Метод фундаментальных систем для решения задачи Коши (1181167)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Получите общее решение краевой задачи для системы ОДУ вида⎧ x& = Ay + t 2x(0 ) = 0; x(1) = 1, A = B = 10 2 ,⎨2⎩ y& = Bx + t ,используя метод фундаментальных систем.Покажите, что такая задача является плохо обусловленной./На стр. 248-249 приведен пример, когда решение задачи методом построенияфундаментальных решений не проходит.Рассмотрим систему уравнений⎧ x& = 100 y + t 2⎨2⎩ y& = 100 x + t ,x(0 ) = 0; x(1) = 1 .Подобные системы ОДУ моделируют, например, процессы прохождения излучения илипотоков элементарных частиц (гамма-излучение, потоки нейтронов) через разные среды(атмосфера, защита ядерных реакторов) в приближении «оптически толстого слоя».Коэффициенты A, B ~ 50 характерны для защиты реакторов.Найдем общее решение этой задачи с помощью метода фундаментальных систем в видечастного решения неоднородной системы плюс линейная комбинация двух независимыхрешений однородной системы ОДУ:⎛ x 1 ⎞ ⎛ x2 ⎞⎛ x⎞ ⎛ x⎞⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ + a⎜⎜ ⎟⎟ + b⎜⎜ ⎟⎟⎝ y⎠ ⎝ y⎠⎝ y1 ⎠ ⎝ y 2 ⎠где (x1, y1) и (x2, y2) — решения двух однородных систем, ( x, y ) - частное решение.Тогда построение решения краевой задачи сводитсяI.

к решению 3-х задач Коши:⎧ x& 1 = 100 y 1 ,1. ⎨x1 (0) = 1 , y 1 (0 ) = 0 ;&y1 = 100 x 1 ,⎩⎧ x& 2 = 100 y 2 ,x 2 (0 ) = 0 , y 2 (0 ) = 1;2. ⎨&y2 = 100 x 2 ,⎩⎧ x& = 100 y + t 2 ,, x (0 ) = 0 , y (0) = 0 .3. ⎨2&yxt=100+,⎩II. и определению коэффициентов a и b из краевых условий.Общее решение такой однородной системы, как известно, представляет собой сумму двухэкспонент⎛ xi ⎞⎛α ⎞⎛α ⎞⎜ ⎟ = C1i ⎜⎜ 1 ⎟⎟e λ1t + C 2i ⎜⎜ 2 ⎟⎟e λ2t , i = 1, 2 .⎜ yi ⎟⎝ β1 ⎠⎝ β2 ⎠⎝ ⎠λ1 и λ2 — корни характеристического уравненияλ1, 2 = ± 100 ⋅ 100 = ±100 .− λ 100100 − λ= 0 , решая которое получаем⎛α i ⎞⎛ 0 100 ⎞⎜⎜ ⎟⎟ , α i , β i , i = 1, 2 собственные векторы матрицы A = ⎜⎜⎟⎟ системы ОДУ,⎝100 0 ⎠⎝ βi ⎠отвечающие ее собственным значениямλi :⎛α ⎞⎛ 0 100 ⎞⎛ α1 ⎞⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = 100⎜⎜ 1 ⎟⎟ , т.е.⎝100 0 ⎠⎝ β1 ⎠⎝ β1 ⎠⎛ α1 ⎞ ⎛1⎞ 1⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ .⎝ β1 ⎠ ⎝1⎠λ1 = 100 : ⎜⎜⎛ − 100 100 ⎞⎛ α1 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎜⎜⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ , откуда100−100⎝⎠⎝ β1 ⎠ ⎝ 0 ⎠⎛α ⎞⎛ 0 100 ⎞⎛ α 2 ⎞⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = −100⎜⎜ 2 ⎟⎟ , т.е.⎝100 0 ⎠⎝ β 2 ⎠⎝ β2 ⎠⎛α 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ .⎝ β 2 ⎠ ⎝ − 1⎠λ2 = −100 : ⎜⎜⎛100 100 ⎞⎛ α 2 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎜⎜⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ , откуда⎝100 100 ⎠⎝ β 2 ⎠ ⎝ 0 ⎠1⎛ xi ⎞⎛1⎞i ⎛ ⎞ 100 tТ.о., ⎜⎜ i ⎟⎟ = C1 ⎜⎜ ⎟⎟e+ C 2i ⎜⎜ ⎟⎟e −100t .⎝ 1⎠⎝ − 1⎠⎝y ⎠Из начальных условий для соответствующих задач получаем1 ⎛ x1 ⎞ 1 ⎛1⎞ 100t 1 ⎛ 1 ⎞ −100t ⎛ ch(100t )⎞⎟⎟ ,C = C 2 = и ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟e + ⎜⎜ ⎟⎟e= ⎜⎜()sh100t2 ⎝ − 1⎠2 ⎝ y ⎠ 2 ⎝ 1⎠⎝⎠2⎛ sh(100t )⎞1⎛ 1 ⎞1 ⎛ x ⎞ 1 ⎛1⎞⎟⎟ .C12 = −C 22 = и ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟e100t − ⎜⎜ ⎟⎟e −100t = ⎜⎜()ch100t2 ⎝ − 1⎠2 ⎝ y ⎠ 2 ⎝1⎠⎝⎠2x& = at + bt + c2at + b = 100(dt 2 + ft + e ) + t 2Частное решение.

