ ̂︀̂︀̂︀̂︀⃒= − , ̂︀ + , ̂︀ ⃒= 3 + 3 =(3.5)⃒(︁)︁⃒)︀ii (︀̂︀= 3 (̂︀l × ̂︀r) − (̂︀r × ̂︀l) ⃒⃒= 3 22 ̂︀ − ̂︀ (̂︀p · ̂︀r) − î︀ − ̂︀ (̂︀r · p)(3.7), (3.8)[︂(4.4)[︂]︂[︂]︂ [︂]︂ ⃒(︂)︂(︂)︂⃒̂︀̂︀̂︀ ̂︀̂︀ ̂︀̂︀2 ⃒̂︀ ,= ̂︀ ̂︀ ,+ ̂︀ ,̂︀ ⃒= î︀+î︀ =p−−33(3.6))︂(︂)︂(︂1 ̂︀ ̂︀1̂︀̂︀1̂︀1̂︀ ̂︀̂︀ − ̂︀ = (4.5)p · ̂︀r) 3 + i 3 − ̂︀ + 3 (̂︀r · p)= i ̂︀ 3 − ̂︀ + 3 ̂︀ − ̂︀ = i (̂︀(︀)︀î︀= 3 −22 ̂︀ + ̂︀ (̂︀p · ̂︀r) + î︀ + ̂︀ (̂︀r · p)Следовательно:(︀)︀ i (︀)︀̂︀ = i 22 ̂︀ − ̂︀ (̂︀̂︀ A]̂︀ + 3 −22 ̂︀ + ̂︀ (̂︀̂︀ = 0 [,p · ̂︀r) − î︀ − ̂︀ (̂︀r · p)p · ̂︀r) + î︀ + ̂︀ (̂︀r · p)3223.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги