Переопределенные системы. МНК (метод наименьших квадратов) (1181170)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Переопределенные системы. МНК (метод наименьших квадратов)В приложениях часто встречаются переопределенные системы, в которых числоуравнений больше числа неизвестных:naikxk  f i , i  1, m , m  n ,(1)k 1или в матричном виде: Ax  f , A  Amn , x  R n , f  R m , m  n .(2)Вводится следующее существенное предположение: ранг системы (2) (т.е.

числолинейно независимых уравнений) равен числу неизвестных n .Как правило, система (2) в обычном смысле не имеет решений (теорема КронекераКапелли).Определение.Согласно методу наименьших квадратов под обобщенным решениемсистемы (2) понимается набор чисел x1 , x2 ,  , xn , для которого минимальнасумма квадратов невязок:n2F  x1 , x2 ,  , xn    aik xk  f i  , F  min .(3)k 1Решение задачи (3) находится следующим образом. Записываются необходимыеусловия минимума, известные из математического анализа:n1 F n    aik xk  f i aij , j  1, n .2 x j i1  k 1Меняя порядок суммирования по i и по knn n  xk  aik aij   aik f i   0k 1 i 1i 10и обозначаяnb jk  naik aij , g k i 1aikfi ,(4)i 1получаем для определения x1 , x2 ,  , xn систему уже из n уравнений:nbjkxk  f j , j  1, n ,(5)k 1или в матричном виде: Bx  g , B  Bnn x  R n , g  R n ,(6)причем согласно (4)B  AT A , g  AT f .(7)Систему (5) в матричном виде, учитывая (6) и (7):AT Ax  AT f ,принято называть нормальным уравнением.Можно доказать (см.

Рябенький. Введение в вычислительную математику), чтосистема (8) всегда имеет и притом единственное решение, а ее матрица являетсяположительно определенной.(8) x  2 y  8.5Пример 1. Найти решение 2 x  y  6.7 . x  3 y  11.1 Эта система не имеет решения в обычном смысле.Для получения ее нормального псевдорешения (обобщенного решения), т.е. решения всмысле МНК, составляем новую систему по типу нормального уравнения (8) при n  2 ,m  3:1 2 8.5  T 1 2 1  A   2 1  , A   , f   6.7  2 1 31 311.11 2 8.5   33 12167121B  AT A    2 1  =  , g  AT f    6.7  =   . 2 1 3  2 1 3   7 14   57 1311.1  6 x  7 y  33 T TСистема A Ax  A f : - «эквивалентна» системе Ax  f .7 x  14 y  571251 6 7 33  6 7 33  1 0 1.8  1 0 1.8 2 2 12 6 1     7 14 57   5 0  9 6 7 33  0 7 22.2 12  1 0 1.8 7. 013.171 x   1.8 Ответ:     .

 y   3.171Замечание. Если второе уравнение исходной системы умножить, например, на 100, т.е 8.5 x  2yрешать систему 200 x  100 y  670 эквивалентную исходной в x  3y 11.1классическом смысле, то получим нормальное уравнение40002 x  20005 y  134019.6, решая которое находим решение20005x10013y67050.3 x   1.756     близкое к полученному выше, но все же отличное от него.y3.188  Интегральное квадратичное аппроксимирование функции на отрезке.Пусть f  x  непрерывная на отрезке a, b функция: f  C a, b  ;1  x ,  2  x ,  ,  m  x  - система линейно независимых на отрезке a, b функций;Qm  a11  x   a2 2  x     am m  x  - обобщенный полином.Надо аппроксимировать f  x  обобщенным полиномом Qm  x  на отрезке a, b так,bчтобы интеграл I   f x   Q x  dx был минимальным, т.е стоит задача подобрать2maa1 , a2 ,  , am (управляемые переменные) так, чтобы I принимал минимальноезначение.Запишем необходимое условие минимума:I 0 k k  1, m ,akиз которого получим систему уравнений:2bmmI bfxaxdx=2fxa j j  x  k  x dx = 0,j jak ak a j 2j 2a т.е.bmb a   x   x dx   f x  x dx , k  1, m .jj 2jkkaaТ.к.

система функций линейно независима, то определитель полученной системыотличен от нуля, поэтому решение существует и единственно.mЗамечание. Если система  k  x 1 ортогональна на a, b, то вычисления существенноb f x  x dxkbсократятся:  x  x dx  Ajakjk jk - и ak aкоэффициентыb2  x dxkaФурье разложения функции f  x  по ортогональной системе функций k x 1m .Примеры ортогональныч систем: 1, cos x, sin x,  , cos mx, sin mx на 0, 2  .a0 mQm    ak cos kx  bk sin kx  .2 k 1n1 dn 2 Полиномы Лежандра Pn  nx1, n  0, 1, 2,  на отрезке  1, 1 :2 n! dx nP0  x   1 ,P1  x   x ,1P2  x   3 x 2  1 ,21P3  x   5 x 3  3 x  ,21P4  x   35 x 4  30 x 2  3 , …8Замечание. Если надо приблизить функцию на отрезке a, b, то с помощьюbabaлинейного преобразования z xполучаем полиномы22~ 2z  b  a Pk  z   Pk  x   Pk  ортогональные на a, b.ba Полиномы Чебышева Tn cosn arccos x  на отрезке  1, 1 :T0  x   1 ,T1  x   x ,T2  x   2 x 2  1 ,T3  x   4 x 3  3x , …Tn1  x   2 xTn  x   Tn1  x  .Пример 2.

Получить среднеквадратичное приближение функции f  x   sin x наотрезке 0,   обобщенным полиномом третьей степени. Воспользуемся системой ортогональных полиномов Лежандра.2z  0,   , x   1, 1 , замена z  x  или x  z  1 .22~2Pk  z   Pk  x   Pk  z  1 .~P0  z   1 ,2~P1  z   z  1 ,21   2~P2  z    3 z  1  1 ,2 31  2~2P3  z    5 z  1  3 z  1  .2 ~~~~P 3  z   a0 P0  z   a1 P1  z   a2 P2  z   a3 P3  z  .1  sin zdza0 021 dz cos z 02,0220   z  1  sin zdz  0 z  sin zdz  cos z 0a1  23 220   z  1 dz z  1 2302 z cos z  0  2  cos zdz  202== 0,1  1 3  3 21   2 6 2 63z11sinzdz 2 z  z  1  sin zdz0 2     10 20   12 ,a2 22326621 20   2 z   z  1 dz0  2  3  z  1  1  dz a3  0 .210~~~ 0  P1  z   3  2  12 P2  z   0  P3  z  =2 2  10 120  62 10 21   26 3   12   3 z  1  1 =    3  2 z 2  z  1 = 2       60 2  12  2 60 2  12  12 2  10 z z.543P 3 z  Пример 3.

Получить среднеквадратичное линейное приближение функции f  x   sin xна отрезке 0,   .1 P  z   a0 1  a1  xНадо найти значения a0 и a1 , при которых I  sin z  P  z  dz минимален.120Получаем систему:  a0  1 1dz  a1  1  zdz   1  sin zdz 000, или a0 z 1dz  a1 z  zdz  z  sin zdz00 02aa21 022, т.е.

a0  , a1  0 .a0  a1 2  2321Ответ: P  z   . 2aa1 0223a0   a1  232, или.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов учебной работы