Из ОДУполучаем,y& = dt 2 + ft + e2dt + f = 100(at 2 + bt + c ) + t 2111откуда100d + 1 = 0100a + 1 = 0,2a = 100 f2d = 100b,b = 100ef = 100c1100 ,1d =−100a=−,21d =−1005000 ,21f =a=−1005000b=11f =−100500000 , т.е.11e=b=−100500000⎛x⎞⎛1⎞ 100t⎛ 1 ⎞ −100t ⎛ t 21 ⎞⎛1⎞t⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ .⎜⎜ ⎟⎟ = A⎜⎜ ⎟⎟e + B⎜⎜ ⎟⎟e− ⎜⎜++⎝ y⎠⎝ 1⎠⎝ − 1⎠⎝ 100 5000 500000 ⎠⎝1⎠A =1A + B −1= 0c=Из начальных условий⎛x⎞ ⎛Тогда ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ey⎝ ⎠ ⎝1100 tA − B −1= 0, откудаB=021 ⎞⎛1⎞tt⎟⎜ ⎟ .−−−100 5000 500000 ⎟⎠⎜⎝1⎟⎠.Собственный вектор матрицы определяется с точностью до произвольного сомножителя, отличного отнуля.⎛ x⎞ ⎛Т.о., ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ey100 t⎝ ⎠ ⎝Коэффициенты−⎛ ch(100t )⎞ ⎛ sh(100t )⎞t2t1 ⎞⎛1⎞⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ + a⎜⎜⎟⎟ + b⎜⎜⎟⎟ .−−()()shtcht100100100 5000 500000 ⎠⎝1⎠⎝⎠ ⎝⎠aиbнаходимизграничныхусловий:x(0 ) = 0;x(1) = 1,1+ a ⋅1 + b ⋅ 0a = −0.999998500000т.е., откуда,и111b≈−3100−−+ a ⋅ ch100 + b ⋅ sh1001= e −100 50000 500000⎛ x ⎞ ⎛ 100t t 2⎛ ch(100t )⎞ ⎛ sh(100t )⎞t1 ⎞⎛1⎞⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ − 0.999998⎜⎜⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ e −⎟⎟ − 3⎜⎜⎟⎟−−()()yshtcht11001001005000500000⎝ ⎠ ⎝⎝⎠ ⎝⎠⎠⎝ ⎠0 =1−Обусловленность задачи.⎡ 1 ⎛1⎞⎤⎡ 1 ⎛ 1⎞⎤⎛ x⎞1⎛ 1 ⎞1⎛ 1 ⎞1 ⎛ 1⎞⎜⎜ ⎟⎟ =⎜⎜ ⎟⎟ + a ⎢ ⎜⎜ ⎟⎟e100t + ⎜⎜ ⎟⎟e −100t ⎥ + b ⎢ ⎜⎜ ⎟⎟e100t − ⎜⎜ ⎟⎟e −100t ⎥ =2 ⎝ − 1⎠2 ⎝ − 1⎠⎝ y ⎠ 2 − t ⎝ 1⎠⎣ 2 ⎝1⎠⎦⎣ 2 ⎝ 1⎠⎦⎛ x⎞1 ⎛ 1⎞1 ⎛1⎞1⎛ 1 ⎞⎜⎜ ⎟⎟ =⎜⎜ ⎟⎟ + (a + b ) ⎜⎜ ⎟⎟e100t + (a − b ) ⎜⎜ ⎟⎟e −100t .2 ⎝1⎠2 ⎝ − 1⎠⎝ y ⎠ 2 − t ⎝ 1⎠Полученное решение есть сумма двух экспонент: одной быстро растущей (e100t) и второйбыстро убывающей (e–100t).

Искомое же решение есть затухающая функция (из физическихсоображений). Слагаемые с быстрорастущими экспонентами должны взаимноуничтожиться.Получение же численного решения есть весьма трудная задача, поскольку численноерешение имеет большую и быстро возрастающую погрешность..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов учебной работы