Cобственные числа оператора (1181175)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Найдите все собственные числа λk и соответствующие собственные функции ωkоператора Λ xx (или же представьте их вид и докажите, что они – собственные числа ифункции оператора Λ xx )Λ xxωk = λk ωk , Λ xxu = h −2 (un −1 − 2un + un +1 ), n = 0,1,..., N , u0 = u N = 1, Nh = 1.Представьте решение разностного уравнения Λ xx u = f , u0 = u N = 1 в виде конечного рядаФурье.Определите параметр обусловленности СЛАУ.Пользуясь линейностью, представим решение задачиΛ xx u = f , u0 = u N = 1(1)в виде u = 1 + v , где v решение задачиΛ xx v = f , v0 = vN = 0 .(2)Запишем условия задачи вспомогательной задачи для ω в виде⎧ ωn−1 − 2ωn + ωn +1= λωn , n = 0,1,..., N ,⎪(3)h2⎨⎪ω = ω = 0, Nh = 1.N⎩ 0Или⎧⎪ωn +1 − 2 + λ h 2 ωn + ωn −1 = 0, n = 0,1,..., N ,(4)⎨⎪⎩ω0 = ω N = 0, Nh = 1.Соответствующее характеристическое уравнение (решение ищем в виде ωn = q n )()()q 2 − 2 + λ h2 q + 1 = 0 .(5)Его решение2⎛ λ h2 ⎞λ h2λ 2 h42.± ⎜⎜1 +± λh +q1, 2 = 1 +⎟ −1 = 1 +22 ⎟⎠24⎝Общее решение (4) имеет видωn = C1q1n + C2 q2 n ,λ h2(6)(7)где C1 и C2 - произвольные постоянные.Из граничных условий ω0 = ω N = 0 получаем⎪⎧C1 + C2 = 0,⎨NN⎪⎩C1q1 + C2 q2 = 0.(8)Система (8) имеет нетривиальные решения, если 0 =1q1N1q2N= q2 N − q1N , т.е.

q2 N = q1N .По теореме Виета из (5) имеем q1 ⋅ q2 = 1 .Тогда 1 = q1 ⋅ q2 =NNq12 N, и q1 = ei2π k2N= cosπkN+ i sinπkN, т.е. q1 = 1 и, следовательно,q2 = 1 и q2 = q1 .Из Re q1 = cosπkN= 1+λ h22находим, что2 ⎛πk ⎞4πkcos− 1⎟ = − 2 sin 22⎜2NNh ⎝h⎠собственные числа.λ = λk =(9)Имеем ωn = c1 cosπ knNπ kn+ c2 sinN, где c1 и c2 - произвольные постоянные.Из граничных условий ω0 = ω N = 0 получаем c1 = 0 , и ωn = ωnk = c2 sinc2 = 1 1 находим собственные функцииπ knωnk = sin.Nπ knN, или, полагая(10)Решение задачи (2) можно искать в видеvn =N −1∑ akωnk , n = 1, 2,…, N − 1 2,(11)k =1где ak неизвестные пока коэффициенты.Разложим теперь правую часть уравнения (2) в сумму Фурье, т.е. представим ее в видеfn =N −1∑k =1( f ,ω ) = 12=f ω h=∑∑fωh .Nh(ω , ω ) (ω , ω )kbk ωnk, где bkkN −1kkkn =1N −1kn nn =13kn n(12)Подставляя разложения (11), (12) в уравнение задачи (2), получаемfn =N −1N −1N −1k =1k =1k =1∑ bkωnk = Λ xxvn = Λ xx ∑ akωnk =∑ ak Λ xxωnk =N −1∑ ak λkωnk .k =1Учитывая линейную независимость функций ω , приходим к уравнениямak λk = bk .Откуда находим значения коэффициентов Фурье функции vn :k1(13)Собственные функции определяются с точностью до произвольного постоянного (не зависящего от n) неравного нулю множителя.23v0 = vN = 0(ωkN −1) ∑ (ω ),ωk =k =1kn2N −1h =∑ sin 2k =1π knNh=Nπ knk =1N∑ sin 2Nh=∑1 − cosk =1hh2π kn Nhhπk2π kn= ∑ − ∑ cos=−∑=2sincosπkNNN2 k =1 4sink =1 2 k =1 2NN⎡ 2π k ( n + 1/ 2 )2π k ( n − 1/ 2 ) ⎤Nhh=−∑sin− sin⎢⎥ =2 k =1 4sin π k ⎣NN⎦N⎡ 2π k ( N + 1/ 2 )2π k (1 − 1/ 2 ) ⎤Nhh=−sin− sin⎢⎥ =2 4sin π k ⎣NN⎦NNhh⎡ ⎛πk ⎞πk ⎤sin ⎜ 2π k +=−− sin⎟⎢N ⎠N ⎥⎦2 4sin π k ⎣ ⎝NNNN22π knN h=ak =bkλk−h 2=2Nhλk=2 N sin2πkN −1π knn =1N∑ f n sinN −1∑n =1f nωnk h2=N −1π knn =1N∑ f n sin2 πk ⎞⎛ 4Nh ⎜ − 2 sin⎟2N ⎠⎝ hh=h.2NТаким образомN −1un = 1 + ∑k =1ak ωnkN −1−h2k =12 N sin 2= 1+ ∑Из (9) находим, что λk <πk2NN −1π kll =1N∑ fl sinh sinπ knN.4= λmax .h22Оценка снизу дает λminТак как f ( x ) =λminπ⎛sin2⎜4≥π ⎜π⎜⎝ 4πh ⎞⎛sin⎜hππ442 ⎟ .= λ1 = 2 sin 2= 2 sin 2=π2⎜π h ⎟⎟2N h2h⎜⎝ 2 ⎠sin x⎡ π⎤монотонно убывает4 при, не ограничивая общности, x ∈ ⎢0, ⎥ , тоx⎣ 4⎦2⎞2⎟⎛ π⎞⎟ = 4 ⎜ sin ⎟ = 2 .4⎠⎝⎟⎠И число обусловленности μ = A A−1 =λmax 4 / h 2 2== 2.2λminh⎛ x2⎞ ⎛⎞x3x ⎜1 − + o x3 ⎟ − ⎜ x − + o x3 ⎟26cos x sin x x cos x − sin x⎝⎠ ⎝⎠ = − x +o x <0− 2 =f ′( x) ==( )22x3xxx( )4( ).

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов учебной работы